2018-2019学年福建省厦门外国语学校高二上学期第一次月考数学（文）试题（Word版）

2018-2019学年福建省厦门外国语学校高二上学期第一次月考数学（文）试题（Word版）

厦门外国语学校2018-2019学年高二10月考试 文科数学试题 第I卷 （选择题 60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．‎ ‎1.数列2，6，12，20，的第8项是（ ）‎ A．56 B‎.72 C.90 D.110‎ ‎2. 数列 满足 ， ，则数列 中成立的是 （ ）‎ A.      B.       C.                        D. ‎ ‎3.在三角形ABC中，下式总能成立的是（ ）‎ A. B.bsinC=csinA C. absinC=bcsinB D.absinC=bcsinA ‎4．设的内角所对边的长分别为,设S为该三角形面积，满足 ,则角为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.数列 满足 ， ，则 （   ） ‎ A. 3                                    B. 5                                C. 9                                  D. 17‎ ‎6.等差数列 的前 项和为 ， ，且 ，则 的公差 （   ） ‎ A. 1                                   B. 2                                  C. 3                                 D. 4‎ ‎7.在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（   ） ‎ A. b=10，A=45°，C=75°        B. a=7，b=5，A=80° C. a=60，b=48，C=60°        D. a=14，b=16，A=45°‎ ‎8.设的内角所对边的长分别为,若,则角= ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.等差数列 的前 项和为 ，且 ,则 （   ） ‎ A.                                     B.                                   C.                                  D. 4‎ ‎10.在△ABC，若 ， 则△ABC是(    ) ‎ A. 直角三角形             B. 等腰三角形              C. 等腰或直角三角形             D. 钝角三角形 ‎11.设等差数列 的前 项和为 ,且满足 ,若对任意正整数 ,都有 ,则 的值为(    ) ‎ A.                                    B.                                    C.                                    D. ‎ ‎12.A在塔底D的正西面，在A处测得塔顶C的仰角为45°，B在塔底D的南偏东60°处，在塔顶C处测得到B的俯角为30°，AB间距‎84米，则塔高为（   ） ‎ A. ‎24米                                B.  米                                C.  米                                D. ‎‎36米 第Ⅱ卷（非选择题 90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置．‎ ‎13.已知三角形三内角A，B，C成等差，则B= ‎ ‎14.在等差数列 中， ，则 ________． ‎ ‎15.在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积 ，则三角形外接圆的半径为________ ‎ ‎16.已知 是等差数列 的前 项和，且 ， ，则当 ________时, 取得最大値. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.‎ ‎17.在等差数列 中， ， ‎ ‎（1）求数列 的通项公式； ‎ ‎（2）若数列 的前 项和 ，求 的值. ‎ ‎18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ． ‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若b= ，a+c=4，求△ABC的面积． ‎ ‎19.某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在 处获悉后，立即测出该渔船在方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为 ，距离为15海里的 处，并测得渔船正沿方位角为 的方向，以15海里/小时的速度向小岛 靠拢，我海军舰艇立即以 海里/小时的速度前去营救，求舰艇靠近渔船所需的最少时间和舰艇的航向. ‎ ‎20.已知数列 的前n项和 ，‎ ‎（1）求数列的通项 ‎ ‎（2）求数列 的前n项和．‎ ‎21.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2． （Ⅰ）求c； （Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．‎ ‎22.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． ‎ ‎（1）求∠C； ‎ ‎（2）若c= ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长； ‎ ‎（3）若c= ，求△ABC的周长的取值范围． ‎ ‎1B 2D 3D ‎4A ‎5C ‎‎6A ‎7.                 ‎ ‎【答案】D ‎ ‎8.B ‎9. C ‎ ‎10. A ‎ ‎11. C ‎ ‎12. C ‎ ‎13.60‎ ‎14.在等差数列 中， ，则 ________． ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】【解答】解：因为 是等差数列，所以 ， 所以 ，故 ，填 ． 