2017-2018学年河南省洛阳市名校高二上学期第二次联考数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年河南省洛阳市名校高二上学期第二次联考数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年河南省洛阳市名校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的解集为（　　）‎ A．[1，2] B．（﹣∞，1]∪[2，+∞） C．（1，2） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）‎ ‎2．（5分）在△ABC中，∠A=45°，∠C=105°，BC=则AC为（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎3．（5分）下列说法正确的（　　）‎ A．∃x∈（0，π）使得+sinx=2成立 B．“x＜2”是“x＞3”的必要不充分条件 C．命题“p：∀x∈（0，+∞），x2≥x﹣1”的否定为“￢p：∃x0∈（0，+∞），x02＜x0﹣1”‎ D．“若p则q”形式命题的否命题为“若p则￢q”‎ ‎4．（5分）数列{an}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+an=2n﹣1，则a12+a22+a32+…+an2 等于（　　）‎ A．（2n﹣1）2 B． C． D．4n﹣1‎ ‎5．（5分）焦点为F（0，10），渐近线方程为4x±3y=0的双曲线的方程是（　　）‎ A．=1 B．=1‎ C．=1 D．=1‎ ‎6．（5分）若实数数列：1，a，81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（　　）‎ A． 或 B．或 C． D．或10‎ ‎7．（5分）若a＞0，b＞0且a+b=2，则下列不等式恒成立的是（　　）‎ A． B． C． D．a2+b2≥2‎ ‎8．（5分）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．（5分）已知，给出下列四个命题：‎ P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0；‎ P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+1≤0；‎ ‎；‎ ‎ ；‎ 其中真命题的是（　　）‎ A．P1，P2 B．P2，P3 C．P3，P4 D．P2，P4‎ ‎10．（5分）已知正实数a，b满足a+b=3，则的最小值为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎11．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＜2，对任意的x，y∈R，f（x）+f（y）=f（x+y）+2成立，若数列{an}满足a1=f（0），且f（an+1）=f（），n∈N*，则a2018的值为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）在等比数列{an}中，若a3•a6=2，a4+a5=3，则an=　 　．‎ ‎14．（5分）若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m＜0”为假命题，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎15．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的标准方程为　 　．‎ ‎16．（5分）已知数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*），若不等式++t•an≥0恒成立，则实数t的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，命题q：实数x满足|x﹣3|＜1．‎ ‎（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若a＞0，且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎19．（12分）某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．‎ ‎（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？‎ ‎（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2‎ ‎﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中，b2=5，且公差d=2．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正整数n，使得a1b1+a2b2+…+anbn＞60n？若存在，求n的最小值，若不存在，说明理由．‎ ‎21．（12分）已知点M是椭圆C：=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|=4，∠F1MF2=60°，△F1MF2的面积为 ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设N（0，2），过点p（﹣1，﹣2）作直线l，交椭圆C异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值．‎ ‎22．（12分）已知双曲线﹣y2=1的焦点是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动点M在椭圆C上，且|MN|=，记直线MN在y轴上的截距为m，求m的最大值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年河南省洛阳市名校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的解集为（　　）‎ A．