数学卷·2018届广东省揭阳市惠来一中高二上学期第二次段考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届广东省揭阳市惠来一中高二上学期第二次段考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年广东省揭阳市惠来一中高二（上）第二次段考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把它选出后填在答题卡的相应位置上．‎ ‎1．已知命题p：对任意x∈R，有cosx≤1，则（　　）‎ A．￢p：存在x∈R，使cosx＞1 B．￢p：对任意x∈R，有cosx＞1‎ C．￢p：存在x∈R，使cosx≥1 D．￢p：对任意x∈R，有cosx≥1‎ ‎2．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（　　）‎ A．30°或60° B．45°或60° C．120°或60° D．30°或150°‎ ‎3．双曲线=1的实轴长是（　　）‎ A．3 B．4 C．6 D．8‎ ‎4．已知命题①若a＞b，则＜，②若﹣2≤x≤0，则（x+2）（x﹣3）≤0，则下列说法正确的是（　　）‎ A．①的逆命题为真 B．②的逆命题为真 C．①的逆否命题为真 D．②的逆否命题为真 ‎5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（　　）‎ A．8 B．10 C．12 D．14‎ ‎6．椭圆x2+4y2=1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若x＞1，则的最小值是（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎8．条件p：x＜﹣1或x＞1，条件q：x＜﹣2，则p是q的（　　）‎ A．充分但不必要条件 B．充分且必要条件 C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）‎ A．y= B．y= C．y=±x D．y=‎ ‎10．已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11．各项均为正数的等比数列中：a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（　　）‎ A．12 B．10 C．1+log35 D．2+log35‎ ‎12．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若双曲线右支上存在一点（，﹣）与点F1关于直线y=﹣对称，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 ‎13．经过点P（4，﹣2）的抛物线的标准方程是　　．‎ ‎14．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值是　　．‎ ‎15．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是　　．（用区间表示）‎ ‎16．如图，F1，F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示双曲线．若p∨q为真命题，求实数k的取值范围．‎ ‎18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 ‎（Ⅰ）确定角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a2+b2的值．‎ ‎19．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．‎ ‎（1）若AA1⊥AD，求证：AD⊥DC1；‎ ‎（2）求证：A1B∥平面ADC1．‎ ‎20．已知双曲线C的方程为x2﹣15y2=15．‎ ‎（1）求其渐近线方程；‎ ‎（2）求与双曲线C焦点相同，且过点（0，3）的椭圆的标准方程．‎ ‎21．数列{an}的前n项的和为Sn，对于任意的自然数an＞0，‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式 ‎（Ⅱ）设，求和Tn=b1+b2+…+bn．‎ ‎22．如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1；‎ ‎（Ⅲ）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省揭阳市惠来一中高二（上）第二次段考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把它选出后填在答题卡的相应位置上．‎ ‎1．已知命题p：对任意x∈R，有cosx≤1，则（　　）‎ A．￢p：存在x∈R，使cosx＞1 B．￢p：对任意x∈R，有cosx＞1‎ C．￢p：存在x∈R，使cosx≥1 D．￢p：对任意x∈R，有cosx≥1‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以，命题p：对任意x∈R，有cosx≤1，则￢p：存在x∈R，使cosx＞1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（　　）‎ A．30°或60° B．45°或60° C．120°或60° D．30°或150°‎ ‎【考点】正弦定理的应用．‎ ‎【分析】结合已知及正弦定理可求sinA，进而可根据特殊角的三角形函数值可求A ‎【解答】解：∵b=2asinB，‎ 由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB ‎∵sinB≠0‎ ‎∴sinA=‎ ‎∴A=30°或150°‎ 故选D ‎　‎ ‎3．双曲线=1的实轴长是（　　）‎ A．3 B．4 C．6 D．8‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线的定义、性质直接求解．‎ ‎【解答】解：双曲线=1中，‎ a2=9，∴a=3，‎ ‎∴双曲线=1的实轴长是2a=6．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知命题①若a＞b，则＜，②若﹣2≤x≤0，则（x+2）（x﹣3）≤0，则下列说法正确的是（　　）‎ A．①的逆命题为真 B．②的逆命题为真 C．①的逆否命题为真 D．②的逆否命题为真 ‎【考点】四种命题的真假关系；四种命题．‎ ‎【分析】分别求出①②的逆命题和逆否命题，再判断其真假即可 ‎【解答】解：①若a＞b，则＜的逆命题为“若＜，则a＞b”当a=﹣1，b=1，不成立，故为假命题，‎ 逆否命题为“若≥，则a≤b””当a=1，b=2，不成立，故为假命题 ‎②若﹣2≤x≤0，则（x+2）（x﹣3）≤0逆命题为“若（x+2）（x﹣3）≤0，则﹣2≤x≤0”，因为（x+2）（x﹣3）≤0，则﹣2≤x≤3，故为假命题，‎ 若﹣2≤x≤0，则（x+2）（x﹣3）≤0逆否命题为“若（x+2）（x﹣3）＞0，则x＜﹣2，或x＞0”，故为真命题 故选：D ‎　‎ ‎5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（　　）‎ A．