数学理卷·2018届甘肃省天水市一中高三上学期第四次阶段（期末）考试（2018

数学理卷·2018届甘肃省天水市一中高三上学期第四次阶段（期末）考试（2018

天水一中2015级2017-2018学年度第一学期第四次阶段考试 数学试题（理科）‎ 第I卷（共 60 分）‎ 一、 选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．将函数的图象向右平移个单位后得到函数，则具有性质（ ）‎ A．最大值为，图象关于直线对称 B．在上单调递增，为奇函数 C．在上单调递增，为偶函数 D．周期为，图象关于点对称 4． 执行下面程序框图，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（ ） ‎ ‎ A. 7 B. 8 C. 10 D. 11‎ ‎5.从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：‎ 则这500件产品质量指标值的样本中位数、平均数分别为（）‎ A.200,198 B. 198,200 C. 200,200 D. 201,198‎ ‎6．已知（1+x）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则=‎ A.-4 B.-3 C.-2 D.-1‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是 正视图 侧视图 俯视图 A．2 B． C． D．3‎ ‎8．已知不等式组所表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围为是 A． B． C． D．‎ ‎9.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎10.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎11.若是的重心，，，分别是角的对边，若，则角（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义在上的可导函数的导函数为，若对于任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共 90 分）‎ 一、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若，，则= . ‎ ‎14.甲、乙、丙三人 代表班级参加校运会的跑步、跳远、铅球比赛，每人只参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到以下情况：‎ （1） 甲不是最高的；（2）最高的没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步。可以判断丙参加的比赛项目是 ．‎ ‎15.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ．‎ ‎16.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点。若,为坐标原点，则 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1 ， S11=11b4 ． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PC⊥底面 ABCD，ABCD 是直角梯形，AB⊥AD， AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面 EAC⊥平面 PBC；‎ ‎（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC 所 成角的正弦值．‎ ‎19.（本小题满分12分） 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）‎ 经常使用网络外卖 偶尔或不使用网络外卖 合计 男性 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 女性 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 合计 ‎110‎ ‎90‎ ‎200‎ ‎（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率.‎ ‎②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆C：，圆Q：的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．‎ ‎21.（本小题满分12分）已知>0，函数.‎ ‎(1)若，求函数的极值，‎ ‎(2)是否存在实数，使得成立？若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．‎ 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.‎ 23. ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值及取得最小值时的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若集合求实数的取值范围。 ‎ 理科数学参考答案 一、选择题：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D A B B C D D C C A C B 二、填空题： ‎ ‎13. ; 14.跑步 ; 15. ; 16. 6.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）‎ 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q． 由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0． ‎ 又因为q＞0，解得q=2．所以，bn=2n ． 由b3=a4﹣2a1 ， 可得3d﹣a1=8①． 由S11=11b4 ， 可得a1+5d=16②， 联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2． 所以，数列{an}的通项公式为an=3n﹣2，数列{bn}的通项公式为bn=2n ． （Ⅱ）设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn ， 由a2n=6n﹣2，b2n﹣1= 4n ， 有a2nb2n﹣1=（3n﹣1）4n ， 故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n ， 4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1 ， 上述两式相减，得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1 = =﹣（3n﹣2）4n+1﹣8 得Tn= ． 所以，数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为 ． ‎ ‎18.解:（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，‎ ‎∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，‎ 又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，‎ ‎∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．……………………5分 ‎（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．‎ 设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…‎ ‎=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），‎ 取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．‎ 设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，‎ 即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），‎ 依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．……………9分 于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．‎ 设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，‎ 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．………………………12分 ‎19.解：（1）由列联表可知的观测值，.‎ 所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.‎ ‎（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），‎ 偶尔或不用网络外卖的有（人）.‎ 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.‎ ‎②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，‎ 将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，‎ 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.‎ 由题意得，‎ 所以；‎ ‎.‎ ‎20. 解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，），‎ 代入椭圆方程可得+=1，‎ 由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，‎ 解得c=2，即a2﹣b2=4，‎ 解得a=2，b=2，‎ 即有椭圆的方程为+=1；‎ ‎（2）当直线l2：y=，代入圆的方程可得x=2±，‎ 可得M的坐标为（2，），又|AB|=4，‎ 可得△MAB的面积为×2×4=4；‎ 设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，‎ 可得中点M（，），‎ ‎|MP|==，‎ 设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：‎ ‎（2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0，‎ 设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，‎ 则|AB|=•‎ ‎=•，‎ 可得△MAB的面积为S=•••‎ ‎=4，‎ 设t=4+k2（5＞t＞4），可得==＜=1，‎ 可得S＜4，‎ 且S＞4=‎ 综上可得，△MAB的面积的取值范围是（，4]．‎ ‎　‎ ‎(2)假设存在实数a，使f(x)>g(ax)成立 曲线上的点到直线的距离，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 即曲线上的点到直线的距离的最大值为.‎ ‎（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，‎ ‎∴对，有恒成立，‎ 即（其中）恒成立，‎ ‎∴.‎ 又，∴解得，‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎23. 解：（1）的最小值为3，此时.‎ ‎（2）‎ 当集合 即恒成立时，由数形结合可得.‎