[1，2] B．（﹣∞，1]∪[2，+∞） C．（1，2） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）‎ ‎【分析】不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0，即为或，运用一次不等式组解法，即可得到所求解集．‎ ‎【解答】解：不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0，‎ 即为或，‎ 即为1≤x≤2或x∈∅，‎ 则不等式的解集为[1，2]．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查一元二次不等式的解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）在△ABC中，∠A=45°，∠C=105°，BC=则AC为（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎【分析】由三角形内角和定理可求角B，由正弦定理即可求AC的值．‎ ‎【解答】解：∵∠A=45°，∠C=105°，‎ ‎∴∠B=π﹣∠A﹣∠C=30°，‎ ‎∴由正弦定理可得：AC===1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理的综合应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）下列说法正确的（　　）‎ A．∃x∈（0，π）使得+sinx=2成立 B．“x＜2”是“x＞3”的必要不充分条件 C．命题“p：∀x∈（0，+∞），x2≥x﹣1”的否定为“￢p：∃x0∈（0，+∞），x02＜x0﹣1”‎ D．“若p则q”形式命题的否命题为“若p则￢q”‎ ‎【分析】利用三角函数的有界性判断A的正误；充要条件判断B的正误；命题的否定判断C的正误；四种命题的逆否关系判断D的正误；‎ ‎【解答】解：x∈（0，π）使得≥2，sinx＞0，所以，∃x∈（0，π）使得+sinx=2成立，不正确；‎ ‎“x＜2”与“x＞3”是既不充分也不必要条件，所以B不正确；‎ 命题“p：∀x∈（0，+∞），x2≥x﹣1”的否定为“￢p：∃x0∈（0，+∞），x02＜x0﹣1”满足命题是否定形式，正确；‎ 若p则q”形式命题的否命题为“若￢p则￢q，所以D不正确；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假的判断，涉及充要条件，命题的否定，四种命题的逆否关系，是基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）数列{an}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+an=2n﹣1，则a12+a22+a32+…+an2 等于（　　）‎ A．（2n﹣1）2 B． C． D．4n﹣1‎ ‎【分析】首先根据a1+a2+a3+…+an=2n﹣1，求出a1+a2+a3+…+an﹣1=2n﹣1﹣1，两式相减即可求出数列{an}的关系式，然后求出数列{an2}的递推式，最后根据等比数列求和公式进行解答．‎ ‎【解答】解：∵a1+a2+a3+…+an=2n﹣1…①‎ ‎∴a1+a2+a3+…+an﹣1=2n﹣1﹣1…②，‎ ‎①﹣②得an=2n﹣1，‎ ‎∴an2=22n﹣2，‎ ‎∴数列{an2}是以1为首项，4为公比的等比数列，‎ ‎∴a12+a22+a32+…+an2==，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查数列求和和求数列递推式的知识点，解答本题的关键是求出数列{an}的通项公式，本题难度一般．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）焦点为F（0，10），渐近线方程为4x±3y=0的双曲线的方程是（　　）‎ A．=1 B．=1‎ C．=1 D．=1‎ ‎【分析】由题意可得可设双曲线的方程是=1，且c=10，==，求出b=6，a=8，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得可设双曲线的方程是 =1，且c=10，==，‎ ‎∴b=6，∴a=8，故双曲线的方程为=1，‎ 故选 A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出b=6，a=8，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若实数数列：1，a，81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（　　）‎ A． 或 B．或 C． D．或10‎ ‎【分析】由等比数列的可得a的值，分类讨论可求曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵实数数列：1，a，81成等比数列，‎ ‎∴a2=81，解得a=9或a=﹣9，‎ 当a=9时，曲线方程为x2+=1表示焦点在y轴的椭圆，‎ 其中a=3，c==2，故离心率e==；‎ 当a=﹣9时，曲线方程为x2﹣=1表示焦点在x轴的双曲线，‎ 其中a=1，c==，故离心率e==；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查等比数列和圆锥曲线，涉及分类讨论的思想，属基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若a＞0，b＞0且a+b=2，则下列不等式恒成立的是（　　）‎ A． B． C． D．a2+b2≥2‎ ‎【分析】a＞0，b＞0且a+b=2，利用2（a2+b2）≥（a+b）2，即可得出．‎ ‎【解答】解：a＞0，b＞0且a+b=2，‎ 则2（a2+b2）≥（a+b）2=22，化为：a2+b2≥2，当且仅当a=b=1时取等号．