2017-2018学年河南省郑州市嵩阳高级中学高二上学期第二次段考数学试题（解析版）

2017-2018学年河南省郑州市嵩阳高级中学高二上学期第二次段考数学试题（解析版）

‎2017-2018学年河南省郑州市嵩阳高级中学高二（上）第二次段考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题．‎ ‎1．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（5分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）若sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（　　）‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 ‎4．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1、x2，方程f（x）=m有两个不同的实根x3、x4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比关系，Sn为{an}的前n项和，则的值为（　　）‎ A．2 B．3 C． D．不存在 ‎6．（5分）下列结论正确的是（　　）‎ A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2‎ C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值 ‎7．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（　　）‎ A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎8．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（　　）‎ A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：3‎ ‎9．（5分）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（　　）‎ A．1升 B．升 C．升 D．升 ‎10．（5分）已知等比数列{an}的公比为q（q为实数），前n项和为Sn，且S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（　　）‎ A．1 B．﹣ C．﹣1或 D．1或﹣‎ ‎11．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c．若a，b，c成等差数列，则∠B的范围是（　　）‎ A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（，π）‎ ‎12．（5分）若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣，+∞） B．[﹣，1] C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tan B=ac，则角B的值为　 　．‎ ‎14．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是　 　．‎ ‎15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意p、q∈N*，有ap+aq=ap+q，且a2=4，则S10=　 　．‎ ‎16．（5分）在约束条件下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab的最大值等于　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC ‎（1）求c的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．‎ ‎18．（12分）设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．‎ ‎（1）求B的大小；‎ ‎（2）求cosA+sinC的取值范围．‎ ‎19．（12分）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．‎ ‎（1）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；‎ ‎（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．‎ ‎20．（12分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．如何安排生产该企业可获得最大利润？最大利润为多少？‎ ‎21．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2﹣an，n=1，2，3，…．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（3）设cn=n（3﹣bn），求数列{cn}的前n项和为Tn．‎ ‎22．（12分）设二次函数f（x）=x2﹣ax+2（x∈R，a＜0），关于x的不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素．‎ ‎（1）设数列{an}的前n项和Sn=f（n）（n∈N*），求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记bn=（n∈N*），则数列{bn}中是否存在不同的三项能组成等比数列？请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年河南省郑州市嵩阳高级中学高二（上）第二次段考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题．‎ ‎1．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】首先由三角形面积公式得到S△ABC=，再由余弦定理，结合2S=（a+b）2﹣c2，得出sinC﹣2cosC=2，然后通过（sinC﹣2cosC）2=4，求出结果即可．‎ ‎【解答】解：△ABC中，∵S△ABC=，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ 且 2S=（a+b）2﹣c2，∴absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），‎ 整理得sinC﹣2cosC=2，∴（sinC﹣2cosC）2=4．‎ ‎∴=4，化简可得 3tan2C+4tanC=0．