北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学试题

北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学试题

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高三数学 第Ⅰ卷（共40分）‎ 本试卷共5页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试 卷上作答无效.‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项 ‎1.设集合,若集合有且仅有个元素,则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的交集运算，由题意知，由此可得，．‎ ‎【详解】因为集合有且仅有个元素，所以，即有．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．‎ ‎2.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则，化简复数，再利用复数的表示，即可判定，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，复数，‎ 所以复数对应的点位于第四象限.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3.在中,若,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形内角和求出角，再根据正弦定理即可求出边．‎ ‎【详解】因为，所以根据正弦定理知，，即，解得．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边，利用正弦定理解三角形，属于基础题．‎ ‎4.设,且则下列不等式中一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本初等函数的单调性或者不等式的性质，即可判断各选项的真假．‎ ‎【详解】对A，若，则，错误；‎ 对B，当时，取，根据对数函数的单调性可知，，错误；‎ 对C，因为，所以，根据指数函数的单调性可知，，正确；‎ 对D，当时，取，，错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用函数的单调性或者不等式的性质比较大小，属于基础题．‎ ‎5.已知直线与圆有公共点,则实数a的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出．‎ ‎【详解】依题意可知，直线与圆相交或相切．‎ 即为．‎ 由，解得．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．‎ ‎6.设三个向量互不共线,则 “”是 “以为边长的三角形存在”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件、必要条件的定义即可判断．‎ ‎【详解】因为三个向量互不共线，所以三个向量皆不为零向量，设，‎ 而互不共线，所以三点不共线．‎ 当时，，因为三点不共线， ，‎ 所以以为边长的三角形存在；‎ 若以为边长的三角形存在，但是，，．‎ 故“”是 “以为边长的三角形存在”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的理解与判断，属于基础题．‎ ‎7.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众 多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（ ）‎ A. 100 B. ‎ C. 300 D. 400‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出．‎ ‎【详解】设大圆锥的高为，所以，解得．‎ 故．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题．‎ ‎8.已知函数,若存在区间,使得函数f(x)在区间 上值域为则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的单调性可知，，即得，故可知是方程的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．‎ ‎【详解】根据函数的单调性可知，，即可得到，即可知是方程的两个不同非负实根，所以，解得．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题．‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.在的展开式中,的系数为___________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项展开式的通项，赋值即可求出．‎ ‎【详解】展开式通项为，令，所以的系数为．‎ 故答案为：10．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项展开式某特定项的系数求法，解题关键是准确求出展开式的通项，属于基础题．‎ ‎10.已知向量满足,其中,那么_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行的坐标表示求出，再根据向量模的坐标计算公式即可求出．‎ ‎【详解】因为，所以，解得．‎ 因此．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用，属于基础题．‎ ‎11.在公差为的等差数列中, ,且成等比数列, 则______________‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的通项公式，用表示出，再根据成等比数列，列式即可求解．‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 而成等比数列，所以，解得或(舍去)．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等比数列的定义的应用，属于基础题．‎ ‎12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有__________个 ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图先还原成四棱锥，然后在该四棱锥的四个侧面中判断，即可得出．‎ ‎【详解】如图所示，该四棱锥是一个底面为直角梯形，一条侧棱PA垂直于底面的四棱锥．