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了重要不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断．‎ ‎【解答】解：∵S4+S6＞2S5，‎ ‎∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），‎ ‎∴21d＞20d，‎ ‎∴d＞0，‎ 故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，‎ 故选：C ‎【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题 ‎　‎ ‎9．（5分）已知，给出下列四个命题：‎ P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0；‎ P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+1≤0；‎ ‎；‎ ‎ ；‎ 其中真命题的是（　　）‎ A．P1，P2 B．P2，P3 C．P3，P4 D．P2，P4‎ ‎【分析】画出约束条件不是的可行域，利用目标函数的几何意义，求出范围，判断选项的正误即可．‎ ‎【解答】解：的可行域如图，‎ p1：A（﹣2，0）点，﹣2+0=﹣2，x+y的最小值为﹣2，‎ 故∀（x，y）∈D，x+y≥0为假命题； ‎ p2：B（﹣1，3）点，﹣2﹣3+1=﹣4，‎ A（﹣2，0），﹣4﹣0+1=﹣3，C（0，2），0﹣2+1=﹣1，‎ 故∀（x，y）∈D，2x﹣y+1≤0为真命题；‎ p3：C（0，2）点，=﹣3，‎ 故∃（x，y）∈D，≤﹣4为假命题； ‎ p4：（﹣1，1）点，x2+y2=2．‎ 故∃（x，y）∈D，x2+y2≤2为真命题．‎ 可得选项p2，p4正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查线性规划的解得应用，命题的真假的判断，正确画出可行域以及目标函数的几何意义是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知正实数a，b满足a+b=3，则的最小值为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【分析】由已知可得，代入，然后利用基本不等式求最值．‎ ‎【解答】解：∵a+b=3，‎ ‎∴==‎ ‎=‎ ‎=．‎ 当且仅当，即a=，b=时等号成立．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查利用基本不等式求最值，关键是掌握该类问题的求解方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据是a、m的等比中项可得c2=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2﹣b2=m2+n2=c2，根据n2是2m2与c2的等差中项可得2n2=2m2+c2，联立方程即可求得a和c的关系，进而求得离心率e．‎ ‎【解答】解：由题意：‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴a2=4c2，‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的性质，属基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＜2，对任意的x，y∈R，f（x）+f（y）=f（x+y）+2成立，若数列{an}满足a1=f（0），且f（an+1‎ ‎）=f（），n∈N*，则a2018的值为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【分析】判断f（x）的单调性可得an+1=，从而可得{}是等比数列，求出{an}的通项公式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：令x=y=0可得2f（0）=f（0）+2，∴f（0）=2，‎ ‎∴a1=2．‎ 设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，∴f（x1﹣x2）＜2，‎ ‎∴f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）+f（x2）﹣2，‎ ‎∴f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）﹣2＜0，‎ ‎∴f（x1）＜f（x2），‎ ‎∴f（x）在R上单调递减，‎ ‎∵f（an+1）=f（），‎ ‎∴an+1=，‎ ‎∴==1+，‎ ‎∴+=3（+），‎ 又+=1，‎ ‎∴{}是1为首项，以3为公比的等比数列，‎ ‎∴=3n﹣1，‎ ‎∴an==．‎ ‎∴a2018=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了函数单调性的判断，数列的通项公式的计算，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）在等比数列{an}中，若a3•a6=2，a4+a5=3，则an=　2n﹣4或25﹣n　．‎ ‎【分析】推导出a3•a6=a4•a5=2，从而a4，a5是方程x2﹣3x+2=0的两个根，解方程x2﹣3x+2=0得a4=1，a5=2或a4=2，a5=1，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵在等比数列{an}中，a3•a6=2，a4+a5=3，‎ ‎∴a3•a6=a4•a5=2，‎ ‎∴a4，a5是方程x2﹣3x+2=0的两个根，‎ 解方程x2﹣3x+2=0得a4=1，a5=2或a4=2，a5=1，‎ 当a4=1，a5=2时，，‎ ‎∴．‎ 当a4=2，a5=1时，，‎ ‎∴an=16×（）n﹣1=25﹣n．‎ 故答案为：2n﹣4或25﹣n．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m＜0”为假命题，则实数m的取值范围是　[0，8]　．