数学卷·2018届广东省清远一中高二下学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届广东省清远一中高二下学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年广东省清远一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．下列命题是全称命题的是（　　）‎ A．存在x∈R，使x2﹣x+1＜0 B．所有2的倍数都是偶数 C．有一个实数x，使|x|≤0 D．有的三角形是等边三角形 ‎2．抛物线y2=2x的准线方程是（　　）‎ A．y= B．y=﹣ C．x= D．x=﹣‎ ‎3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=7a1，则数列{an}的公比q的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．2或﹣3 D．2或3‎ ‎4．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a6+a10=（　　）‎ A．12 B．16 C．20 D．24‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（　　）‎ A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a与b的大小关系不能确定 ‎6．椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　）‎ A． B．3 C． m D．3m ‎8．在△ABC中，B=60°，b2=ac，则△ABC一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎9．已知数列{an}：， +， ++，…， +++…+，…，若bn=‎ ‎，那么数列{bn}的前n项和Sn为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|＜﹣1} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＞1}‎ ‎11．正项等比数列{an}中，存在两项am、an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎12．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．若椭圆+=1的离心率为，则m的值为　　．‎ ‎14．定义：称为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}的通项公式为　　．‎ ‎15．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若c=4，tanA=3，cosC=，求△ABC面积　　．‎ ‎16．以下四个关于圆锥曲线的命题中 ‎①设A、B为两个定点，k为非零常数，||﹣||=k，则动点P的轨迹为双曲线；‎ ‎②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若=（+），则动点P的轨迹为椭圆；‎ ‎③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎④双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点．‎ 其中真命题的序号为　　（写出所有真命题的序号）‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．‎ ‎（1）当α=时，求AB的长；‎ ‎（2）当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程．‎ ‎18．设命题p：∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；命题p：不等式ax2﹣ax+2＞0对任意x∈R恒成立．若￢p为真，且p或q为真，求a的取值范围．‎ ‎19．已知直线l过点P（2，3），且被两条平行直线l1：3x+4y﹣7=0，l2：3x+4y+8=0截得的线段长为d．‎ ‎（1）求d的最小值；‎ ‎（2）当直线l与x轴平行，试求d的值．‎ ‎20．如图：Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．‎ ‎（1）建立适当的坐标系，求曲线E的标准方程；‎ ‎（2）过B点且倾斜角为120°的直线l交曲线E于M，N两点，求|MN|的长度．‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；‎ ‎（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x2+y2=1上运动时．‎ ‎（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省清远一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．下列命题是全称命题的是（　　）‎ A．存在x∈R，使x2﹣x+1＜0 B．所有2的倍数都是偶数 C．有一个实数x，使|x|≤0 D．有的三角形是等边三角形 ‎【考点】全称命题．‎ ‎【分析】含有特称量词“有些”，“至少”，“存在”的命题都是特称命题；含有全称量词“任意”的是全称命题．‎ ‎【解答】解：对于A，C，D中，分别含有特称量词“有一个”，“有的”，“存在”，故A，C，D都是特称命题；‎ 对于B，含有全称量词“所有”，故B是全称命题．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．抛物线y2=2x的准线方程是（　　）‎ A．y= B．y=﹣ C．x= D．x=﹣‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的方程可得2p=2，算出=，结合抛物线的基本概念即可算出此抛物线的准线方程．‎ ‎【解答】解：∵抛物线的方程为y2=2x，‎ ‎∴2p=2，得=，‎ 可得抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣．‎ 故选：D ‎　‎ ‎3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=7a1，则数列{an}的公比q的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．2或﹣3 D．2或3‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】根据等比数列的通项公式表示出S3等于前三项相加，让其值等于7a1，根据a1不等于0，消去a1得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值．