2019-2020学年河南省周口市淮阳一中高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年河南省周口市淮阳一中高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省周口市淮阳一中高一上学期第二次月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知函数，则的值为　　‎ A．1 B．3 C．5 D．7‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用赋值法，只要令代入解析式进行计算，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以令，得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )‎ A．α⊥β，且m⊂α B．m⊥n，且n∥β C．α⊥β，且m∥α D．m∥n，且n⊥β ‎【答案】D ‎【解析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.‎ ‎【详解】‎ 解：且或或与相交，故不成立；‎ 且或或与相交，故不成立；‎ 且或或与相交，故不成立；‎ 且，故成立；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.‎ ‎3．已知是上的增函数，且它的部分对应值如表所示，则满足的 的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先根据求出，然后根据函数在上为增函数对照表格即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎， ‎ ‎ 又是上的增函数，根据表格 ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了由函数的单调性解不等式，属于基础题.‎ ‎4．一平面四边形的直观图如图所示，其中，，，则四边形的面积为（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据公式直观图的面积等于实际图形的面积，求解四边形的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎ ,‎ ‎ 四边形,‎ ‎,‎ 解得：.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查直观图和实际图形的面积的关系，属于简单题型.‎ ‎5．已知，，，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用分段法，比较出三者的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知，故.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用分段法比较对数、幂的大小，属于基础题.‎ ‎6．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的定义域为实数集即ax2+2ax+1≠0的解集为R，即ax2+2ax+1＝0无解，讨论a是否为零，令判别式小于0即可．‎ ‎【详解】‎ 解：因为f（x）的定义域为R 又f（x）有意义需ax2+2ax+1≠0‎ 所以ax2+2ax+1＝0无解 当a＝0是方程无解，符合题意 当a≠0时△＝4a2﹣4a＜0，解得 0＜a 综上所述0≤a 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等价转化的能力、考查二次方程解的个数取决于判别式，属于基础题．‎ ‎7．下列命题正确的是（ ）‎ A．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 C．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直 D．若两条直线与第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行 ‎【答案】B ‎【解析】在A中，另一条也与这个平面平行或者包含于这个平面；在B中，利用线面平行的判定定理和性质定理可判断B正确；在C中，垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面；在D中，这两条直线相交、平行或异面．‎ ‎【详解】‎ 在A中，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或者包含于这个平面，故A错误；‎ 在B中，设平面，，，由线面平行的性质定理，在平面内存在直线， ‎ 在平面内存在直线，所以由平行公理知， ‎ 从而由线面平行的判定定理可证明，进而由线面平行的性质定理证明得，从而，故B正确； ‎ 在C中，垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面，故C错误； ‎ 在D中，若两条直线与第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交、平行或异面，故D错误． ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题．‎ ‎8．用二分法研究函数的零点时，若零点所在的初始区间为，则下一个有解区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数，满足 取中点，有：，‎ ‎.‎ 所以零点在区间 故选C.‎ 点睛：二分法是一种求方程近似解的常用方法。 ‎ 二分法求方程的近似解的步骤：定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间.周而复始怎么办? 精确度上来判断。‎ ‎9．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则异面直线AB与CE所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由异面直线所成角的定义及求法，得到为所求，连接，由为直角三角形，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 在四棱锥中，，可得即为异面直线与所成角，‎ 连接，则为直角三角形，‎ 不妨设，则，所以,‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎10．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先应用题中所给的三视图，还原几何体，其为一个直五棱柱，也可以看作是由一个正方体消去一个三棱柱，利用减法运算结合体积公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题中所给的三视图，还原几何体，该几何体为底面就是俯视图的直五棱柱，‎ 也可以看作是一个正方体消去了一个三棱柱，‎ 所以去体积为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关根据三视图还原几何体，从而求其体积的问题，所以一是要注意正确还原几何体，二是正确应用体积公式求得结果.‎ ‎11．设函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知中函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，可以根据函数的图象分析出实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 函数的图象如下图所示：‎ 关于的方程恰有个不同的实数解，‎ 令t＝f（x），可得t2﹣at+2＝0，（）‎ 则方程（）的两个解在（1，2]，‎ 可得，解得，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结合是解答本题的关键．‎ ‎12．