2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第八章 第8节第1课时 最值、范围、证明问题

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第八章 第8节第1课时 最值、范围、证明问题

www.ks5u.com 多维层次练52‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1．(2020·湛江一中周考)已知M，N分别是椭圆＋y2＝1和圆C：x2＋(y－4)2＝1上的动点，则|MN|的最大值为(　　)‎ A．5 B．6 ‎ C．2＋1 D．3＋1‎ 解析：圆心为(0，4)，设M(x，y)，‎ 则|MC|＝＝，‎ 又因为－1≤y≤1，所以当y＝－时，‎ ‎|MC|max＝3，则|MN|max＝3＋1.‎ 答案：D ‎2．已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为(　　)‎ A. B. ‎ C．4 D．5‎ 解析：由·＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，所以所求的距离d＝.‎ 答案：B ‎3．(2020·洛阳市期末)设P是椭圆＋＝1上的一点，M，N分别是圆(x＋3)2＋y2＝4和圆(x－3)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的取值范围是(　　)‎ A．[7，13] B．[8，12] ‎ C．[7，12] D．[8，13]‎ 解析：因为椭圆＋＝1，所以焦点坐标为F1(－3，0)，F2(3，0)，‎ 因为两圆(x＋3)2＋y2＝4和(x－3)2＋y2＝1，‎ 所以圆心坐标为(－3，0)和(3，0)，两圆的半径分别为R1＝2，‎ R2＝1，‎ 因为两圆的圆心位于椭圆的焦点上，‎ 所以PF1－R1≤PM≤PF1＋R1，PF2－R2≤PN≤PF2＋R2，‎ 所以PF1＋PF2－R1－R2≤PM＋PN≤PF1＋PF2＋R1＋R2，‎ 所以7≤PM＋PN≤13，‎ 所以|PM|＋|PN|的取值范围是[7，13]．‎ 答案：A ‎4．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是(　　)‎ A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)‎ C．(1，3] D．(1，3)‎ 解析：依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x＋2＝0.‎ 因为渐近线与抛物线有交点，‎ 所以Δ＝－8≥0，求得b2≥8a2，‎ 所以c＝≥3a，‎ 所以e＝≥3.‎ 答案：A ‎5．(2020·黄石三中月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋)2＝1上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为(　　)‎ A．8 B．9 ‎ C．10 D．11‎ 解析：由题意可得2a＝6，即a＝3，‎ 渐近线方程为y＝±x，‎ 即有＝，即b＝1，‎ 可得双曲线方程为－y2＝1，‎ 焦点为F1(－，0)，F2(，0)，‎ 由双曲线的定义可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝6＋|MF1|，‎ 由圆E：x2＋(y＋)2＝1可得E(0，－)，半径r＝1，‎ ‎|MN|＋|MF2|＝6＋|MN|＋|MF1|，‎ 连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，‎ 可得|MN|＋|MF1|取得最小值，且为|EF1|＝＝4，‎ 则|MN|＋|MF2|的最小值为6＋4－1＝9.‎ 答案：B ‎6．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．‎ 解析：因为·＝0，所以⊥.‎ 所以||2＝||2－||2＝||2－1，‎ 因为椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，‎ 故||min＝2，所以||min＝.‎ 答案： ‎7．(2020·徐州一中月考)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F且斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M是抛物线C上一点，且M在直线l下方，则△MAB面积的最大值为________．‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为直线l过点F，且斜率为2，‎ 所以直线l的方程为y＝2x＋1，‎ 联立整理得＝4y，即y2－18y＋1＝0，‎ 则y1＋y2＝18，‎ 故|AB|＝y1＋y2＋k＝18＋2＝20.‎ 设直线l′：y＝2x＋a，联立 整理得x2－8x－4a＝0，‎ 当直线l′与抛物线C相切时，Δ＝64＋16a＝0，‎ 解得a＝－4，‎ 则直线l与l′之间的距离d＝＝.‎ 因为点M是抛物线C上在直线l下方的一点，所以点M到直线l的距离dM≤d＝，‎ 则△MAB的面积为|AB|·dM≤×20×＝10.‎ 答案：10 ‎8．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上(P不与A1，A2重合)且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．‎ 解析：由椭圆C：＋＝1可知左顶点A1(－2，0)，右顶点A2(2，0)，设P(x0，y0)(x0≠±2)，则＋＝1，得＝－，因为kPA1＝，kPA2＝，所以kPA1·kPA2＝＝－，又因为－2≤kPA2≤－1，所以－2≤－≤－1，解得≤kPA1≤，即直线PA1斜率的取值范围为.‎ 答案： ‎9．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左、右两焦点F1，F2‎ 构成的三角形中面积的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆M的标准方程；‎ ‎(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2并延长，与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求·的取值范围．‎ ‎(1)解：由题意知＝，·2c·b＝，a2＝b2＋c2，解得c＝1，a＝2，b＝.所以椭圆M的标准方程是＋＝1.‎ ‎(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，－y1)，直线AB：y＝kx＋m.‎ 将y＝kx＋m，代入＋＝1得，(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 因为B，C，F2共线，所以kBF2＝kCF2，即＝，‎ 整理得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，‎ 所以2k×－(m－k)×－2m＝0, 解得m＝－4k.