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文档介绍
数学卷·2018届四川省眉山中学高二上学期12月月考数学试卷(文科) (解析版)
2016-2017学年四川省眉山中学高二(上)12月月考数学试卷(文科) 一、选择题(每题5分,共60分) 1.直线x+2y﹣1=0在y轴上的截距为( ) A.﹣1 B. C. D.1 2.F1、F2是定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则点M的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 3.双曲线的实轴长是( ) A.2 B.2 C.4 D.4 4.椭圆2x2+3y2=6的焦距是( ) A.2 B.2(﹣) C.2 D.2(+) 5.若直线x+(1+m)y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行,则m的值为( ) A.1 B.﹣2 C.1或﹣2 D. 6.已知焦点在x轴上的双曲线渐近线方程为,则此双曲线的离心率等于( ) A. B. C. D. 7.圆C1:x2+y2﹣2x=0与圆C2:x2+(y﹣)2=4的公切线的条数( ) A.3 B.2 C.1 D.0 8.若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y﹣4的最大值为( ) A.﹣4 B.﹣1 C.1 D.5 9.设F1(﹣c,0)、F2(c,0)是椭圆+=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若2∠PF1F2=∠PF2F1,则椭圆的离心率为( ) A.﹣1 B. +1 C.﹣1 D. +1 10.椭圆的内接三角形ABC(顶点A、B、C都在椭圆上)的边AB,AC分别过椭圆的焦点F1和F2,则△ABC的周长( ) A.总大于6a B.总等于6a C.总小于6a D.与6a的大小不确定 11.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 12.设椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,已知点P(0,)到椭圆上的点的最远距离是,则短半轴之长b=( ) A. B. C. D. 二、填空题(每题5分,共20分) 13.若双曲线﹣=1上一点P到焦点F1的距离为6,则点P到另一焦点F2的距离是 . 14.过点M(1,1)作一直线与椭圆+=1相交于A,B两点,若M点恰好为弦AB的中点,则AB所在直线的方程为 . 15.F1,F2 是椭圆的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△ AF1F2的面积为 . 16.对于曲线C: =1,给出下面四个命题: ①由线C不可能表示椭圆; ②当1<k<4时,曲线C表示椭圆; ③若曲线C表示双曲线,则k<1或k>4; ④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1<k< 其中所有正确命题的序号为 . 三、解答题(共70分) 17.求经过点P(﹣3,0),Q(0,﹣2)的椭圆的标准方程,并求出椭圆的长轴长、短轴长. 18.已知双曲线的离心率等于2,且与椭圆有相同的焦点,求此双曲线方程及其渐近线方程. 19.圆x2+y2=8内有一点P0(﹣1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦. (1)当α=135°时,求AB的长; (2)当弦被点P0平分时,写出直线AB的方程. 20.已知圆C过点P(,),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称. (1)求圆C的方程; (2)直线l过点D(,),且截圆C的弦长为,求直线l的方程; (3)设Q为圆心C上的一个动点,求•的最小值. 21.平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:(a>b>0)右焦点的直线x+y﹣=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为. (Ⅰ)求M的方程 (Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥ AB,求四边形ACBD面积的最大值. 22.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2 (Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)已知点A、B为动直线y=k(x﹣1),k≠0与椭圆C的两个交点,问:在x轴上是否存在定点M,使得•为定值?若存在,试求出点M的坐标和定值;若不存在,请说明理由. 2016-2017学年四川省眉山中学高二(上)12月月考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(每题5分,共60分) 1.