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】取BC的中点H，连接，证明平面AHGD1∥平面A1EF，得截面图形，求面积即可 ‎【详解】‎ 取BC的中点H，连接，‎ 因为面AHGD1，面AHGD1，面AHGD1，‎ 同理，面AHGD1，又，则平面AHGD1∥平面A1EF，‎ 等腰梯形AHGD1的上下底分别为，，‎ 腰长为，故梯形的高为，则梯形面积为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了几何体截面问题，灵活运用面面平行的判定是关键，考查空间想象与推理能力，是中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知函数则的值域是________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将定义域内的代入函数解析式，由此求得函数值域.‎ ‎【详解】‎ 依题意，函数定义域为，而，所以函数的值域为.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的定义域与值域，考查观察与思考的能力，属于基础题.‎ ‎14．将若干水倒入底面半径为2cm的圆柱器皿中(底面水平放置),量得水面的高度为6cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中,则水面的高度是_______cm.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先利用圆柱得到水的体积，再结合圆锥体积公式，设高为，列方程得解．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意得水的体积为：，‎ 设倒置圆锥中水面高度为，‎ 轴截面为正三角形，‎ 底面半径为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为：6．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了圆柱，圆锥的体积，难度不大．‎ ‎15．函数在递减，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，函数在上是增函数，且，再根据二次函数的性质求得的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可得，函数在上是增函数，且， 再根据函数的图象的对称轴为，‎ 可得， 求得， 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题 ‎16．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出示意图，利用体积最大时所处的位置，计算出球的半径从而算出球的体积.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：‎ 设球心为，所在圆面的圆心为，则平面；因为 ‎，，所以是等腰直角三角形，所以是中点；所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，所以；因为，设球的半径为，所以，所以，解得：，所以球的体积为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三棱锥的外接球的相关计算，难度较难.处理球的有关问题时要充分考虑到球本身的性质，例如：球心与小圆面圆心的连线垂直于小圆面.‎ 三、解答题 ‎17．全集，函数的定义域为集合，集合．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据定义域要求求出集合，再求出；（2）得到，则集合分为空集和非空集合两类进行讨论，利用数轴进行解题。‎ 试题解析：‎ 解：(1)∵ ∴ ‎ ‎　　∴A=(-2,3) ∴ ‎ ‎　　（2）当时，满足　 ‎ ‎　　　　当时，‎ ‎　　　　∵　　　∴‎ ‎　　　　∴　　 ∴　 ‎ ‎　　　　综上所述：实数的范围是 ‎18．如图，在三棱锥中， 分别为，的中点，点在上，且底面.‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）若，求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（1）由中位线知：DE//AC，可证：DE//平面SAC；‎ ‎（2）由SD⊥平面ABC，知SD⊥AC，又SF⊥AC，SD与SF交于点S，所以，AC⊥平面SFD，然后再根据面面垂直的判定定理，即可证明出结果.‎ ‎【详解】‎ 在三角形ABC，由中位线定理知：DE//AC，又DE面SAC，AC面SAC 所以DE//平面SAC;‎ ‎（2）由SD⊥平面ABC，知SD⊥AC，又SF⊥AC，SD与SF交于点S，‎ 所以，AC⊥平面SFD，所以，平面SAC⊥平面SFD ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定定理，熟练掌握判定定理的条件是解决本题的关键.‎ ‎19．（1）求值：‎ ‎（2）求值：‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据指数的运算规则进行化简，然后计算得到答案；（2）根据对数的运算规则进行化简，然后计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎=‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数运算和对数运算，属于简单题.‎ ‎20．如图，已知四棱锥中，底面为矩形且，平面平面，是等边三角形，点是的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用角的关系证出，再证明出，得到平面，进而证明可得 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面．即直线与平面所成的角为，然后求出与，即可求解 ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵为矩形且，为的中点，‎ ‎∴和都是等腰直角三角形，‎ ‎∴，∴，∴．‎ 连接，是等边三角形，是的中点，所以．‎ 又平面平面，平面，平面平面.‎ 所以平面．又平面，所以．‎ 又，平面．所以平面．‎ 又平面，所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面．‎ 即直线与平面所成的角为．‎ 设，则在中，，所以．‎ 在等边中，，所以．‎ 在中，，.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线线垂直和线面角的求解，解题关键在于，在图形中找出线面所成的角，属于基础题 ‎21．已知函数是定义在上的奇函数；‎ ‎(1)求实数的值.‎ ‎(2)试判断函数的单调性的定义证明；‎ ‎(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1（2）减函数，证明见解析（3）‎ ‎【解析】（1）根据题意由函数为定义在上的奇函数知，代入计算即可（2）首先对解析式变形，用作差法判断函数单调性即可（3）根据函数的奇偶性，单调性可得恒成立，只需求函数的最小值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为函数是定义在上的奇函数，‎ 所以，即，经检验符合题意.‎ ‎（2）由（1）知 函数为R上的减函数，证明如下；‎ 设，‎ 则 因为，，‎ 故，‎ 则是R上的减函数.‎ ‎（3）因为为奇函数，‎ 所以 又是R上的减函数，‎ 所以恒成立，‎ 令，‎ 因为，‎ 所以，‎ 当时，，‎ 所以时，不等式恒成立.‎ 故实数的取值范围..‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性，单调性及证明，二次不等式恒成立，属于难题.‎ ‎22．如图,在五面体中,四边形为矩形, .‎ ‎(1)证明: 平面；‎ ‎(2)连接,,若二面角的大小为120,,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）由题意，先证明平面，再证明且，最后得到平面；‎ ‎（2）先求出，‎ 再利用等积法求出：，最后代入求解即可 ‎【详解】‎ 解：（1）证明：因为，，， ‎ 所以平面, ‎ 因为四边形为矩形，所以.‎ 又平面,平面,‎ 所以平面. ‎ 因为平面,平面,平面平面,‎ 所以, ‎ 又所以 ‎ 又平面,所以平面, ‎ ‎（2）因为，，所以即为二面角的平面角，‎ 所以. ‎ ‎. ‎ 于是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直，线线平行，以及利用等积法求体积.‎