‎ 由三视图可知，，．‎ 因为面，所以都是直角三角形．‎ 在中，，所以 ‎，也是直角三角形．‎ 在中，，而，所以不是直角三角形．因此，该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有3个．‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三视图还原成几何体，线面垂直的定义、勾股定理及其逆定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．‎ ‎13.对于双曲线,给出下列三个条件:‎ ‎①离心率为; ‎ ‎②一条渐近线的倾斜角为; ‎ ‎③ 实轴长为,且焦点在轴上. ‎ 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 __________．‎ ‎【答案】,答案不唯一 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出，即可得到满足题意的一个的双曲线标准方程．‎ ‎【详解】若选择①③，所以，解得，所以，‎ 因为焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为．‎ 若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程．‎ 故答案为：，答案不唯一．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．‎ ‎14.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来天内,这种水果每箱的销售利润(单位:元)与时间,单位:天)之间的函数关系式为, 且日销售量 (单位:箱)与时间之间的函数关系式为 ‎①第天的销售利润为__________元; ‎ ‎②在未来的这天中,公司决定每销售箱该水果就捐赠元给 “精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间的增大而增大,则的最小值是__________．‎ ‎【答案】 (1). 1232 (2). 5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①先求出第4天每箱的销售利润，再求出当天的销售量即可求出该天的销售利润；‎ ‎②先求出捐赠后的利润解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可解出．‎ ‎【详解】①因为，，所以该天的销售利润为；‎ ‎②设捐赠后的利润为元，则，‎ 化简可得，．‎ 令，因为二次函数的开口向下，对称轴为，为满足题意所以，‎ ‎，解得．‎ 故答案为：①1232；②5．‎ ‎【点睛】本题主要考查数学在生活中的应用，涉及二次函数的性质的应用，解题关键是对题意的理解和函数模型的建立，属于基础题．‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.已知函数 ‎（1）求函数的最小正周期;‎ ‎（2）求函数在区间上的最小值和最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）最大值．最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角差的正弦公式)合并成的形式，即可求出函数的最小正周期.‎ ‎（2）由，求出，再根据的单调性可求出函数的最大最小值．‎ ‎【详解】（1）因为 所以函数最小正周期为． ‎ ‎（2）因为，所以，而在上单调递减，在上单调递增，而，‎ 所以当，即时，取得最小值，‎ 当，即时，取得最大值．‎ ‎【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题．‎ ‎16.高铁和航空飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从 市到市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取人次作为样本,得到下表(单位:人次):‎ 满意度 老年人 中年人 青年人 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 ‎10分(满意)‎ ‎12‎ ‎1‎ ‎20‎ ‎2‎ ‎20‎ ‎1‎ ‎5分(一般)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎0分(不满意)‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎（1）在样本中任取个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;‎ ‎（2）在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取人次,记其中老年人出行的人次为.以频率作为概率,求的分布列和数学期望;‎ ‎（3）如果甲将要从市出发到市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望（3）建议甲乘坐高铁从市到市.见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；‎ ‎（2）依题意可知服从二项分布，先计算出随机选取人次，此人为老年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和数学期望；‎ ‎（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．‎ ‎【详解】（1）设事件：“在样本中任取个，这个出行人恰好不是青年人”为， ‎ 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，‎ 所以在样本中任取个，这个出行人恰好不是青年人的概率．‎ ‎（2）由题意，的所有可能取值为： ‎ 因为在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取人次，此人 为老年人概率是，‎ 所以， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以随机变量的分布列为： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故． ‎ ‎（3）答案不唯一，言之有理即可． ‎ 如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：‎ 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：‎ 乘坐飞机的人满意度均值为：‎ 因为， ‎ 所以建议甲乘坐高铁从市到市．