‎ 所以直线AB：y＝k(x－4)与x轴交于定点P(4，0)．‎ 因为y＝3－x，所以·＝(x1－4，y1)·(x1－1，－y1)＝x－5x1＋4－y＝x－5x1＋1＝－.‎ 因为－20)与直线l0：y＝x＋2相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点满足＋＝，设动点M的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设P，Q是曲线C上两动点，线段PQ的中点为T，OP，OQ的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－，求|OT|的取值范围．‎ 解：(1)设动点M(x，y)，A(x0，y0)，由于AN⊥x轴于点N，‎ 所以N(x0，0)，又圆C1：x2＋y2＝r2(r>0)与直线l0：y＝x＋2相切，‎ 所以r＝＝2，则圆C1：x2＋y2＝4.‎ 由题意，＋＝，得(x，y)＋(x－x0，y－y0)＝(x0，0)，‎ 所以即 又点A为圆C1上的动点，所以x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.‎ ‎(2)当PQ的斜率不存在时，设直线OP：y＝x，‎ 不妨取点P，则Q，T(，0)，‎ 所以|OT|＝.‎ 当PQ的斜率存在时，设直线PQ：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 联立可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为k1k2＝－，所以4y1y2＋x1x2＝0.‎ 所以4(kx1＋m)(kx2＋m)＋x1x2‎ ‎＝(1＋4k2)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2‎ ‎＝4m2－4－＋4m2‎ ‎＝0.‎ 化简得：2m2＝1＋4k2，所以m2≥.‎ Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝16(4k2＋1－m2)＝16m2>0.‎ 设T(x3，y3)，则x3＝＝，y3＝kx3＋m＝.‎ 所以|OT|2＝x＋y＝＋＝2－∈，‎ 所以|OT|∈.‎ 综上，|OT|的取值范围是.‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎11．(2020·郑州一中模拟)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝6(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)‎ A. B．3 ‎ C. D. 解析：设直线AB的方程为x＝ty＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M(m，0)，将x＝ty＋m代入y2＝x，可得y2－ty－m＝0，则y1·y2＝－m.因为·＝6，所以x1x2＋y1y2＝6，从而(y1y2)2＋y1y2－6＝0.因为点A，B位于x轴的两侧，所以y1y2＝－3，故m＝3.不妨令点A在x轴上方，则y1>0，又F，所以S△ABO＋S△AFO＝×3×(y1－y2)＋×y1＝y1＋≥2＝，当且仅当y1＝，即y1＝时取“＝”，所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是.‎ 答案：D ‎12．(2020·南通市质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，存在过左焦点F的直线与椭圆C交于A、B两点，满足＝2，则椭圆C离心率的最小值是________．‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(－c，0)，直线AB：y＝k(x＋c)．‎ 因为A、B满足＝2，所以y1＝－2y2.①‎ 由得(b2＋a2k2)y2－2kcb2y－b4k2＝0，‎ y1＋y2＝，②‎ y1y2＝，③‎ 由①②得y1＝，y2＝，代入③得b2＋a2k2＝8c2⇒8c2≥b2＝a2－c2⇒9c2≥a2⇒≥，所以椭圆C的离心率的最小值为.‎ 答案： ‎13．已知椭圆Ω：＋＝1(a>b>0)，直线x＋y＝1经过Ω的右顶点和上顶点．‎ ‎(1)求椭圆Ω的方程．‎ ‎(2)设椭圆Ω的右焦点为F，过点G(2，0)作斜率不为0的直线交椭圆Ω于M，N两点．设直线FM和FN的斜率为k1，k2.‎ ‎①求证：k1＋k2为定值；‎ ‎②求△FMN的面积S的最大值．‎ ‎(1)解：在方程x＋y＝1中，令x＝0，则y＝1，‎ 所以上顶点的坐标为(0，1)，‎ 所以b＝1.‎ 令y＝0，则x＝，‎ 所以右顶点的坐标为(，0)，‎ 所以a＝.‎ 所以，椭圆Ω的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)如图所示：‎ ‎①证明：设直线MN的方程为y＝k(x－2)(k≠0)．代入椭圆方程得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，k1＋k2＝＋＝＋＝k＝‎ k＝0，‎ 所以k1＋k2＝0，为定值. ‎ ‎②解：因为MN直线过点G(2，0)，‎ 设直线MN的方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，代入椭圆方程得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.‎ 由判别式Δ＝(－8k2)2－4(2k2＋1)(8k2－2)>0解得k2<.‎ 点F(1，0)到直线MN的距离为h，‎ 则h＝＝，S＝|MN|h＝··＝·‎ ·＝|k|＝‎ ，‎ 令t＝1＋2k2，‎ 则S＝ ＝ ，‎ 所以当＝，即k2＝时，S的最大值为.‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎14．(多选题)(2019·北京卷改编)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如下图)．给出下列四个结论，其中正确结论的序号是(　　)‎ A．曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)‎ B．曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 C．曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3‎ D．曲线C上有四个整点到原点的距离为1‎ 解析：因为x2＋y2＝1＋|x|y≤1＋|x||y|≤1＋，所以x2＋y2≤2.A项，x，y可能取得的整数值为±1，0，代入曲线C的方程得整点坐标为(1，1)，(1，0)，(－1，1)，(－1，0)，(0，1)，(0，－1)，故A正确．B项，设曲线C上任意一点到原点的距离为d，则d2＝x2＋y2≤2，所以d≤，故B正确．C项，由图知，图形在第一象限的面积S1>1，图形在第四象限的面积S4>，由对称性得，“心形”区域面积S>×2＝3，故C错误．D项，由B知，6个整点中有(1，0)，(－1，0)，(0，‎ ‎1)与(0，－1)到原点距离为1，D正确．‎ 答案：ABD