直线x+2y﹣1=0在y轴上的截距为( ) A.﹣1 B. C. D.1 【考点】直线的截距式方程. 【分析】令x=0,可得直线x+2y﹣1=0在y轴上的截距. 【解答】解:令x=0,可得y=, ∴直线x+2y﹣1=0在y轴上的截距为, 故选B. 2.F1、F2是定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则点M的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 【考点】轨迹方程. 【分析】首先确定点M在直线上,再利用长度关系,确定点M在线段F1F2上. 【解答】解:若点M与F1,F2可以构成一个三角形,则|MF1|+|MF2|>|F1F2|, ∵|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6, ∴点M在线段F1F2上. 故选C. 3.双曲线的实轴长是( ) A.2 B.2 C.4 D.4 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据标准方程,可得a=2,即可求得双曲线的实轴长. 【解答】解:双曲线中a2=4,∴a=2 ∴2a=4,即双曲线的实轴长是4 故选C. 4.椭圆2x2+3y2=6的焦距是( ) A.2 B.2(﹣) C.2 D.2(+) 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】把椭圆的方程化为标准形式,求出a、b、c的值,可得焦距2c的值. 【解答】解:椭圆2x2+3y2=6可化为, ∴c==1, ∴椭圆2x2+3y2=6的焦距是2c=2, 故选:A. 5.若直线x+(1+m)y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行,则m的值为( ) A.1 B.﹣2 C.1或﹣2 D. 【考点】两条直线平行的判定. 【分析】由两直线平行的充要条件,列出方程求解即可. 【解答】解:直线x+(1+m)y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行,可得,得:m=1, 故选:A. 6.已知焦点在x轴上的双曲线渐近线方程为,则此双曲线的离心率等于( ) A. B. C. D. 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出双曲线的渐近线方程,可得2a=3b,再由a,b,c的关系以及离心率公式计算即可得到. 【解答】解:焦点在x轴上的双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x, 由题意可得, =, 即b=a,c===a, 即有e==. 故选:D. 7.圆C1:x2+y2﹣2x=0与圆C2:x2+(y﹣)2=4的公切线的条数( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】求出两个圆的圆心和半径,根据圆心距离和半径之间的关系,判断两个圆的位置关系即可得到结论. 【解答】解:圆C1:x2+y2﹣2x=0的标准方程为(x﹣1)2+y2=1,圆心为C1:(1,0),半径r=1, 圆C2:x2+(y﹣)2=4,圆心为C2:(0,),半径R=2, 则|C1C2|=2, ∵R+1=3,R﹣1=1, ∴1<|C1C2|<3, ∴两个圆的位置关系是相交, 则两个圆的公共切线为2条, 故选B. 8.若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y﹣4的最大值为( ) A.﹣4 B.﹣1 C.1 D.5 【考点】简单线性规划. 【分析】画出不等式组表示的平面区域为一三角形区域,可得当直线z=2x+y﹣4过A(2,1)时,z取得最大值. 【解答】解:画出不等式组表示的平面区域为一三角形区域, 由得x=2,y=1, ∴当直线z=2x+y﹣4过A(2,1)时,zmax=2×2+1﹣4=1 故选C. 9.设F1(﹣c,0)、F2(c,0)是椭圆+=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若2∠PF1F2=∠PF2F1,则椭圆的离心率为( ) A.﹣1 B. +1 C.﹣1 D. +1 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】先根据题意和圆的性质可判断出△PF1F2为直角三角形,根据2∠PF1F2=∠PF2F1,推断出∠PF1F2=30°,进而可求得PF1和PF2,进而利用椭圆的定义求得a和c的关系,则椭圆的离心率可得. 【解答】解:由题意△PF1F2为直角三角形,且∠P=90°,∠PF1F2=30°,F1F2=2c, ∴PF2=c,PF1=c, 由椭圆的定义知,PF1+PF2=c+c=2a, ∴离心率为e==﹣1. 故选:A. 10.椭圆的内接三角形ABC(顶点A、B、C都在椭圆上)的边AB,AC分别过椭圆的焦点F1和F2,则△ABC的周长( ) A.总大于6a B.总等于6a C.总小于6a D.