2017-2018学年湖南省长郡中学高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年湖南省长郡中学高二上学期期末数学文试题（解析版）

长郡中学2017-2018学年度高二第一学期期末考试 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.‎ ‎1. 设为虚数单位，，若是纯虚数，则（ ）‎ A. 2 B. -2 C. 1 D. -1‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵是纯虚数 ‎∴是纯虚数 ‎∴，即 故选C ‎2. “是真命题”是“为真命题”的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】为真命题,则是真命题; 是真命题,不一定为真命题;所以“是真命题”是“为真命题”的必要不充分条件,选A ‎3. 曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 切线方程是 ‎ 选B ‎4. 执行下列程序框图，若输入分别为77,63，则输出的（ ）‎ A. 12 B. 14 C. 7 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，则，‎ 则，所以，‎ 则，所以，‎ 则，所以，‎ 则，所以，‎ 则，所以，‎ 则，所以输出，故选C。‎ ‎5. 设复数，，则复数在复平面内对应的点到原点的距离是（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，复数在复平面内对应的点的坐标为，到原点的距离是，故选B.‎ ‎6. 下表是某小卖部统计出的五天中卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：‎ 若卖出热茶的杯数与气温近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 过点 ,选C ‎7. 若，，则一定有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 又因为a>b>0,所以.‎ 所以.‎ 故选C.‎ ‎8. 极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（ ）‎ A. 直线、直线 B. 圆、圆 C. 直线、圆 D. 圆、直线 ‎【答案】D ‎【解析】由，得，将代入上式得，故极坐标方程表示的图形为圆；‎ 由消去参数整理得，故参数方程表示的图形为直线。选D。‎ ‎9. 设是双曲线上一点，分别是双曲线左、右两个焦点，若，则等于（ ）‎ A. 1 B. 17‎ C. 1或17 D. 以上答案均不对 ‎【答案】B ‎【解析】根据双曲线的定义得到 根据双曲线的焦半径的范围得到 故结果为17.‎ 故答案为：B。‎ ‎10. ‎ 某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动得到如下的列联表：由并参照附表，得到的正确结论是（ ）‎ A. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”‎ B. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”‎ C. 有的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”‎ D. 有的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”,选A.‎ ‎11. 椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，，所以 ,选D.‎ ‎12. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为 ,所以 ,选A.‎ 点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.‎ ‎13. 一次试验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形的豆子的总数为粒，其中有粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设正方形的边长为2a，依题意，，得π＝，故选D.‎ ‎ ‎ ‎14. 已知函数.若方程在内有实数解，则实数的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得为单调递减函数,‎ 所以实数的最小值是,选D 点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即 有解，即取值范围为值域；‎ 的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空。‎ ‎15. 已知椭圆的离心率为，动是其内接三角形，且.若的中点为，的轨迹的离心率为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设，，则 ，由，得．因为C是椭圆上一点，所以 ‎ 得(定值) 设所以 ‎ ‎ 考点：直线与圆锥曲线的综合问题 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共20分.‎ ‎16. 命题，，则__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】因为 的否定为 ‎ 所以，‎ 点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.‎ ‎17. 抛物线的焦点坐标是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为 ,所以焦点坐标是 ‎18. 已知，函数在上是单调函数，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ 又函数在单调递增，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 即在上恒成立。‎ 又当时，，‎ ‎∴。‎ 又，‎ ‎∴。‎ 故实数的取值范围是。‎ 答案：‎ 点睛：对于导函数和函数单调性的关系要分清以下结论：‎ ‎（1）当时，若，则在区间D上单调递增（减）；‎ ‎（2）若函数在区间D上单调递增（减），则在区间D上恒成立。