8 B．10 C．12 D．14‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6‎ ‎【解答】解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，‎ 解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，‎ ‎∴a6=a1+5d=2+5×2=12，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．椭圆x2+4y2=1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】把椭圆的方程化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2求出c的值，利用离心率公式e=，把a与c的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，得到a=1，b=，‎ 则c==，所以椭圆的离心率e==．‎ 故选A ‎　‎ ‎7．若x＞1，则的最小值是（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由基本不等式可得 =≥2+1=3．‎ ‎【解答】解：∵x＞1，∴得 =≥2+1=3，‎ 当且仅当 x﹣1=1时，‎ 即 x=2时，等号成立，‎ 答案为：3．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．条件p：x＜﹣1或x＞1，条件q：x＜﹣2，则p是q的（　　）‎ A．充分但不必要条件 B．充分且必要条件 C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由q⇒p，反之不成立，即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：x＜﹣2，⇒x＜﹣1或x＞1，但是x＜﹣1或x＞1不能推出x＜﹣2，‎ 所以p是q的必要不充分条件．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）‎ A．y= B．y= C．y=±x D．y=‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．‎ ‎【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），‎ 则离心率e===，即4b2=a2，‎ 故渐近线方程为y=±x=x，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ‎，则m=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）可得，顶点，一条渐近线为mx﹣3y=0，再由点到直线的距离公式根据一个顶点到它的一条渐近线的距离为可以求出m．‎ ‎【解答】解：，‎ 取顶点，一条渐近线为mx﹣3y=0，‎ ‎∵‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．各项均为正数的等比数列中：a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（　　）‎ A．12 B．10 C．1+log35 D．2+log35‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a5a6）5答案可得．‎ ‎【解答】解：∵a5a6=a4a7，‎ ‎∴a5a6+a4a7=2a5a6=18‎ ‎∴a5a6=9‎ ‎∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞‎ ‎0）的左右焦点，若双曲线右支上存在一点（，﹣）与点F1关于直线y=﹣对称，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出过F1（c，0）且垂直于的直线方程，求出它与的交点坐标，求出点P的坐标，代入双曲线方程化简求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意过F1（c，0）且垂直于的直线方程为，‎ 它与的交点坐标为，所以点P的坐标为，‎ 因为点P在双曲线上，，‎ ‎∵a2+b2=c2，可得c2=5a2，∴，‎ ‎∴，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 ‎13．经过点P（4，﹣2）的抛物线的标准方程是　y2=x或x2=﹣8y　．‎ ‎【考点】抛物线的标准方程．‎ ‎【分析】先设处抛物线的标准方程，把点P坐标代入，即可求得p，则抛物线方程可得．‎ ‎【解答】解：设抛物线方程为y2=2px或x2=2py（p＞0），‎ ‎∵抛物线过点（4，﹣2）‎ ‎∴2p×4=4或2p×（﹣2）=16‎ ‎∴2p=1或﹣8‎ ‎∴抛物线的标准方程为y2=x或x2=﹣8y 故答案为：y2=x或x2=﹣8y．‎ ‎　‎ ‎14．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值是　　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】因为{an}是等差数列，故a1、a3、a9都可用d表达，又因为a1、a3、a9恰好是等比数列，所以有a32=a1a9，即可求出d，即可求比值．‎ ‎【解答】解：等差数列{an}中，a1=a1，a3=a1+2d，a9=a1+8d，‎ 因为a1、a3、a9恰好是某等比数列，‎ 所以有a32=a1a9，即（a1+2d）2=a1（a1+8d），‎ 解得d=a1，‎ 则===．‎ 故答案是：．‎ ‎　‎ ‎15．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是　（1，+∞）　．（用区间表示）‎ ‎【考点】特称命题．‎ ‎【分析】根据题意，写出命题p的否定命题，利用p与￢p真假相反得到￢p为真命题，再应用判别式求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，‎ 当命题p是假命题时，‎ 命题￢p：∀x∈R，x2+2x+a＞0是真命题；‎ 即△=4﹣4a＜0，‎ ‎∴a＞1；‎ ‎∴实数a的取值范围是（1，+∞）．‎ 故答案为：（1，+∞）．‎ ‎　‎ ‎16．如图，F1，F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设|AF1|=x，|AF2|=y，利用椭圆的定义，四边形AF1BF2为矩形，可求出x，y的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，‎ ‎∵点A为椭圆上的点，‎ ‎∴2a=4，b=1，c=；‎ ‎∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①‎ 又四边形AF1BF2为矩形，‎ ‎∴，‎ 即x2+y2=（2c）2=12，②‎ 由①②得，‎ 解得x=2﹣，y=2+，‎ 设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距为2c′，‎ 则2a′=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c′=2，‎ ‎∴C2的离心率是e==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示双曲线．