与6a的大小不确定 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由椭圆的定义可得AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a,CF1+CF2=2a,三式相加可得AF1+AF2+BF1+BF2+CF1+CF2=6a,结合△ABC周长,即可得出结论. 【解答】解:连接BF2,CF1,则AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a,CF1+CF2=2a, 三式相加可得AF1+AF2+BF1+BF2+CF1+CF2=6a ∴AB+AC+BF2+CF1=6a, ∵BF2+CF1>BC, ∴AB+AC+BC<6a 故选C. 11.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论,结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断,建立关于a、c的不等式,解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围. 【解答】解:①当点P与短轴的顶点重合时, △F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形, 此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P; ②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时, 以F2P作为等腰三角形的底边为例, ∵F1F2=F1P, ∴点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上 因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时, 存在2个满足条件的等腰△F1F2P, 在△F1F2P1中,F1F2+PF1>PF2,即2c+2c>2a﹣2c, 由此得知3c>a.所以离心率e>. 当e=时,△F1F2P是等边三角形,与①中的三角形重复,故e≠ 同理,当F1P为等腰三角形的底边时,在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P 这样,总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形 综上所述,离心率的取值范围是:e∈(,)∪(,1) 12.设椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,已知点P(0,)到椭圆上的点的最远距离是,则短半轴之长b=( ) A. B. C. D. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由,a2=b2+c2,可得:椭圆的标准方程为:x2+4y2=4b2 .可设椭圆上的任意一点Q(x,y),则x2=4b2﹣4y2,(﹣b≤y≤b).|PQ|==.对b与的大小关系分类讨论,利用二次函数的单调性即可得出. 【解答】解:由,a2=b2+c2,可得:c2=3b2,a2=4b2. ∴椭圆的标准方程为:x2+4y2=4b2. 可设椭圆上的任意一点Q(x,y),则x2=4b2﹣4y2,(﹣b≤y≤b). ∴|PQ|==. ①若﹣b>﹣即0<b,则当y=﹣b时|PQ|2最大,即=,解得b=. ②若﹣b≤﹣≤b,即时,y=﹣时,4b2+3=,解得b=,与矛盾,舍去. 综上可得:b=. 故选:C. 二、填空题(每题5分,共20分) 13.若双曲线﹣=1上一点P到焦点F1的距离为6,则点P到另一焦点F2的距离是 16 . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】利用双曲线的定义与性质,求解即可. 【解答】解:双曲线﹣=1,可得a=5,b=4,双曲线上一点P到焦点F1的距离为6,则点P到另一焦点F2的距离为m, |m﹣6|=10. 解得m=16. 故答案为:16. 14.过点M(1,1)作一直线与椭圆+=1相交于A,B两点,若M点恰好为弦AB的中点,则AB所在直线的方程为 4x+9y﹣13=0 . 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的应用. 【分析】设出通过点M(1,1)的直线方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及弦AB的中点坐标为M(1,1),求出斜率,即可求得直线AB的方程. 【解答】解:由题意,直线AB的斜率存在,设通过点M(1,1)的直线方程为y=k(x﹣1)+1, 代入椭圆方程,整理得(9k2+4)x2+18k(1﹣k)x+9(1﹣k)2﹣36=0 设A、B的横坐标分别为x1、x2,则=1, 解之得k=﹣ 故AB所在直线的方程为,即为4x+9y﹣13=0. 故答案为:4x+9y﹣13=0. 15.F1,F2 是椭圆的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为 . 