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．‎ ‎17.如图,在三棱柱中,平面为正三角形, 侧面是边长为的正方形,为的中点.‎ ‎（1）求证平面;‎ ‎（2）求二面角的余弦值;‎ ‎（3）试判断直线与平面的位置关系,并加以证明.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）（3）直线与平面相交.证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据线面平行的判定定理,在面内找一条直线平行于即可．所以连接交与点，再连接，由中位线定理可得，即可得证；‎ ‎（2）取的中点，连接．分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，再根据二面角的向量方法即可求出；‎ ‎（3）根据平面的法向量与直线的方向向量的关系，即可判断直线与平面的位置关系．‎ ‎【详解】（1）由题意，三棱柱为正三棱柱． ‎ 连接． 设，则是的中点．连接， 由，分别为和的中点，得．又因为平面，平面，‎ 所以平面． ‎ ‎（2）取的中点，连接．‎ 因为为正三角形，且为中点，所以．‎ 由，分别为和的中点，得，‎ 又因为平面， 所以平面，即有，．‎ 分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 所以，，，，‎ 设平面的法向量，‎ 由，，得 令，得． ‎ 设平面的法向量，‎ 由，，得 令，得． ‎ 设二面角的平面角为，则 ．‎ 由图可得二面角为锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎（3）结论：直线与平面相交． ‎ 证明：因为，，且，‎ 所以． ‎ 又因为平面的法向量，且，‎ 所以与不垂直，‎ 因为平面，且与平面不平行，‎ 故直线与平面相交．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行的判定定理的应用，二面角的求法，以及直线与平面的位置关系判断，意在考查学生的直观想象能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．‎ ‎18.已知椭圆右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点.‎ ‎（1）证明:点在轴的右侧;‎ ‎（2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率 ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点的横坐标即可证出；‎ ‎（2）根据线段的垂直平分线求出点的坐标，即可求出的面积，再表示出的面积，由与的面积相等列式，即可解出直线的斜率．‎ ‎【详解】（1）由题意，得，直线（） ‎ 设，， ‎ 联立消去，得，‎ 显然，，‎ 则点的横坐标， ‎ 因为，‎ 所以点在轴的右侧． ‎ ‎（2）由（1）得点的纵坐标． ‎ 即． ‎ 所以线段的垂直平分线方程为：． ‎ 令，得；令，得． ‎ 所以的面积， ‎ 的面积． ‎ 因为与的面积相等，‎ 所以，解得．‎ 所以当与的面积相等时，直线的斜率．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．‎ ‎19.已知函数其中 ‎（1）当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎（2）当时,求函数的单调区间;‎ ‎（3）若对于恒成立,求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；‎ ‎（2）求出导数，依据在上单调递增，且 ‎，分别解不等式以及，即可求出函数的单调增区间和减区间；‎ ‎（3）由题意得在上恒成立，设，用导数讨论函数的单调性，求出最小值，可得．再设，求出函数的最大值，即为的最大值．‎ ‎【详解】（1）由，得， ‎ 所以，．‎ 所以曲线在点处的切线方程为． ‎ ‎（2）由，得．‎ 因为，且 在上单调递增，所以 由得，，‎ 所以函数在上单调递增 ，‎ 由得，‎ 所以函数在上单调递减． ‎ 综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． ‎ ‎（3）由，得在上恒成立． ‎ 设， ‎ 则． ‎ 由，得，（）． ‎ 随着变化，与的变化情况如下表所示： ‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在上单调递减，在上单调递增． ‎ 所以函数的最小值为． ‎ 由题意，得，即 ． ‎ 设，则．‎ 因为当时，； 当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减．‎ 所以当时，．‎ 所以当，，即，时，有最大值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的等价转化思想和数学运算能力，属于较难题．‎ ‎20.设整数集合,其中 ，且对于任意，若，则 ‎（1）请写出一个满足条件的集合;‎ ‎（2）证明:任意;‎ ‎（3）若,求满足条件的集合的个数.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 （3）16个 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题目条件，令，即可写出一个集合；‎ ‎（2）由反证法即可证明；‎ ‎（3）因为任意的，所以集合中至多5个元素.设，先通过判断集合中前个元素的最大值可以推出，故集合的个数与集合的子集个数相同，即可求出．‎ ‎【详解】（1）答案不唯一． 如； ‎ ‎（2）假设存在一个使得， ‎ 令，其中且，‎ 由题意，得， ‎ 由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾，‎ 所以任意，． ‎ ‎（3）设集合中有个元素，，‎ 由题意，得，，‎ 由（2）知，．‎ 假设，则．‎ 因为，‎ 由题设条件，得，‎ 因为，‎ 所以由（2）可得，‎ 这与为中不超过的最大元素矛盾，‎ 所以，‎ 又因为，， ‎ 所以． ‎ 任给集合的元子集，令， ‎ 以下证明集合符合题意：‎ 对于任意，则．‎ 若，则有，‎ 所以，，从而．‎ 故集合符合题意， ‎ 所以满足条件的集合的个数与集合的子集个数相同，‎ 故满足条件的集合有个．‎ ‎【点睛】本题主要考查数列中的推理，以及反证法的应用，解题关键是利用题目中的递进关系，找到破解方法，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于难题．‎