‎ ‎∵C∈（0，180°），∴tanC=﹣，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的化简求值，要注意角C的范围，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由三角形的内角和求出A，推出AC边最长，利用正弦定理，求出最大边长即可．‎ ‎【解答】解：在△‎ ABC中，B=135°，C=15°，则此三角形的A=30°，且最大边为AC边，‎ 由正弦定理，可以求出AC===．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查三角形中正弦定理的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）若sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（　　）‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 ‎【分析】直接利用正弦定理以及余弦定理推出边的关系，即可判断三角形的形状．‎ ‎【解答】解：因为sinA=2sinBcosC，所以a=2b，‎ 可得b=c，所以三角形是等腰三角形．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查三角形的形状的判断，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1、x2，方程f（x）=m有两个不同的实根x3、x4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意可知：x1=，x2=，且x3、x4只能分布在x1、x2的中间或两侧，下面分别求解并验证即可的答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知：x1=，x2=，且x3、x4只能分布在x1、x2的中间或两侧，‎ 若x3、x4只能分布在x1、x2的中间，则公差d==，‎ 故x3、x4分别为、，此时可求得m=cos=﹣；‎ 若x3、x4只能分布在x1、x2的两侧，则公差d==π，‎ 故x3、x4分别为、，不合题意．‎ 故选D ‎【点评】本题为等差数列的构成问题，涉及分类讨论的思想和函数的零点以及三角函数，属中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比关系，Sn为{an}的前n项和，则的值为（　　）‎ A．2 B．3 C． D．不存在 ‎【分析】根据此数列为等差数列，由a1，a3，a4成等比关系得到a32=a1a4，然后利用等差数列的通项公式化简根据d不等于0得到关于a1和d的关系式，并用含d的代数式表示出a1，把所求的式子利用等差数列的性质化简后，把关于a1的代数式代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：因为{an}为等差数列，由a1，a3，a4成等比关系，得到a32=a1a4即（a1+2d）2=a1（a1+3d），‎ 化简得d（a1+4d）=0由d≠0得到a1+4d=0，所以a1=﹣4d即a5=0，‎ 则====2‎ 故选A．‎ ‎【点评】考查学生掌握等差数列的通项公式及前n项和的公式，灵活运用等差数列的性质解决实际问题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）下列结论正确的是（　　）‎ A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2‎ C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值 ‎【分析】‎ 本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．‎ A中不满足“正数”，C中“=”取不到．‎ ‎【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；‎ C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．‎ 故选B ‎【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（　　）‎ A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 由图可知，最优解为A，‎ 联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）‎ ‎∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（　　）‎ A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：3‎ ‎【分析】本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10：S5=1：2，可得出（S10﹣S5）：S5=1：1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项 ‎【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，‎ ‎∴（S10﹣S5）：S5=﹣1：2，‎ 由等比数列的性质得（S15﹣S10）：（S10﹣S5）：S5=1：（﹣2）：4，‎ 所以S15：S5=3：4‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质﹣﹣Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k，成公比为qk等比 数列数列，本题查了利用性质进行运算的能力 ‎　‎ ‎9．（5分）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（　　）‎ A．1升 B．升 C．升 D．升 ‎【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积．‎ ‎【解答】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，‎ 根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，‎ 即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=，‎ 把d=代入①得：a1=，‎ 则a5=+（5﹣1）=．‎ 故选B ‎【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知等比数列{an}的公比为q（q为实数），前n项和为Sn，且S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（　　）‎ A．1 B．﹣ C．﹣1或 D．