2019-2020学年四川省泸县第五中学高二下学期第一次在线月考数学（理）试题（解析版）
2019-2020学年四川省泸县第五中学高二下学期第一次在线月考数学（理）试题
一、单选题
1．命题“若，则”的逆否命题为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【解析】由逆否命题与原命题之间的关系可得出命题“若，则”的逆否命题.
【详解】
由题意可知，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，
故选：A.
【点睛】
本题考查逆否命题的改写，熟悉原命题与逆否命题之间的关系是解本题的关键，属于基础题.
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：∵，∴2p=1，∴，∴抛物线的焦点坐标为，故选C
【考点】本题考查了抛物线焦点坐标的求法
点评：熟练掌握常见标准抛物线的性质是解决此类问题的关键，属基础题
3．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】直接解出一元二次不等式的解集
【详解】
不等式，则
解得或
不等式的解集
故选
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的求解，利用因式分解结合其图像来求解，较为简单
4．已知a＞b．则下列关系正确的是（ ）
A．a3＞b3 B．|a|＞|b| C．a2＞b2 D．
【答案】A
【解析】取特殊值即可判断出的正误，由函数在上单调递增，可知的正误．
【详解】
解：当，都为负数时，，都错误．
取，时，错误．
由函数在上单调递增，可知正确．
故选：．
【点睛】
本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．若一组数据的茎叶图如图，则该组数据的中位数是（ ）
A．79 B．79.5 C．80 D．81.5
【答案】A
【解析】由给定的茎叶图得到原式数据，再根据中位数的定义，即可求解.
【详解】
由题意，根据给定的茎叶图可知，原式数据为：，
再根据中位数的定义，可得熟记的中位数为，故选A.
【点睛】
本题主要考查了茎叶图的应用，以及中位数的概念与计算，其中真确读取茎叶图的数据，熟记中位数的求法是解答的关键，属于基础题.
6．双曲线－y2＝1的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，由双曲线的标准方程可得、的值，进而由双曲线的几何性质可得的值，由离心率计算公式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，双曲线的标准方程为：，
则其，，
故，
则其离心率；
故选：．
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程求出、的值，属于基础题．
7．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入万
8.3
8.6
9.9
11.1
12.1
支出万
5.9
7.8
8.1
8.4
9.8
根据上表可得回归直线方程，其中，元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ）
A．12.68万元 B．13.88万元 C．12.78万元 D．14.28万元
【答案】A
【解析】由已知求得，，进一步求得，得到线性回归方程，取求得值即可．
【详解】
，．
又，∴．
∴．
取，得万元，故选A．
【点睛】
本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．
8．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）
A．k<1或k>3 B．1
1 D．k<3
【答案】B
【解析】由可得．
【详解】
由题意，解得．
故选：B．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程．方程，时，表示焦点在轴上椭圆，，表示焦点在轴上的椭圆．
9．“0＜m＜2”是“方程表示的曲线为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】求出方程表示的曲线为双曲线的充要条件，结合充分条件和必要条件的定义判断即可．
【详解】
解：方程表示的曲线为双曲线，
则，
解得，
故“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充要条件，
故选：．
【点睛】
本题考查了充要条件的判断，考查了双曲线的定义，主要考查推理能力和计算能力，属于基础题．
10．在正四面体中，点，分别在棱，上，若且，，则四面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意画出图形，设，，，由余弦定理得到关于，，的方程组，求解可得，的值，然后分别求出三角形的面积及A到平面的高，代入棱锥体积公式得答案．
【详解】
如图，
设，，，
∵，，
∴由余弦定理得，①
②
③
③-①得，，即，
∵，则，代入③，得，
又，得，，
∴．
∴A到平面PEF的距离．
∴，故选C．
【点睛】
本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．
11．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
.
12．设双曲线M：1（a＞0，b＞0）的上顶点为A，直线y与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点（0，2）的距离不超过87a，则M的离心率的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．[1，+∞） C．（1，1] D．（1，1]
【答案】D
【解析】求出双曲线的渐近线方程，令，求得，的坐标，由双曲线的对称性知在轴上，设，则，利用到直线的距离不超过，建立不等式关系，结合双曲线离心率的定义，即可得出结论
【详解】
解：记，由题意可得，，，，
由双曲线的对称性可知点在轴上，设，
则，
则，
，
，
，
即，
解得，
，
，，
故选：．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的垂心的概念，以及两直线垂直的条件：斜率之积为，考查运算能力，属于中档题．
二、填空题
13．已知变量满足约束条件，则的最大值为_______________.
【答案】11
【解析】先画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值
【详解】
解：画出可行域如图阴影部分，
由得
目标函数可看做斜率为的动直线，其纵截距越大，越大，
由图数形结合可得当动直线过点时，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧，二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题
14．若椭圆：的焦距为，则椭圆的长轴长为_________.
【答案】
【解析】根据椭圆的性质，列出方程求得的值，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，椭圆的焦距为，
则，解得，所以，
所以椭圆的长轴长为.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中熟记椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】由题设可知有解，即有解，令借，则，所以
，由于，故，结合正弦函数的图像可知，则，应填答案．
点睛：解答本题的思路是依据题设条件将其转化为方程有解，进而分离参数，然后通过三角换元将其转化为求函数的值域问题，最后借助正弦函数的图像求出其值域使得问题获解．
16．若抛物线上存在关于直线成轴对称的两点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】假设存在对称的两个点P，Q，利用两点关于直线成轴对称，可以设直线PQ的方程为，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去参数，建立关于的函数关系，求出变量的范围．
【详解】
设抛物线上关于直线对称的两相异点为、，
线段PQ的中点为，
设直线PQ的方程为，由于P、Q两点存在，
所以方程组有两组不同的实数解，
即得方程①
判别式②．
可得，，
∵，∴⇒…③
由②③可得，故答案为.