‎ ‎【解答】解：由S3=7a1，‎ 则a1+a2+a3=7a1，即a1+a1q+a1q2=7a1，‎ 由a1≠0，化简得：1+q+q2=7，即q2+q﹣6=0，‎ 因式分解得：（q﹣2）（q+3）=0，‎ 解得q=2或q=﹣3，‎ 则数列{an}的公比q的值为2或﹣3．‎ 故选C ‎　‎ ‎4．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a6+a10=（　　）‎ A．12 B．16 C．20 D．24‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等差数列通项公式得a6=8，a2+a6+a10=3a6，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵在等差数列{an}中，a4+a8=16，‎ ‎∴a4+a8=2a6=16，解得a6=8，‎ ‎∴a2+a6+a10=3a6=24．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（　　）‎ A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a与b的大小关系不能确定 ‎【考点】余弦定理；不等式的基本性质．‎ ‎【分析】由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，进而求得a﹣b=，根据 ‎＞0判断出a＞b．‎ ‎【解答】解：∵∠C=120°，c=a，‎ ‎∴由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ ‎∴a2﹣b2=ab，a﹣b=，‎ ‎∵a＞0，b＞0，‎ ‎∴a﹣b=，‎ ‎∴a＞b 故选A ‎　‎ ‎6．椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．‎ ‎【解答】解：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，‎ A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎，y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣=，‎ AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　）‎ A． B．3 C． m D．3m ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．‎ ‎【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，‎ ‎∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，‎ ‎∴点F到C的一条渐近线的距离为=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．在△ABC中，B=60°，b2=ac，则△ABC一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】由余弦定理且B=60°得b2=a2+c2﹣ac，再由b2=ac，得a2+c2﹣ac=ac，得a=c，得A=B=C=60°，得△ABC的形状是等边三角形 ‎【解答】解：由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，又b2=ac，‎ ‎∴a2+c2﹣ac=ac，∴（a﹣c）2=0，∴a=c，∴A=B=C=60°，‎ ‎∴△ABC的形状是等边三角形．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．已知数列{an}：， +， ++，…， +++…+，…，若bn=，那么数列{bn}的前n项和Sn为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】先确定数列{an}的通项，再确定数列{bn}的通项，利用裂项法可求数列的和．‎ ‎【解答】解：由题意，数列{an}的通项为an==，‎ ‎∴bn==4（﹣）‎ ‎∴Sn=4（1﹣+﹣+…+﹣）=4（1﹣）=‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|＜﹣1} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＞1}‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】根据条件，构造函数g（x）=f（x）﹣﹣，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设g（x）=f（x）﹣﹣，则函数的g（x）的导数g′（x）=f′（x）﹣，‎ ‎∵f（x）的导函数f′（x）＜，‎ ‎∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，‎ 则函数g（x）单调递减，‎ ‎∵f（1）=1，‎ ‎∴g（1）=f（1）﹣﹣=1﹣1=0，‎ 则不等式f（x）＜+，等价为g（x）＜0，‎ 即g（x）＜g（1），‎ 则x＞1，‎ 即f（x）＜+的解集{x|x＞1}，‎ 故选：D ‎　‎ ‎11．正项等比数列{an}中，存在两项am、an使得=4a1‎ ‎，且a6=a5+2a4，则的最小值是（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质．‎ ‎【分析】由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出则的最小值．‎ ‎【解答】解：在等比数列中，∵a6=a5+2a4，‎ ‎∴，‎ 即q2﹣q﹣2=0，‎ 解得q=2或q=﹣1（舍去），‎ ‎∵=4a1，‎ ‎∴，‎ 即2m+n﹣2=16=24，‎ ‎∴m+n﹣2=4，即m+n=6，‎ ‎∴，‎ ‎∴=（）=，‎ 当且仅当，即n=2m时取等号．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），‎ 联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），‎ 又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2•bcos 120°，‎ 化简得7a2=3c2，求得e=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．若椭圆+=1的离心率为，则m的值为　或18　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】分当椭圆焦点在x轴上或焦点在y轴上进行讨论，根据椭圆的标准方程算出a、b、c值，由离心率为建立关于m的方程，解之即可得到实数m之值．