数学卷·2018届河南省新乡市延津高中高二上学期第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届河南省新乡市延津高中高二上学期第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年河南省新乡市延津高中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．在△ABC中，下列等式正确的是（　　）‎ A．a：b=∠A：∠B B．a：b=sin A：sin B C．a：b=sin B：sin A D．asin A=bsin B ‎2．在等差数列{an}中，a1+a9=10，则a5的值为（　　）．‎ A．5 B．6 C．8 D．10‎ ‎3．若三角形的三个内角之比为1：2：3，则它们所对的边长之比为（　　）‎ A．1：2：3 B．1：：2 C．1：4：9 D．1：：‎ ‎4．△ABC中，a=5，c=2，S△ABC=4，则b=（　　）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎5．在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为（　　）‎ A．99 B．49 C．102 D．101‎ ‎6．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（　　）‎ A．90° B．120° C．135° D．150°‎ ‎8．在△ABC中，B=60°，b2=ac，则△ABC一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎9．已知等比数列{an}中有a3a11=4a7，数列{bn}是等差数列，且a7=b7，则b5+b9=（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎10．已知数列{an}的前n项和Sn=n3，则a4=（　　）‎ A．37 B．27 C．64 D．91‎ ‎11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎12．若数列{an}的通项公式是an=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20=（　　）‎ A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣29‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．在△ABC中，A=60°，a=3，则=　　．‎ ‎14．已知数列{an}满足：a3=5，an+1=2an﹣1（n∈N*），则a1=　　．‎ ‎15．在平行四边形ABCD中，已知AB=10，∠B=60°，AC=30，则平行四边形ABCD的面积　　．‎ ‎16．已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．在△ABC中，已知，c=1，B=60°，求a，A，C．‎ ‎18．已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？‎ ‎19．在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）﹣=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．‎ ‎20．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=﹣4，S8=a8，求数列{|an|}的前n项和Tn．‎ ‎21．等差数列{an}满足a5=14，a7=20，数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2﹣2Sn．‎ ‎（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ） 证明数列{bn}是等比数列．‎ ‎22．已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2+c2﹣b2=ac．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若c=3a，求tanA的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省新乡市延津高中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．在△ABC中，下列等式正确的是（　　）‎ A．a：b=∠A：∠B B．a：b=sin A：sin B C．a：b=sin B：sin A D．asin A=bsin B ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用正弦定理判断即可得到结果．‎ ‎【解答】解：由正弦定理得： ===2R，‎ ‎∴a：b=sinA：sinB，asinB=bsinA．‎ 故选B ‎　‎ ‎2．在等差数列{an}中，a1+a9=10，则a5的值为（　　）．‎ A．5 B．6 C．8 D．10‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】本题主要是等差数列的性质等差中项的应用，用求出结果．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质得a1+a9=2a5，‎ ‎∴a5=5．‎ 故选A ‎　‎ ‎3．若三角形的三个内角之比为1：2：3，则它们所对的边长之比为（　　）‎ A．1：2：3 B．1：：2 C．1：4：9 D．1：：‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由三角形的内角和公式求得三角形的三内角的值，再根据正弦定理求得对应的三边之比．‎ ‎【解答】解：设最小的角为α，则三内角分别为α、2α、3α，再由α+2α+3α=π，可得 α=，‎ 故三内角的值分别为、、，故由正弦定理可得三角形的对应三边之比为sin：sin：sin=：：1=1：：2，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．△ABC中，a=5，c=2，S△ABC=4，则b=（　　）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinB的值，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值，进而利用余弦定理即可得解b的值．‎ ‎【解答】解：∵a=5，c=2，S△ABC=4=acsinB=×5×2×sinB，‎ ‎∴解得：sinB=，可得：cosB=±=±，‎ ‎∴b==或．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为（　　）‎ A．99 B．49 C．102 D．101‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由已知得数列{an}是首项为a1=1，公差为an+1﹣an=2的等差数列，由此能求出a51．‎ ‎【解答】解：∵在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，‎ ‎∴数列{an}是首项为a1=1，公差为an+1﹣an=2的等差数列，‎ ‎∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，‎ ‎∴a51=2×51﹣1=101．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由B=45°，C=60°可得A=75°从而可得B角最小，根据大边对大角可得最短边是b，利用正弦定理求b即可 ‎【解答】解：由B=45°，C=60°可得A=75°，‎ ‎∵B角最小，∴最短边是b，‎ 由=可得，b===，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（　　）‎ A．90° B．120° C．135° D．150°‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°﹣θ，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，‎ 设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，‎ 有余弦定理可得，cosθ==，‎ 易得θ=60°，‎ 则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．在△ABC中，B=60°，b2=ac，则△ABC一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】由余弦定理且B=60°得b2=a2+c2﹣ac，再由b2=ac，得a2+c2﹣ac=ac，得a=c，得A=B=C=60°，得△ABC的形状是等边三角形 ‎【解答】解：由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，又b2=ac，‎ ‎∴a2+c2﹣ac=ac，∴（a﹣c）2=0，∴a=c，∴A=B=C=60°，‎ ‎∴△ABC的形状是等边三角形．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．已知等比数列{an}中有a3a11=4a7，数列{bn}是等差数列，且a7=b7，则b5+b9=（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．‎ ‎【分析】由a3a11=4a7，解出a7的值，由 b5+b9=2b7 =2a7 求得结果．‎ ‎【解答】解：等比数列{an}中，由a3a11=4a7，可知a72=4a7，∴a7=4，‎ ‎∵数列{bn}是等差数列，∴b5+b9=2b7 =2a7 =8，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．已知数列{an}的前n项和Sn=n3，则a4=（　　）‎ A．37 B．27 C．64 D．91‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】利用a4=S4﹣S3即可得出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn=n3，‎ ‎∴a4=S4﹣S3=43﹣33=37．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案．‎ ‎【解答】解：设公比为q，则===1+q3=3，‎ 所以q3=2，‎ 所以===．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．若数列{an}的通项公式是an=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20=（　　）‎ A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣29‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】易知当n为奇数时，an+an+1=﹣（3n﹣2）+（3（n+1）﹣2）=3，从而解得．‎ ‎【解答】解：∵当n为奇数时，‎ an+an+1=﹣（3n﹣2）+（3（n+1）﹣2）=3，‎ ‎∴a1+a2+…+a20‎ ‎=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20）‎ ‎=3×10=30；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．在△ABC中，A=60°，a=3，则=　　．‎ ‎【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．‎ ‎【分析】由A的度数求出sinA的值，利用正弦定理表示出比例式，再由a的值及求出的sinA，算出比例式的比值，根据比例的性质即可得到所求式子的值．‎ ‎【解答】解：由A=60°，a=3，‎ 根据正弦定理得： ==2，‎ 则=2．‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎14．已知数列{an}满足：a3=5，an+1=2an﹣1（n∈N*），则a1=　2　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】利用递推公式，结合递推思想求解．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足：a3=5，an+1=2an﹣1（n∈N*），‎ ‎∴a2=×（5+1）=3．‎ a1==2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．在平行四边形ABCD中，已知AB=10，∠B=60°，AC=30，则平行四边形ABCD的面积　300　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用余弦定理可求BC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵AB=10，∠B=60°，AC=30，‎ ‎∴在三角形ABC中用余弦定理：AC2=AB2+BC2﹣2AB×BC×cosB，可得：900=300+BC2﹣2×10×BC×，‎ ‎∴解得：BC=20，‎ ‎∴面积S=AB×BC×sinB=300．‎ 故答案为：300．‎ ‎　‎ ‎16．已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=　﹣7　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等比数列的性质和韦达定理可得a4，a7，进而可求公比q3，代入等比数列的通项可求a1，a10，相加即可．