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】根据椭圆的方程算出a=3、b=,可得焦距|F1F2|=2,由椭圆的定义得|AF2|=6﹣|AF1|.由此在△AF1F2中利用余弦定理解出|AF1|长,根据正弦定理的面积公式即可算出△AF1F2的面积. 【解答】解:由题意,可得 ∵椭圆的方程为, ∴a=3,b=,可得c==, 故焦距|F1F2|=2, ∵根据椭圆的定义,得|AF1|+|AF2|=2a=6, ∴△AF1F2中,利用余弦定理得 |AF1|2+|F1F2|2﹣2|AF1|•|F1F2|cos45°=|AF2|2=|AF1|2﹣4|AF1|+8, 即(6﹣|AF1|)2=|AF1|2﹣4|AF1|+8,解之得|AF1|= 故△AF1F2的面积为S=|AF1|•|F1F2|sin45°=×××=. 16.对于曲线C: =1,给出下面四个命题: ①由线C不可能表示椭圆; ②当1<k<4时,曲线C表示椭圆; ③若曲线C表示双曲线,则k<1或k>4; ④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1<k< 其中所有正确命题的序号为 ③④ . 【考点】椭圆的标准方程;双曲线的标准方程. 【分析】据椭圆方程的特点列出不等式求出k的范围判断出①②错,据双曲线方程的特点列出不等式求出k的范围,判断出③对;据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围,判断出④错. 【解答】解:若C为椭圆应该满足即1<k<4 且k≠故①②错 若C为双曲线应该满足(4﹣k)(k﹣1)<0即k>4或k<1 故③对 若C表示椭圆,且长轴在x轴上应该满足4﹣k>k﹣1>0则 1<k<,故④对 故答案为:③④. 三、解答题(共70分) 17.求经过点P(﹣3,0),Q(0,﹣2)的椭圆的标准方程,并求出椭圆的长轴长、短轴长. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由椭圆可设椭圆的标准方程为: +=1(a>b>0).可得a=3,b=2.即可得出. 【解答】解:由椭圆可设椭圆的标准方程为: +=1(a>b>0). 则a=3,b=2. ∴椭圆的标准方程为: =1, 椭圆的长轴长2a=6,短轴长=2b=4. 18.已知双曲线的离心率等于2,且与椭圆有相同的焦点,求此双曲线方程及其渐近线方程. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】求得椭圆的焦点,设双曲线的方程为(a>0,b>0),由离心率公式和a,b,c的关系,可得a,b,进而得到双曲线的方程. 【解答】解:∵椭圆的焦点坐标为(﹣4,0)和(4,0), 则可设双曲线方程为(a>0,b>0), ∵c=4,又双曲线的离心率等于2,即,∴a=2. ∴b2=c2﹣a2=12; 故所求双曲线方程为. 渐近线方程为:. 19.圆x2+y2=8内有一点P0(﹣1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦. (1)当α=135°时,求AB的长; (2)当弦被点P0平分时,写出直线AB的方程. 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】(1)依题意直线AB的斜率为﹣1,直线AB的方程,根据圆心0(0,0)到直线AB的距离,由弦长公式求得AB的长. (2)当弦AB被点P0平分时,AB和OP0垂直,故AB 的斜率为,根据点斜式方程直线AB的方程. 【解答】解:(1)依题意直线AB的斜率为﹣1,直线AB的方程为:y﹣2=﹣(x+1), 圆心0(0,0)到直线AB的距离为d=,则|AB|==,∴AB的长为; (2)当弦AB被点P0平分时,AB和OP0垂直,故AB 的斜率为,根据点斜式方程直线AB的方程为x﹣2y+5=0. 20.已知圆C过点P(,),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称. (1)求圆C的方程; (2)直线l过点D(,),且截圆C的弦长为,求直线l的方程; (3)设Q为圆心C上的一个动点,求•的最小值. 【考点】直线和圆的方程的应用. 【分析】(1)设C(x,y),由圆C与圆M关于直线x+y+2=0对称,点M(﹣2,﹣2)与点C(x,y)关于直线x+y+2=0对称,列出方程组能求出C(0,0),由此能求出圆C的方程. (2)由垂直径定理得圆心C(0,0)到直线l的距离d=,当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=;当直线l的斜率存在时,设其方程为kx﹣y+=0,由点到直线的距离公式能求出所求直线l的方程. (3)设Q(x,y),则x2+y2=1, =(x,y),=(x+2,y+2),由此能求出•的最小值. 