1或﹣‎ ‎【分析】根据等比数列的求和分别表示出S3、S9、S6代入2S9=S6+S3，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：依题意可知2S9=S6+S3，‎ 即2=+‎ 整理得2q6﹣q3﹣1=0，解q3=1或﹣，‎ 当q=1时，2S9=S6+S3，不成立故排除．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c．若a，b，c成等差数列，则∠B的范围是（　　）‎ A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（，π）‎ ‎【分析】根据a、b、c成等差数列，利用余弦定理和基本不等式，‎ 再结合余弦函数的单调性求出B的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵a、b、c成等差数列，∴a+c=2b，‎ 由余弦定理得cosB=‎ ‎=‎ ‎=﹣≥﹣‎ ‎=，当且仅当a=c时取“=”；‎ 又余弦函数在（0，）内单调递减，‎ ‎∴0＜∠B≤，‎ 即∠B的范围是（0，]．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列，余弦定理和基本不等式，以及余弦函数的单调性问题，是中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣，+∞） B．[﹣，1] C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎【分析】利用分离常数法得出不等式a＞﹣x在x∈[1，5]上成立，根据函数f（x）=﹣x在x∈[1，5]上的单调性，求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，‎ ‎∴ax＞2﹣x2在x∈[1，5]上有解，‎ 即a＞﹣x在x∈[1，5]上成立； ‎ 设函数f（x）=﹣x，x∈[1，5]，‎ ‎∴f′（x）=﹣﹣1＜0恒成立，‎ ‎∴f（x）在x∈[1，5]上是单调减函数，‎ 且f（x）的值域为[﹣，1]，‎ 要a＞﹣x在x∈[1，5]上有解，则a＞﹣，‎ 即实数a的取值范围为（﹣，+∞）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tan B=ac，则角B的值为　或　．‎ ‎【分析】先根据余弦定理进行化简，进而得到sinB的值，再由正弦函数的性质可得到最后答案．‎ ‎【解答】解：∵，∴cosB×tanB=sinB=‎ ‎∴B=或 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查余弦定理的应用．考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是　﹣14　．‎ ‎【分析】由不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），可得a＜0且方程ax2+bx+2=0的解为﹣，；从而求解．‎ ‎【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），‎ ‎∴，解得：a=﹣12，b=﹣2；‎ 故答案为：﹣14．‎ ‎【点评】本题考查了二次不等式与二次方程及二次函数的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意p、q∈N*，有ap+aq=ap+q，且a2=4，则S10=　110　．‎ ‎【分析】先判断出数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，再根据求和公式计算即可．‎ ‎【解答】解：令p=q=1，则a1+a1=a2=4，‎ 所以a1=2，‎ 令p=n，q=1，则an+a1=an+1，‎ 即an+1﹣an=2，‎ 所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，‎ 所以S10=2×10+=110，‎ 故答案为：110．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的定义和求和公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在约束条件下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab的最大值等于　　．‎ ‎【分析】画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，求出a，b的关系式，利用基本不等式，可求ab的最大值．‎ ‎【解答】解：约束条件对应的平面区域如图 ‎3个顶点是（1，0），（1，2），（﹣1，2），‎ 由图易得目标函数在（1，2）取最大值1，‎ 此时a+2b=1，‎ ‎∵a＞0，b＞0，∴由不等式知识可得：1≥‎ ‎∴ab，当且仅当a=，b=时，取等号 ‎∴ab的最大值等于 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC ‎（1）求c的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．‎ ‎【分析】（1）首先利用三角形的周长公式和正弦定理求出c的值．‎ ‎（2）进一步利用三角形的面积公式和余弦定理求出角C的度数．‎ ‎【解答】解：（1）已知△ABC的周长为+1，‎ 则：a+b+c=，‎ 且sinA+sinB=sinC 则：a+b=‎ 解得：c=1．‎ ‎（2）由于△ABC的面积为sinC，‎ 则：，‎ 所以：ab=2．‎ 由于c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ 所以：1=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC，‎ 解得：cosC=﹣，‎ 由于：0＜C＜π，‎ 所以：C=．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用，正弦定理的应用及余弦定理的应用．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．‎ ‎（1）求B的大小；‎ ‎（2）求cosA+sinC的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由a=2bsinA．根据正弦定理，得sinA=2sinBsinA，由sinA≠0．即可得出．‎ ‎（2）cosA+sinC=cosA+sin=sin．由△ABC为锐角三角形，知=﹣B＜A＜，‎ 可得＜A+＜，即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由a=2bsinA．‎ 根据正弦定理，得sinA=2sinBsinA，sinA≠0．‎ 故sinB=．‎ 因△ABC为锐角三角形，故B=．‎ ‎（2）cosA+sinC=cosA+sin=cosA+sin=cosA+cosA+sinA ‎=sin．