‎ ‎【解答】解：由题意和等比数列的性质可得a4a7=a5a6=﹣8，‎ ‎∴a4和a7为方程x2﹣2x﹣8=0的两实根，‎ 解得方程可得或 当时，公比满足q3==﹣2，‎ 此时a1=1，a10=﹣8，∴a1+a10=﹣7；‎ 当时，公比满足q3==﹣，‎ 此时a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7；‎ 故答案为：﹣7．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．在△ABC中，已知，c=1，B=60°，求a，A，C．‎ ‎【考点】解三角形；正弦定理．‎ ‎【分析】由B的度数求出sinB的值，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，再由c小于b，根据大角对大边可得C小于B，由B的度数可得C的范围，进而利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数，由B和C的度数，利用三角形的内角和定理求出A的度数，发现A为直角，故由b和c的长，利用勾股定理即可求出a的长．‎ ‎【解答】解：∵，c=1，B=60°，‎ 由正弦定理得：，‎ 又c＜b，∴C=30°；…‎ ‎∴A=180°﹣B﹣C=90°；…‎ ‎∴△ABC为直角三角形，又b=，c=1，‎ ‎∴根据勾股定理得：．…‎ ‎　‎ ‎18．已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】（I）由a4﹣a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，结合等差数列的通项公式可求 ‎（II）由b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合（I）可求 ‎【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d．‎ ‎∵a4﹣a3=2，所以d=2‎ ‎∵a1+a2=10，所以2a1+d=10‎ ‎∴a1=4，‎ ‎∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）‎ ‎（II）设等比数列{bn}的公比为q，‎ ‎∵b2=a3=8，b3=a7=16，‎ ‎∴‎ ‎∴q=2，b1=4‎ ‎∴=128，而128=2n+2‎ ‎∴n=63‎ ‎∴b6与数列{an}中的第63项相等 ‎　‎ ‎19．在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）﹣=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．‎ ‎【考点】解三角形；三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】由2sin（A+B）﹣=0，得到sin（A+B）的值，根据锐角三角形即可求出A+B的度数，进而求出角C的度数，然后由韦达定理，根据已知的方程求出a+b及ab的值，利用余弦定理表示出c2，把cosC的值代入变形后，将a+b及ab的值代入，开方即可求出c的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ab及sinC的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：由2sin（A+B）﹣=0，得sin（A+B）=，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴A+B=120°，C=60°．‎ 又∵a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，∴a+b=2，a•b=2，‎ ‎∴c2=a2+b2﹣2a•bcosC=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6，‎ ‎∴c=，‎ S△ABC=absinC=×2×=．‎ ‎　‎ ‎20．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=﹣4，S8=a8，求数列{|an|}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】根据条件a2=﹣4，S8=a8，可解得等差数列的首项和公差，故an=2n﹣8，Sn=n（n﹣7）．由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0，从第5项开始为正数．对n分类讨论再利用等差数列的前n项和公式即可得Tn．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，‎ 由S8=a8得8a1+d=a1+7d，则a1=﹣3d．‎ 又a2=a1+d=﹣4，∴d=2，a1=﹣6．‎ ‎∴an=﹣6+（n﹣1）×2=2n﹣8，Sn===n（n﹣7）．‎ 由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0，从第5项开始为正数．‎ ‎∴当n≤4时，Tn=﹣Sn=n（7﹣n）=﹣n2+7n，‎ 当n≥5时，Tn=Sn﹣S4+（﹣S4）=Sn﹣2S4=n（n﹣7）﹣2×4×（4﹣7）=n2﹣7n+24‎ ‎∴Tn=‎ ‎　‎ ‎21．等差数列{an}满足a5=14，a7=20，数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2﹣2Sn．‎ ‎（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ） 证明数列{bn}是等比数列．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（II）利用数列递推关系、等比数列的定义即可得出．‎ ‎【解答】（Ⅰ） 解：数列{an}为等差数列，公差，a1=2，∴an=3n﹣1．‎ ‎（Ⅱ）证明：由bn=2﹣2Sn，当n≥2时，有bn﹣1=2﹣2Sn﹣1，可得bn﹣bn﹣1=﹣2（Sn﹣Sn﹣1）=﹣2bn．即．‎ 所以{bn}是等比数列．‎ ‎　‎ ‎22．已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2+c2﹣b2=ac．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若c=3a，求tanA的值．‎ ‎【考点】余弦定理的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理即可得到结论；‎ ‎（Ⅱ）先将c=3a代入a2+c2﹣b2=ac，得．利用余弦定理求出；再根基同角三角函数之间的关系求出其正弦即可求出结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理，得=‎ ‎∵0＜B＜π，‎ ‎∴． ‎ ‎（Ⅱ）：将c=3a代入a2+c2﹣b2=ac，得． ‎ 由余弦定理，得． ‎ ‎∵0＜A＜π，‎ ‎∴． ‎ ‎∴． ‎ ‎　‎