‎ ‎【解答】解：∵椭圆方程为+=1，‎ ‎∴①当椭圆焦点在x轴上时，a2=16，b2=m，‎ 可得c==，‎ 离心率e=，化简得1﹣=，解得m=‎ ‎②当椭圆焦点在y轴上时，a2=m，b2=16，‎ 可得c==‎ 离心率e=，化简得1﹣=，解得m=18．‎ 综上所述m=或m=18‎ 故答案为：或18‎ ‎　‎ ‎14．定义：称为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}的通项公式为　4n﹣3　．‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】设数列{an}的前n项和为Sn．由题意可得： =，即Sn=2n2﹣n，利用递推关系即可得出．‎ ‎【解答】解：设数列{an}的前n项和为Sn．‎ 由题意可得： =，‎ ‎∴Sn=2n2﹣n，‎ ‎∴n=1时，a1=S1=1；‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣n﹣[2（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=4n﹣3，‎ n=1时上式也成立，‎ ‎∴an=4n﹣3．‎ 故答案为：4n﹣3．‎ ‎　‎ ‎15．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若c=4，tanA=3，cosC=，求△ABC面积　6　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据cosC可求得sinC和tanC，根据tanB=﹣tan（A+C），可求得tanB，进而求得B．由正弦定理可求得b，根据sinA=sin（B+C）求得sinA，进而根据三角形的面积公式求得面积．‎ ‎【解答】解：∵cosC=，‎ ‎∴sinC=，tanC=2，‎ ‎∵tanB=﹣tan（A+C）=﹣=1，‎ 又0＜B＜π，‎ ‎∴B=，‎ ‎∴由正弦定理可得b==，‎ ‎∴由sinA=sin（B+C）=sin（+C）得，sinA=，‎ ‎∴△ABC面积为： bcsinA=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎16．以下四个关于圆锥曲线的命题中 ‎①设A、B为两个定点，k为非零常数，||﹣||=k，则动点P的轨迹为双曲线；‎ ‎②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若=（+），则动点P的轨迹为椭圆；‎ ‎③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎④双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点．‎ 其中真命题的序号为　③④　（写出所有真命题的序号）‎ ‎【考点】轨迹方程；椭圆的定义；双曲线的定义；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离；②不正确．根据平行四边形法则，易得P是AB的中点．由此可知P点的轨迹是一个圆；③正确．方程2x2﹣5x+2=0的两根和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④正确．双曲线﹣=1与椭圆+y2=1焦点坐标都是（，0）．‎ ‎【解答】解：①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．‎ 当点P在顶点AB的延长线上时，K=|AB|，显然这种曲线是射线，而非双曲线；‎ ‎②不正确．根据平行四边形法则，易得P是AB的中点．根据垂径定理，‎ 圆心与弦的中点连线垂直于这条弦设圆心为C，‎ 那么有CP⊥AB即∠CPB恒为直角．由于CA是圆的半径，是定长，‎ 而∠CPB恒为直角．也就是说，P在以CP为直径的圆上运动，‎ ‎∠CPB为直径所对的圆周角．所以P点的轨迹是一个圆，如图．‎ ‎③正确．方程2x2﹣5x+2=0的两根分别为和2，和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率．‎ ‎④正确．双曲线﹣=1与椭圆+y2=1焦点坐标都是（，0）．‎ 故答案为：③④．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．‎ ‎（1）当α=时，求AB的长；‎ ‎（2）当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）当α=时，求出直线AB的方程，圆心到直线AB的距离，即可求AB的长；‎ ‎（2）当弦AB被点P0平分时，OP0⊥AB，求出直线AB的斜率，即可写出直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：（1）当时，直线AB的方程为：y﹣2=﹣（x+1）⇒x+y﹣1=0，‎ 设圆心到直线AB的距离为d，则，‎ ‎∴…，‎ ‎（2）当弦AB被点P0平分时，OP0⊥AB，‎ ‎∵，∴，‎ 故直线AB的方程为：即x﹣2y+5=0…‎ ‎　‎ ‎18．设命题p：∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；命题p：不等式ax2﹣ax+2＞0对任意x∈R恒成立．若￢p为真，且p或q为真，求a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先求出命题p，q成立的等价条件，利用若¬p为真，且p或q为真，即可求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：若：∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0成立，则△≥0，‎ 即△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，‎ 得a≤﹣2或a≥1，即p：a≤﹣2或a≥1，‎ 若x∈R，恒成立，‎ 当a=0时，2＞0恒成立，满足条件．‎ 当a≠0，要使不等式恒成立，‎ 则，‎ 解得0＜a＜4，‎ 综上0≤a＜4．即q：0≤a＜4．‎ 若¬p为真，则p为假，‎ 又p或q为真，∴q为真，‎ ‎，‎ ‎∴a的取值范围为[0，1）．‎ ‎　‎ ‎19．已知直线l过点P（2，3），且被两条平行直线l1：3x+4y﹣7=0，l2：3x+4y+8=0截得的线段长为d．‎ ‎（1）求d的最小值；‎ ‎（2）当直线l与x轴平行，试求d的值．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】（1）由两平行线间的距离计算可得；（2）可得直线l的方程为y=3，分别可得与两直线的交点，可得d值．‎ ‎【解答】解：（1）当直线l与两平行线垂直时d最小，‎ 此时d即为两平行线间的距离，‎ ‎∴d==3‎ ‎（2）当直线l与x轴平行时，直线l的方程为y=3，‎ 把y=3代入l1：3x+4y﹣7=0可得x=，‎ 把y=3代入l2：3x+4y+8=0可得x=，‎ ‎∴d=|﹣（）|=5．‎ ‎　‎ ‎20．如图：Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．