‎ 由△ABC为锐角三角形，知=﹣B＜A＜，‎ ‎∴＜A+＜，‎ 故＜sin＜，‎ ‎＜＜．‎ 故cosA+sinC的取值范围是．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的单调性、和差公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．‎ ‎（1）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；‎ ‎（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）对参数m进行讨论，同时利用判别式，建立不等式组，即可求m的取值范围；‎ ‎（2）利用分离参数法，再求出对应函数在x∈[1，3]上的最大值，即可求m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，mx2﹣mx﹣1＜0对任意实数x恒成立，‎ 若m=0，显然﹣1＜0成立；‎ 若m≠0，则，解得﹣4＜m＜0．‎ 所以﹣4＜m≤0．‎ ‎（2）由题意，f（x）＜﹣m+5，即m（x2﹣x+1）＜6‎ 因为x2﹣x+1＞0对一切实数恒成立，所以m＜在x∈[1，3]上恒成立．‎ 因为函数y=x2﹣x+1在x∈[1，3]上的最大值为7，所以只需m＜即可．‎ 所以m的取值范围是{m|m}．‎ ‎【点评】本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．如何安排生产该企业可获得最大利润？最大利润为多少？‎ ‎【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．‎ ‎【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，‎ 则该企业可获得利润为z=5x+3y，‎ 且，‎ 联立，‎ 解得 x=3 y=4，‎ 由图可知，最优解为P（3，4），‎ ‎∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．‎ 故答案为：27万元．‎ ‎【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①‎ 分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2﹣an，n=1，2，3，…．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（3）设cn=n（3﹣bn），求数列{cn}的前n项和为Tn．‎ ‎【分析】（1）利用数列中an与 Sn关系解决．‎ ‎（2）结合（1）所求得出bn+1﹣bn=．利用累加法求bn ‎（3）由上求出cn=n （3﹣bn）=，利用错位相消法求和即可．‎ ‎【解答】解：（1）因为n=1时，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1．‎ 因为Sn=2﹣an，即an+Sn=2，所以an+1+Sn+1=2．‎ 两式相减：an+1﹣an+Sn+1﹣Sn=0，即an+1﹣an+an+1=0，故有2an+1=an．‎ 因为an≠0，所以=（ n∈N*）．‎ 所以数列{an}是首项a1=1，公比为的等比数列，an=（ n∈N*）．‎ ‎（2）因为bn+1=bn+an（ n=1，2，3，…），所以bn+1﹣bn=．从而有b2﹣b1=1，b3﹣b2=，b4﹣b3=，…，bn﹣bn﹣1=（ n=2，3，…）．‎ 将这n﹣1个等式相加，得bn﹣b1=1+++…+==2﹣．‎ 又因为b1=1，所以bn=3﹣（ n=1，2，3，…）．‎ ‎（3）因为cn=n （3﹣bn）=，‎ 所以Tn=． ①‎ ‎=． ②‎ ‎①﹣②，得=﹣．‎ 故Tn=﹣=8﹣﹣=8﹣（ n=1，2，3，…）．‎ ‎【点评】本题考查利用数列中an与 Sn关系求数列通项，累加法、错位相消法求和，考查转化、变形构造、计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）设二次函数f（x）=x2﹣ax+2（x∈R，a＜0），关于x的不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素．‎ ‎（1）设数列{an}的前n项和Sn=f（n）（n∈N*），求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记bn=（n∈N*），则数列{bn}中是否存在不同的三项能组成等比数列？请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由题设条件知a2﹣4×2=0⇒a=﹣2，故f（x）=（x+）2．an=Sn﹣Sn﹣1=2n+2﹣1，所以an=． ‎ ‎（2）求出数列{bn}的通项，假设数列{bn}中存在不同的三项构成等比数列，利用等比数列的性质，建立等式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵关于x的不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，‎ ‎∴二次函数f（x）=x2﹣ax+2（x∈R，a＜0）的图象与x轴相切，‎ 则△=（﹣a）2﹣4×2=0，‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴a=﹣2．‎ ‎∴f（x）=x2+2x+2=（x+）2，‎ ‎∴数列{an}的前n项和Sn=（n+）2（n∈N*）． ‎ 于是，当n≥2，n∈N*时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n+）2﹣[（n﹣1）+]2=2n+2﹣1，‎ 当n=1时，a1=S1=（1+）2=3+2，不适合上式．‎ 所以数列{an}的通项公式为an=． ‎ ‎（2）由（1）知，Sn=n2+2n+2（n∈N*）． ‎ ‎∵bn=，‎ ‎∴bn===n+2．‎ 假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（正整数p，q，r互不相等）成等比数列，则bq2=bp•br，‎ 即（q+2）2=（p+2）（r+2），‎ 整理，得 ‎（pr﹣q）2+2（p+r﹣2q）=0． ‎ 因为p，q，r都是正整数，所以，‎ 于是pr﹣（）2=0，即（p﹣r）2=0，从而p=r与p≠r矛盾．‎ 故数列{bn}中不存在不同的三项能组成等比数列．‎ ‎【点评】本题主要考查数列通项公式的求解及等比数列性质的研究．第（1）问由不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，得到Sn=f（n），然后由此求出数列{an}的通项公式，由Sn求通项an时注意检验初始项a1是否满足；第（2）问判断数列{bn}中是否存在不同的三项能组成等比数列，基本方法是先假设它们成等比数列，再证明问题是否有解．‎ ‎　‎