【解答】解:(1)设C(x,y),圆C与圆M关于直线x+y+2=0对称, 则点M(﹣2,﹣2)与点C(x,y)关于直线x+y+2=0对称, ∴,解得,∴C(0,0), ∴r=|CP|=1, ∴圆C的方程为x2+y2=1. (2)若l截圆C所得弦长为,由垂直径定理得圆心C(0,0)到直线l的距离d==, 当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=,此时l截圆C所得弦长为, 当直线l的斜率存在时,设其方程为y==k(x﹣),即kx﹣y+=0, 则d==,解得k=0,此时l的方程为y=. ∴所求直线l的方程为或x=. (3)设Q(x,y),则x2+y2=1, =(x,y),=(x+2,y+2), =x(x+2)+y(y+2)=x2+y2+2x+2y=(x+1)2+(y+1)2﹣2, 记D(﹣1,﹣1),=|DQ|2﹣2≥(|DC|﹣1)2﹣2=1﹣2, ∴•的最小值为1﹣2. 21.平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:(a>b>0)右焦点的直线x+y﹣=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为. (Ⅰ)求M的方程 (Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【分析】(Ⅰ)把右焦点(c,0)代入直线可解得c.设A(x1,y1),B(x2,y2 ),线段AB的中点P(x0,y0),利用“点差法”即可得到a,b的关系式,再与a2=b2+c2联立即可得到a,b,c. (Ⅱ)由CD⊥AB,可设直线CD的方程为y=x+t,与椭圆的方程联立得到根与系数的关系,即可得到弦长|CD|.把直线x+y﹣=0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系,即可得到弦长|AB|,利用S四边形ACBD=即可得到关于t的表达式,利用二次函数的单调性即可得到其最大值. 【解答】解:(Ⅰ)把右焦点(c,0)代入直线x+y﹣=0得c+0﹣=0,解得c=. 设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点P(x0,y0), 则,,相减得, ∴, ∴,又=, ∴,即a2=2b2. 联立得,解得, ∴M的方程为. (Ⅱ)∵CD⊥AB,∴可设直线CD的方程为y=x+t, 联立,消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0, ∵直线CD与椭圆有两个不同的交点, ∴△=16t2﹣12(2t2﹣6)=72﹣8t2>0,解﹣3<t<3(*). 设C(x3,y3),D(x4,y4),∴,. ∴|CD|===. 联立得到3x2﹣4x=0,解得x=0或, ∴交点为A(0,),B, ∴|AB|==. ∴S四边形ACBD===, ∴当且仅当t=0时,四边形ACBD面积的最大值为,满足(*). ∴四边形ACBD面积的最大值为. 22.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2 (Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)已知点A、B为动直线y=k(x﹣1),k≠0与椭圆C的两个交点,问:在x轴上是否存在定点M,使得•为定值?若存在,试求出点M的坐标和定值;若不存在,请说明理由. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【分析】(I)求出圆x2+y2=a2的圆心(0,0)到直线x﹣y﹣=0的距离d,利用2=2,解得a2,又=,a2=b2+c2,联立解出即可得出. (II)假设在x轴上存在定点M(m,0),使得•为定值.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线方程与椭圆方程联立化为:(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0, 利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得•=,令2m2﹣4m+1=2(m2﹣2),解得m即可得出. 【解答】解:(I)圆x2+y2=a2的圆心(0,0)到直线x﹣y﹣=0的距离d==1, ∴2=2,解得a2=2,又=,a2=b2+c2, 联立解得:a2=2,c=1=b. ∴椭圆C的标准方程为: +y2=1. (II)假设在x轴上存在定点M(m,0),使得•为定值. 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立,化为:(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0, 则x1+x2=,x1•x2=. •=(x1﹣m,y1)•(x2﹣m,y2)=(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2=(x1﹣m)(x2﹣m)+k2(x1﹣1)(x2﹣1)=(1+k2)x1•x2﹣(m+k2)(x1+x2)+m2+k2 =(1+k2)•﹣(m+k2)+m2+k2 =, 令2m2﹣4m+1=2(m2﹣2),解得m=. 因此在x轴上存在定点M(,0),使得•为定值. 2017年1月20日查看更多