【点睛】
本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及对称问题，属于中档题．
三、解答题
17．已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：不等式对于任意恒成立.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题为真，为假，求实数的取值范围.
【答案】（1）.
【解析】（1）由命题得命题由命题为真，得为真命题或为真命题，列m的不等式求解即可；
（2）由命题为真，为假判断均为真命题或均为假命题，分情况列出m的不等式组求解即可.
【详解】
，
（1）由于为真命题，故为真命题或为真命题，从而有或，即.
（2）由于为真命题，为假命题，所以均为真命题或均为假命题，从而有或，解得
即：.
【点睛】
本题考查命题真假，注意命题p焦点在y轴上审题要注意，对于命题p,q的真假判断要准确.
18．已知函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）若对一切实数都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）m＝﹣2 （2）（﹣∞，0）∪（，+∞）
【解析】（1）根据二次函数的性质对进行讨论，即可求解最小值为，可得的值；
（2）分离参数，结合基本不等式即可求解；
【详解】
解：（1）函数的最小值为．
当时，在上单调递增，没有最小值；
当时，可知时取得最小值；
即，
解得，
故的值为．
（2）由对一切实数都成立，即，
可得，
（当且仅当时取等号），
，
即．
解得：或．
故得实数的取值范围．
【点睛】
本题考查了复合函数的单调性和二次函数的最值问题，基本不等式的应用，属于基础题．
19．为了促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设，2014年该市某中学的某新生想通过考核选拨进入该校的“电影社”和“心理社”，已知该同学通过考核选拨进入这两个社团成功与否相互独立根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率
（Ⅰ）求该同学分别通过选拨进入“电影社”的概率和进入心理社的概率；
（Ⅱ）学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分．求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率．
【答案】（1）（2）
【解析】（Ⅰ）利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式列出方程组，能求出结果．
（Ⅱ）利用独立事件的概率乘法公式分别求得分数为1和1.5时的概率，再利用互斥事件概率计算公式求得结果．
【详解】
（Ⅰ）根据题意得：
，且p1＜p2，
∴p1，p2．
（Ⅱ）令该同学在社团方面获得校本选修课加分分数为ξ，
P（ξ＝1）＝（1），
P（ξ＝1.5），
∴该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率：
p．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．如图，四边形为矩形，平面平面，，，，，点在线段上.
（1）求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长度.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）先证明，又平面平面，即得平面；（2）以为原点，以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得，解方程即得解.
【详解】
（1）证明：∵，∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
（2）以为原点，以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，
由题知，平面，
∴为平面的一个法向量，
设，则，∴，
设平面的一个法向量为，则，
∴，令，可得，
∴，得或（舍去），
∴.
【点睛】
本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21．已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和抛物线E：y2＝2px（p＞0），圆C与抛物线E的准线交于M、N两点，△MNF的面积为p，其中F是E的焦点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）不过原点O的动直线l交该抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点Q为圆C上任意一动点，求当动点Q到直线l的距离最大时直线l的方程．
【答案】（1）y2＝4x （2）y＝5x﹣20
【解析】（1）求得圆的圆心和半径，抛物线的焦点和准线方程，由三角形的面积公式和圆的弦长公式，计算可得，可得抛物线的方程；
（2）不过原点的动直线的方程设为，，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件，解方程可得，即有动直线恒过定点，结合图象可得直线时，到直线的距离最大，求得直线的斜率，可得所求方程．
【详解】
解：（1）圆的圆心，半径为1，
抛物线的准线方程为，，，
由的面积为，可得，即，
可得经过圆心，可得．则抛物线的方程为；
（2）不过原点的动直线的方程设为，，
联立抛物线方程，可得，
设，，，，可得，，
由可得，即，即，解得，
则动直线的方程为，恒过定点，
当直线时，到直线的距离最大，
由，可得到直线的距离的最大值为，
此时直线的斜率为，
直线的斜率为5，可得直线的方程为．
【点睛】
本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简运算能力和数形结合思想，属于中档题．
22．设A是圆O：x2+y2＝16上的任意一点，l是过点A且与x轴垂直的直线，B是直线l与x轴的交点，点Q在直线l上，且满足4|BQ|＝3|BA|．当点A在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知直线y＝kx﹣2（k≠0）与曲线C交于M，N两点，点M关于y轴的对称点为M′，设P（0，﹣2），证明：直线M′N过定点，并求△PM′N面积的最大值．
【答案】（1）1（2）证明见解析,△PM′N面积的最大值为
【解析】（1）点在圆上运动，引起点的运动，我们可以由，得到点和点坐标之间的关系式，并由点的坐标满足圆的方程得到点坐标所满足的方程；
（2）设，，，，则，，联立，得，利用直线的斜率，求直线的方程，即可直线
过定点，并求出面积的最大值．
【详解】
解：（1）设，，，，在直线上，
，．①
点在圆上运动，．②
将①式代入②式即得曲线的方程为．
证明：（2）设，，，，则，，
联立，得，
，．
直线的斜率，
直线的方程为．
令，得，
直线过定点．
面积，
当且仅当，即时取等号，
面积的最大值为．
【点睛】
本题考查曲线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查三角形的面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