若p∨q为真命题，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】分别求出p，q为真时的k的范围，根据若p∨q为真命题，取并集即可．‎ ‎【解答】解：当p为真时，k＞4﹣k＞0，即 2＜k＜4；…‎ 当q为真时，（k﹣1）（k﹣3）＜0，即 1＜k＜3；…‎ 由题设，p∨q为真命题，‎ 知p和q中至少有一个为真命题，‎ ‎∴2＜k＜4或1＜k＜3，即1＜k＜4‎ 从而k的取值范围是1＜k＜4． …‎ ‎　‎ ‎18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 ‎（Ⅰ）确定角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a2+b2的值．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据，利用正弦定理得 ‎，从而可求C的大小；‎ ‎（Ⅱ）由面积公式得=，从而可得ab=6，由余弦定理，可得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，∴由正弦定理得 …‎ ‎∴sinC= …‎ ‎∵△ABC是锐角三角形，∴C= …‎ ‎（Ⅱ）∵c=，C=，△ABC的面积为，∴由面积公式得= …‎ ‎∴ab=6 …‎ 由余弦定理得a2+b2﹣2abcos=7 …‎ ‎∴a2+b2=13 …‎ ‎　‎ ‎19．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．‎ ‎（1）若AA1⊥AD，求证：AD⊥DC1；‎ ‎（2）求证：A1B∥平面ADC1．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）证明AD⊥BC，AD⊥CC1，利用线面垂直的判定定理，可得AD⊥平面BCC1B1，即可证明AD⊥DC1；‎ ‎（2）连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点，证明OD∥A1‎ B，可得A1B∥平面ADC1．‎ ‎【解答】证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．…‎ 因为AA1⊥AD，AA1∥CC1，所以AD⊥CC1，…‎ 因为CC1∩BC=C，所以AD⊥平面BCC1B1，…‎ 因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1 …‎ ‎（2）连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点．‎ 因为D为BC的中点，所以OD∥A1B …‎ 因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，…‎ 所以A1B∥平面ADC1 …‎ ‎　‎ ‎20．已知双曲线C的方程为x2﹣15y2=15．‎ ‎（1）求其渐近线方程；‎ ‎（2）求与双曲线C焦点相同，且过点（0，3）的椭圆的标准方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）双曲线方程化为标准方程，由双曲线的标准方程可求得 a、b，可得渐近线方程．‎ ‎（2）求出抛物线的焦点坐标，求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出b的值，得到椭圆方程．‎ ‎【解答】解：（1）双曲线方程化为，‎ 由此得，‎ 所以渐近线方程为，即．‎ ‎（2）双曲线中，‎ ‎，焦点为（﹣4，0），（4，0）．‎ 椭圆中，，‎ 则a=5，b2=a2﹣c2=52﹣42=9．‎ 所以，所求椭圆的标准方程为．‎ ‎　‎ ‎21．数列{an}的前n项的和为Sn，对于任意的自然数an＞0，‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式 ‎（Ⅱ）设，求和Tn=b1+b2+…+bn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差关系的确定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）令n=1求出首项，然后根据4an=4Sn﹣4Sn﹣1进行化简得an﹣an﹣1=2，从而得到数列{an}是等差数列，直接求出通项公式即可；‎ ‎（Ⅱ）确定数列通项，利用错位相减法，可求数列的和．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵4S1=4a1=（a1+1）2，∴a1=1．‎ 当n≥2时，4an=4Sn﹣4Sn﹣1=（an+1）2﹣（an﹣1+1）2，‎ ‎∴2（an+an﹣1）=an2﹣an﹣12，‎ 又{an}各项均为正数，∴an﹣an﹣1=2，‎ ‎∴数列{an}是等差数列，‎ ‎∴an=2n﹣1；‎ ‎（Ⅱ）解： =‎ ‎∴Tn=b1+b2+…+bn=++…+﹣﹣﹣①‎ ‎∴Tn=++…++﹣﹣﹣②‎ ‎①﹣②Tn=+2（++…+）﹣=‎ ‎∴Tn=1﹣．‎ ‎　‎ ‎22．如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1；‎ ‎（Ⅲ）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为，求出a，b，从而能求出椭圆的标准方程，设等轴双曲线的标准方程为，由等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，求出m，从而能求出双曲线的标准方程．‎ ‎（Ⅱ）设P（x0，y0），F1（﹣2，0），F2（2，0），则k1=，‎ ‎，由此能证明k1k2=1．‎ ‎（Ⅲ）PF1的方程为y=k1（x+2），将其代入椭圆方程得，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能推导出是定值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知：，2a+2c=4（+1）‎ 解得a=2，c=2，‎ 又a2=b2+c2，解得b=2．‎ 故椭圆的标准方程为 由题意设等轴双曲线的标准方程为（m＞0），‎ 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点．‎ 所以m=2，‎ 因此双曲线的标准方程为 证明：（Ⅱ）设P（x0，y0），F1（﹣2，0），F2（2，0）‎ 则k1=，．‎ 因为点P在双曲线x2﹣y2=4上，所以．‎ 因此，‎ 故k1k2=1．‎ 解：（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由于PF1的方程为y=k1（x+2），将其代入椭圆方程得 所以，‎ 所以==‎ 同理可得．‎ 则，‎ 又k1k2=1，‎ 所以=．‎ 故恒成立，即是定值．‎ ‎　‎