【分析】由 a4+a6=‎2a15 ， 及等差数列的性质 可得‎4a10=20，a10=5，据前19项和S19=‎19a10 求出结果．‎ ‎15.在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积 ，则三角形外接圆的半径为________ ‎ ‎【答案】2 ‎ ‎16. 25 ‎ ‎17. 略 ‎18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 =0． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若b= ，a+c=4，求△ABC的面积． ‎ ‎【答案】解：（I）由 知：（‎2a+c）cosB+bcosC=0 由正弦定理知：（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0 即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0， ∴2sinAcosB=﹣sin（B+C） 即 ， 又 B∈（0，π）， ‎ ‎∴ ； （II）在△ABC中由余弦定理知：b2=a2+c2﹣2accosB， ∴b2=（a+c）2﹣‎2ac﹣2accosB， 又 ， ∴13=16﹣‎2ac+ac， ∴ac=3 ∴ ‎ ‎【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式可得cosB=﹣ ，问题得以解决，（Ⅱ）由余弦定理可得ac=3，再根据三角形的面积公式计算即可．‎ ‎19.某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在 处获悉后，立即测出该渔船在方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为 ，距离为15海里的 处，并测得渔船正沿方位角为 的方向，以15海里/小时的速度向小岛 靠拢，我海军舰艇立即以 海里/小时的速度前去营救，求舰艇靠近渔船所需的最少时间和舰艇的航向. 19.【答案】（1）解：设AB两船在Q处相遇， 在△OPQ中，OP=20，PQ=30t，OQ=Vt，∠OPQ=60°， 由余弦定理可得Vt= = ， ∴当t= 时，Vt取得最小值10 ， 此时V= =30 ． 即轮船A以30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小 （2）解：在△POQ中，OQ=30t， 由余弦定理得：OQ2=PQ2+OP2﹣2×PQ×OPcos∠OPQ， 即（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60° ∴600t=400 ‎ 解得：t= ，∴PQ=OQ=20， ∴△OPQ为等边三角形，∴∠POQ=30°． 故航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．‎ ‎20.已知等差数列 的前n项和 ，求数列 的前n项和 ． ‎ ‎【答案】解：当n=1时， ； 当 时， ， 且 ，所以 ． 显然，当 时， ； 当n=9时， ； 当 时， ． 故当 时， 当 时， ． 综上， ‎ ‎【解析】【分析】由前n项和公式求出通项,找到数列的正负项,再分段求数列的绝对值数列的和.‎ ‎21.（2017•新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2． （Ⅰ）求c； （Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． ‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）∵sinA+ cosA=0， ∴tanA= ， ∵0＜A＜π， ∴A= ， 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA， 即28=4+c2﹣2×‎2c×（﹣ ）， 即c2+‎2c﹣24=0， 解得c=﹣6（舍去）或c=4， ‎ ‎ （Ⅱ）∵c2=b2+a2﹣2abcosC， ∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC， ∴cosC= ， ∴sinC= ， ∴tanC= 在Rt△ACD中，tanC= ， ∴AD= ， ∴S△ACD= AC•AD= ×2× = ， ∵S△ABC= AB•AC•sin∠BAD= ×4×2× =2 ， ∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2 ﹣ = ‎ ‎【解析】【分析】（Ⅰ）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出， （Ⅱ）先根据夹角求出cosC，求出AD的长，再求出△ABC和△ADC的面积，即可求出△ABD的面积．‎ ‎22.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． ‎ ‎（1）求∠C； ‎ ‎（2）若c= ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长； ‎ ‎（3）若c= ，求△ABC的周长的取值范围． ‎ ‎【答案】（1）解： 2cosC（acosB+bcosA）=c． 由正弦定理：可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC 即2cosCsinC=sinC ∵0＜C＜π，sinC≠0， ∴cosC= ∴C= ． ‎ ‎（2）由△ABC的面积为 ，即 absinC= ， ∵C= ． ∴ab=6． 由c= ，余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC． 可得：a2+b2﹣ab=7． 即（a+b）2=7+3ab=25． ∴a+b=5． 那么△ABC的周长为：a+b+c=5 ． （3）∵c= ，C= ． 正弦定理：a= ，b= △ABC的周长：a+b+c=2sinA+2sinB+ ． ∵C= ，A+B+C=π ∴B= ． 则a+b=2sinA+2sinB=2sinA+2sin（ ）=3sinA+ cosA=2 sin（A+ ） ∵0＜A ， ∴ ＜A+ ， ∴ ＜2 sin（A+ ） ． 即 ＜a+b ∴△ABC的周长的取值范围为：（2 ，4 ]． ‎