‎ ‎【分析】把命题“存在x0∈R，使得x02+mx0+2m＜0”为假命题化为其否定命题：“任意x∈R，都有x2+mx+2m≥0”为真命题，求出对应m的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：命题“存在x0∈R，使得x02+mx0+2m＜0”的否定为：‎ ‎“任意x∈R，都有x2+mx+2m≥0”，‎ 由于命题“存在x0∈R，使得x02+mx0+2m＜0”为假命题，‎ 则其否定为：“任意x∈R，都有x2+mx+2m≥0”为真命题，‎ 应满足△=m2﹣8m≤0，解得0≤m≤8；‎ 综上，实数m的取值范围是[0，8]．‎ 故答案为：[0，8]．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的恒成立问题，解决此类问题要结合函数的图象与性质进行处理，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的标准方程为　　．‎ ‎【分析】由已知得，由此能求出椭圆方程．‎ ‎【解答】解：由已知得，‎ 解得a=，b=，c=1，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*），若不等式++t•an≥0恒成立，则实数t的取值范围是　[﹣9，+∞）　．‎ ‎【分析】由数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*），两边取倒数可得：﹣=1．利用等差数列的通项公式即可得出an．不等式++t•an≥0化为：t≥﹣．再利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：由数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*），‎ 两边取倒数可得：﹣=1．‎ ‎∴数列是等差数列，公差为1，首项为2．‎ ‎∴=2+（n﹣1）=n+1，‎ ‎∴an=．‎ 不等式++t•an≥0化为：t≥﹣．‎ ‎∵+5≥2=4，当且仅当n=2时取等号．‎ ‎∵﹣≤﹣9．‎ ‎∵实数t的取值范围若不等式++t•an≥0恒成立，‎ ‎∴t≥﹣9．‎ 则实数t的取值范围[﹣9，+∞）．‎ 故答案为：[﹣9，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，命题q：实数x满足|x﹣3‎ ‎|＜1．‎ ‎（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若a＞0，且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0‎ 当a=1时，1＜x＜3，‎ 即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．‎ 由|x﹣3|≤1，得﹣1≤x﹣3≤1，得2≤x≤4，‎ 即q为真时实数x的取值范围是2≤x≤4，‎ 若p∧q为真，则p真且q真，‎ 所以实数x的取值范围是2≤x＜3．‎ ‎（Ⅱ）¬p是¬q的充分不必要条件，‎ 即¬p⇒¬q，且¬q⇏¬p，‎ 设A={x|¬p}，B={x|¬q}，则A⊊B，‎ 又A={x|¬p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|¬q}={x≤2或x＞3}，‎ 则0＜a≤2，且3a＞3，‎ 所以实数a的取值范围是1＜a≤2．‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【分析】（1）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得﹣2sinCcosB=sinC，结合sinC＞0，可得，进而可求B的值．‎ ‎（2）利用三角形面积公式可求ac=4，利用余弦定理可求a+c的值，进而可求周长．‎ ‎【解答】解：（1）∵bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），‎ ‎∴bcosA=（2c+a）（﹣cosB）．‎ 由正弦定理可得，sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB，‎ 即sin（A+B）=﹣2sinCcosB=sinC，‎ 又角C为△ABC内角，sinC＞0，‎ ‎∴，‎ 又B∈（0，π），‎ ‎∴．‎ ‎（2）有，得ac=4．‎ 又b2=a2+c2+ac=（a+c）2﹣ac=16，‎ ‎∴，‎ ‎∴△ABC周长为．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．‎ ‎（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？‎ ‎（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；‎ ‎（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，有，（3分）‎ 整理得x2﹣65x+1000≤0，‎ 解得25≤x≤40． （5分）‎ ‎∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． （6分）‎ ‎（Ⅱ）依题意，x＞25时，‎ 不等式有解，（8分）‎ 等价于x＞25时，有解，（9分）‎ ‎∵（当且仅当x=30时，等号成立），（11分）‎ ‎∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元（12分）‎ ‎∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． （13分）‎ ‎【点评】解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中，b2=5，且公差d=2．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正整数n，使得a1b1+a2b2+…+anbn＞60n？