即解题时可将函数单调性的问题转化为的问题，但此时不要忘记等号。‎ ‎19. ‎ 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝.甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷.根据以上条件，可以判定偷珠宝的人是__________．‎ ‎【答案】甲 ‎【解析】假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾；假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立.‎ ‎20. 已知，用数学归纳法证明时，等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为假设时，，‎ 三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎21. 共享单车的推广给消费者带来全新消费体验，迅速赢得广大消费者的青睐，然而，同时也暴露出管理、停放、服务等方面的问题，为了了解公众对共享单车的态度（提倡或不提倡），某调查小组随机地对不同年龄段50人进行调查，将调查情况整理如下表：‎ 并且，年龄在和的人中持“提倡”态度的人数分别为5和3，现从这两个年龄段中随机抽取2人征求意见.‎ ‎（Ⅰ）求年龄在中被抽到的2人都持“提倡”态度的概率；‎ ‎（Ⅱ）求年龄在中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）年龄在[20，25）中共有6人，其中持“提倡”态度的人数为5‎ ‎，其中抽两人，基本事件总数n=15，被抽到的2人都持“提倡”态度包含的基本事件个数m=10，由此能求出年龄在[20，25）中被抽到的2人都持“提倡”态度的概率．（2）年龄在[40，45）中共有5人，其中持“提倡”态度的人数为3，其中抽两人，基本事件总数n′=10，年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度包含的基本事件个数m′=9，由此能求出年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度的概率．‎ 解析：‎ ‎（1）设在中的6人持“提倡”态度的为，，，，，持“不提倡”态度的为. ‎ 总的基本事件有（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（）.共15个，其中两人都持“提倡”态度的有10个，‎ 所以P==‎ ‎（2）设在中的5人持“提倡”态度的为，，，持“不提倡”态度的为，. ‎ 总的基本事件有()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，共10个，其中两人都持“不提倡”态度的只有()一种，所以P==‎ ‎22. 以平面直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），若与交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据 将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先将直线参数方程调整化简，再将直线参数方程代入圆直角坐标方程，根据参数几何意义得，最后利用韦达定理求解 试题解析：（Ⅰ）由，得，‎ ‎（Ⅱ）把，‎ 代入上式得，‎ ‎∴，则，，‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎23. 证明：（Ⅰ）已知是正实数，且.求证：；‎ ‎（Ⅱ）已知，且，，.求证：中至少有一个是负数.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用分析法将要证不等式转化为整式不等式，再约分得已知条件的不等式，即得结论（2）利用反证法，根据不等式性质可得 ，即得与已知条件矛盾的条件，即假设不成立 试题解析：（Ⅰ）因为均为正数，欲证，只要证明，也即证，也即证明，这与已知条件相符，且以上每个步骤都可逆，故不等式成立.‎ ‎（Ⅱ）假设都是非负数，因，‎ 故，又 ，‎ 故，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立.‎ ‎24. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为，离心率，短轴长为2.点为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，若的面积为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程为；（2）直线的方程为或.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得，再由 椭圆的方程为；（Ⅱ）①当直线斜率不存在时，不妨取面积为 ，不符合题意. ②当直线斜率存在时，设直线， 由 ‎ 得 ，再求点的直线的距离 点到直线的距离为面积为 ∴或 所求方程为或.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意得，∴，‎ ‎ ∵，∴，‎ ‎ ∴椭圆的方程为.‎ ‎ （Ⅱ）①当直线斜率不存在时，不妨取，‎ ‎ ∴面积为 ，不符合题意.‎ ‎ ②当直线斜率存在时，设直线，‎ ‎ 由化简得，‎ ‎ 设，‎ ‎ ∴ ，‎ ‎ ∵点的直线的距离，‎ ‎ 又是线段的中点，∴点到直线的距离为，‎ ‎ ∴面积为 ，‎ ‎ ∴，∴，∴，∴或，‎ ‎ ∴直线的方程为或.‎ ‎25. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；‎ ‎（Ⅱ）若，且，证明：.‎ ‎【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为，函数在处取得极大值，且；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间以及极值（2）为极值点偏移问题，先构造函数，，根据导数可得单调性，即得，最后根据单调性得，即证得结论 试题解析：（Ⅰ）由，‎ 易得的单调增区间为，单调减区间为，‎ 函数在处取得极大值，且 ‎（Ⅱ）由，，不妨设，则必有，‎ 构造函数，，‎ 则 ，所以在上单调递增，，也即对恒成立.‎ 由，则，‎ 所以 ，‎ 即，又因为，，且在上单调递减，‎ 所以，即证.‎ 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