‎ ‎（1）建立适当的坐标系，求曲线E的标准方程；‎ ‎（2）过B点且倾斜角为120°的直线l交曲线E于M，N两点，求|MN|的长度．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=2，动点的轨迹是以为A，B焦点椭圆，即2a=2，a=，2c=2，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）直线l得方程为y=﹣（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|MN|的长度．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）以AB、OD所在的直线分别为x轴、y轴，O为原点建立直角坐标系…．‎ ‎∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+=2，‎ 动点的轨迹是以为A，B焦点椭圆…．‎ 设其长、短半轴的长分别为a、b，半焦距为c，则a=，c=1，b=1，‎ ‎∴曲线E的方程为： +y2=1．…‎ ‎（2）直线l得方程为y=﹣（x﹣1）且M（x1，y1），N（x2，y2）…．‎ 由方程组，得方程7x2﹣12x+4=0‎ x1+x2=，x1•x2= …‎ ‎==，‎ 故…..‎ ‎　‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；‎ ‎（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．‎ ‎【考点】四种命题的真假关系；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可，‎ ‎（2）把（1）中题设和结论变换位置然后设出A，B两点的坐标根据向量运算求证即可．‎ ‎【解答】解：（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）．‎ 当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，‎ 此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，﹣）．‎ ‎∴=3；‎ 当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣3），其中k≠0，‎ 由得ky2﹣2y﹣6k=0⇒y1y2=﹣6‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ 综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；‎ ‎（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，‎ 如果=3，那么该直线过点T（3，0）．该命题是假命题．‎ 例如：取抛物线上的点A（2，2），B（，1），‎ 此时=3，‎ 直线AB的方程为：，而T（3，0）不在直线AB上；‎ 说明：由抛物线y2=2x上的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足=3，可得y1y2=﹣6，‎ 或y1y2=2，如果y1y2=﹣6，可证得直线AB过点（3，0）；如果y1y2=2，可证得直线 AB过点（﹣1，0），而不过点（3，0）．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x2+y2=1上运动时．‎ ‎（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】（I）设出M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），由题意DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|，找出x0与x的关系及y0与y的关系，记作①，根据P在圆上，将P的坐标代入圆的方程，记作②，将①代入②，即可得到点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）由过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线l交曲线C于A，B两点，得到|t|大于等于圆的半径1，分两种情况考虑：（i）当t=1时，确定出切线l为x=1，将x=1代入M得轨迹方程中，求出A和B的坐标，确定出此时|AB|的长，当t=﹣1时，同理得到|AB|的长；（ii）当|t|大于1时，设切线l方程为y=kx+t，将切线l的方程与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，设A和B的坐标，利用根与系数的关系表示出两点横坐标之和与之积，再由切线l与圆相切，得到圆心到切线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后得到k与t的关系式，然后利用两点间的距离公式表示出|AB|，将表示出的两根之和与两根之积，以及k与t的关系式代入，得到关于t的关系，利用基本不等式变形，得到|AB|的最大值，以及此时t的取值，而三角形AOB的面积等于AB与半径r乘积的一半来求，表示出三角形AOB的面积，将|AB|的最大值代入求出三角形AOB面积的最大值，以及此时T的坐标即可．‎ ‎【解答】（本小题满分13分）‎ 解：（I）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），‎ 则x=x0，y=2y0，所以x0=x，y0=，①‎ 因为P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1②，‎ 将①代入②，得点M的轨迹方程C的方程为x2+=1；…‎ ‎（Ⅱ）由题意知，|t|≥1，‎ ‎（i）当t=1时，切线l的方程为y=1，点A、B的坐标分别为（﹣，1），（，1），‎ 此时|AB|=，当t=﹣1时，同理可得|AB|=；‎ ‎（ii）当|t|＞1时，设切线l的方程为y=kx+t，k∈R，‎ 由，‎ 得（4+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0③，‎ 设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），‎ 由③得：x1+x2=﹣，x1x2=，‎ 又直线l与圆x2+y2=1相切，得=1，即t2=k2+1，‎ ‎∴|AB|===，‎ 又|AB|==≤2，且当t=±时，|AB|=2，‎ 综上，|AB|的最大值为2，‎ 依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2+y2=1的半径，‎ ‎∴△AOB面积S=|AB|×1≤1，‎ 当且仅当t=±时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为（0，﹣）或（0，）．…‎