若存在，求n的最小值，若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据等差数列的通项公式，建立方程关系即可求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2求出数列{anbn}的前n项和Sn，即可解不等式．‎ ‎【解答】解：（1）∵an+1=2Sn+1，‎ ‎∴当n≥2时，an=2Sn﹣1+1两式相减得：an+1=3an（n≥2）‎ 又a2=2a1+1=3=3a1，∴an+1=3an（n∈N*）．‎ ‎∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎∴an=3n﹣1．‎ 又b1=b2﹣d=5﹣2=3，∴bn=b1+（n﹣1）d=2n+1．‎ ‎（2）‎ 令…①‎ 则3Tn=3×3+5×32+7×33+…+（2n﹣1）×3n﹣1+（2n+1）×3n…②‎ ‎①﹣②得：‎ ‎∴Tn=n×3n＞60n，即3n＞60，‎ ‎∵33=27，34=81，‎ ‎∴n的最小正整数为4．‎ ‎【点评】本题主要考查数列的通项公式和数列前n项和Sn的计算，以及数列与不等式的综合应用，利用错位相减法是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知点M是椭圆C：=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|=4，∠F1MF2=60°，△F1MF2的面积为 ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设N（0，2），过点p（﹣1，﹣2）作直线l，交椭圆C异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值．‎ ‎【分析】（I）由余弦定理可得=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|‎ cos60°，结合|F1F2|=2c=4，|MF1|+|MF2|=2a，求出a2，b2的值，可得椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1），与出椭圆方程联立后，利用韦达定理，化简k1+k2可得定值；当直线l斜率不存在时，求出A，B两点坐标，进而求出k1、k2，综合讨论结果，可得结论．‎ ‎【解答】解：（I）在△F1MF2中，由|MF1||MF2|sin60°=，得|MF1||MF2|=．‎ 由余弦定理，得=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°=（|MF1|+|MF2|）2﹣2|MF1||MF2|（1+cos60°）‎ 又∵|F1F2|=2c=4，|MF1|+|MF2|=2a 故16=4a2﹣16，‎ 解得a2=8，故b2=a2﹣c2=4‎ 故椭圆C的方程为 ‎（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1）‎ 由，得（1+2k2）x2+4k（k﹣2）x+2k2﹣8k=0‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2=，x1x2=，‎ 从而k1+k2=+==2k﹣（k﹣4）=4． 11分 当直线l斜率不存在时，得A（﹣1，），B（﹣1，﹣）‎ 此时k1+k2=4‎ 综上，恒有k1+k2=4．‎ ‎【点评】‎ 本题考查椭圆的定义、余弦定理及韦达定理的应用．第一问是利用三角形面积公式、余弦定理、椭圆的定义，三个方程联立，解出a，再根据a，b，c的关系求出b，本问分析已知条件是解题的关键；第二问是直线与椭圆相交于A，B两点，先设出A，B两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知双曲线﹣y2=1的焦点是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动点M在椭圆C上，且|MN|=，记直线MN在y轴上的截距为m，求m的最大值．‎ ‎【分析】（I）由题意求得椭圆的离心率，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）分类讨论，当斜率为0时，即可求得m的值，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得m的表达式，利用导数求得函数的单调性及最值，即可求得m的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵双曲线﹣y2=1的焦点是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的顶点，‎ 且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，‎ ‎∴a=，，=，‎ ‎∴c=，b=，‎ ‎∴椭圆C的方程为=1．‎ ‎（Ⅱ）当直线MN的斜率为0时，由|MN|=，‎ 则M（，y），则y=，‎ 则直线MN在y轴上的截距为，‎ 当直线MN的斜率不存时，与y轴无焦点，‎ 设MN为：y=kx+m，（k≠0）‎ 联立，得（1+6k2）x2+12kmx+6m2﹣6=0，‎ ‎，，‎ ‎△=（12km）2﹣4（1+6k2）（6m2﹣6）＞0，△=144k2﹣24m2+24＞0，∴m2＜6k2+1，‎ ‎|MN|==，‎ ‎∴=，‎ 整理，得，‎ ‎∴＜6k2+1，‎ 整理得：36k4+12k2+1＞0，即6k2+1＞0，k∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），‎ 则=，令k2+1=t，t＞1，‎ 则f（t）=﹣2t﹣+，t＞1，求导f′（t）=﹣2+，‎ 令f′（t）＞0，解得：1＜t＜，‎ 令f′（t）＜0，解得：t＞，‎ 则f（t）在（1，）单调递增，在（，+∞）单调递减，‎ ‎∴当t=时，f（t）取最大值，最大值为，‎ ‎∴m的最大值为，‎ 综上可知：m的最大值为．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