2020届高三数学（理）“大题精练”9

2020届高三数学（理）“大题精练”9

‎2020届高三数学（理）“大题精练”9‎ ‎17．在平面四边形中，，，.‎ ‎（1）若的面积为，求；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎18．如图，等腰梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.‎ 试卷第14页，总14页 ‎19．为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查.‎ ‎（1）已知在被抽取的学生中高一班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；‎ ‎（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一班和高一班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.‎ 班级 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 市级 比赛获奖人数 ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ 市级以上 比赛获奖人数 ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ 试卷第14页，总14页 ‎20．在平面直角坐标系中，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，，其中.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形.‎ ‎21．已知实数，设函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，若对任意的，均有，求的取值范围．‎ 注：为自然对数的底数．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐标系内异于的三点，，都在曲线上.‎ ‎（1）求证：；‎ 试卷第14页，总14页 ‎（2）若过，两点直线的参数方程为（为参数），求四边形的面积.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求的取值范围.‎ ‎2020届高三数学（理）“大题精练”9（答案解析）‎ ‎17．在平面四边形中，，，.‎ ‎（1）若的面积为，求；‎ ‎（2）若，，求.‎ 试卷第14页，总14页 ‎【解】（1）在中，因为，，，‎ 所以，解得：.‎ 在中，由余弦定理得：‎ 所以 ‎（2）设，则 如图，‎ 在中，因为，所以 在中，，‎ 由正弦定理，得，即 所以 所以，即 所以，即 试卷第14页，总14页 ‎18．如图，等腰梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.‎ ‎【解】（I）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，‎ ‎∵AB||CE,AB=CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE，‎ ‎∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，，,‎ ‎∴在等腰中，‎ ‎∴,即BD⊥BC，‎ ‎∴BD⊥AE，‎ 翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又，， ‎ ‎；‎ ‎（II）解：在平面POB内作PQ⊥OB,垂足为Q，‎ 试卷第14页，总14页 因为AE⊥平面POB，∴AE⊥PQ，‎ 因为OB平面ABCE, AE平面ABCE,AE∩OB=O ‎∴PQ⊥平面ABCE，∴直线PB与平面ABCE夹角为，‎ 又因为OP=OB，∴OP⊥OB，‎ ‎∴O、Q两点重合，即OP⊥平面ABCE，‎ 以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为,‎ 设平面PCE的一个法向量为，‎ 则 设，则y=-1,z=1，‎ ‎∴，‎ 由题意得平面PAE的一个法向量，‎ 设二面角A-EP-C为，.‎ 易知二面角A-EP-C为钝角，所以.‎ 试卷第14页，总14页 ‎19．为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查.‎ ‎（1）已知在被抽取的学生中高一班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；‎ ‎（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一班和高一班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.‎ 班级 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 市级 比赛获奖人数 ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ 市级以上 比赛获奖人数 ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎【解】（1）记事件从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣，，1，2，‎ 试卷第14页，总14页 ‎；‎ 则与互斥，故所求概率为 ； ‎ ‎（2）由题意知，随机变量的所有可能取值有0，1，2，3； ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ‎…‎ 数学期望为 ‎20．在平面直角坐标系中，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，，其中.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ 试卷第14页，总14页 ‎（2）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形.‎ ‎【解】（1）当时，代入椭圆方程可得点坐标为或 ‎ 若点坐标为，此时直线l：‎ 联立，消x整理可得 解得或，故B 所以的面积为 ‎ ‎，由对称性知的面积也是，‎ 综上可知，当时，的面积为. ‎ ‎（2）显然直线l的斜率不为0，设直线l： ‎ 联立，消去x整理得 ‎ 由，得 则， , ‎ 因为直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，‎ 所以 ‎ 设，则, ‎ 即,‎ 试卷第14页，总14页 解得.‎ 故x轴上存在定点，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．‎ ‎21．已知实数，设函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，若对任意的，均有，求的取值范围．‎ 注：为自然对数的底数．‎ ‎【解】(1)由,解得．‎ ‎①若,则当时,,故在内单调递增；‎ 当时,,故在内单调递减．‎ ‎②若,则当时,,故在内单调递增；‎ 当时,,故在内单调递减．‎ 综上所述,在内单调递减,在内单调递增．‎ ‎(2),即．‎ 令,得,则．‎ 当时,不等式显然成立,‎ 当时,两边取对数,即恒成立．‎ 令函数,即在内恒成立．‎ 由,得．‎ 试卷第14页，总14页 故当时,,单调递增；‎ 当时,,单调递减.‎ 因此．‎ 令函数,其中,‎ 则,得,‎ 故当时,,单调递减；当时,,单调递增．‎ 又,,‎ 故当时,恒成立,因此恒成立,‎ 即当时,对任意的,均有成立．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐标系内异于的三点，，都在曲线上.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若过，两点直线的参数方程为（为参数），求四边形的面积.‎ ‎【解】（1）由 ，则 ；‎ ‎（2）由曲线的普通方程为：，联立直线的参数方程得：‎ 试卷第14页，总14页 解得；平面直角坐标为：‎ 则；又得.‎ 即四边形面积为为所求.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求的取值范围.‎ ‎【解】（1）当时，原不等式等价于，解得，所以；‎ 当时，原不等式等价于，解得，所以此时不等式无解；‎ 当时，原不等式等价于，解得，所以；‎ 综上所述，不等式解集为.‎ ‎（2）由，得 当时，恒成立，所以；‎ 当时，‎ 因为 当且仅当即或时，等号成立 所以，‎ 试卷第14页，总14页 综上，的取值范围是.‎ 试卷第14页，总14页