新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（七） 三角恒等变换与解三角形

新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（七） 三角恒等变换与解三角形

新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学专题检测（七）‎ 三角恒等变换与解三角形 ‎[全国卷 考情分析]‎ 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ ‎2019‎ 正、余弦定理的应用·T17‎ 倍角公式、同角三角函数基本关系式·T10‎ 正、余弦定理的应用、三角形的面积公式·T18‎ ‎2018‎ 正、余弦定理的应用·T17‎ 二倍角公式及余弦定理·T6‎ 二倍角公式·T4‎ 同角三角函数关系及两角和的正弦公式·T15‎ 三角形的面积公式及余弦定理·T9‎ ‎2017‎ 正、余弦定理、三角形的面积公式及两角和的余弦公式·T17‎ 余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式·T17‎ 余弦定理、三角形的面积公式·T17‎ ‎(1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．‎ ‎(2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题(或18题)位置上，难度中等．‎ ‎[大稳定]‎ ‎1.＝(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B．－1‎ C． D．1‎ 解析：选D　原式＝2×＝2×＝2sin 30°＝1.故选D.‎ ‎2.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B　由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos2α.‎ ‎∵ α∈，∴ 2sin α＝cos α.又∵ sin2α＋cos2α＝1，∴ sin2α＝.又α∈，∴ sin α＝.故选B.‎ ‎3.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选C　∵0<α<，0<β<，∴－<α－β<.‎ ‎∵sin(α－β)＝－，sin α＝，∴cos(α－β)＝，cos α＝，‎ ‎∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，∴β＝. 4.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．‎ 解析：∵ f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，‎ 令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴ f(x)＝－2t2－3t＋1＝－22＋，‎ 又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，∴ 当t＝1时，f(x)有最小值－4.答案：－4‎ ‎[解题方略]　三角函数求值的类型及方法 给角求值 解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形 给值求值 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的 给值求角 实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围 ‎[小创新]‎ ‎1.(2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为(　　)‎ A．－7 B．－ C．7 D．－7或－ 解析：选A　由复数z为纯虚数，得即又sin2θ＋cos2θ＝1，‎ 所以sin θ＝－，所以tan θ＝－，于是tan＝＝＝－7.故选A.‎ ‎2.已知tan 2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选A　由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－，cos α＝，所以sin＝sin αcos－cos αsin＝－.故选A.‎ ‎3.设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan＝________.‎ 解析：∵a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，a⊥b，∴2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，∴tan＝＝＝.‎ 答案：  题型一　利用正、余弦定理进行边、角计算 ‎[例1]　(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin‎2A－sin Bsin C.‎ ‎(1)求A；(2)若a＋b＝‎2c，求sin C.‎ ‎[解]　(1)由已知得sin2B＋sin‎2C－sin‎2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.‎ 由余弦定理得cos A＝＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.‎ ‎(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.因为0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，‎ 故sin C＝sin[(C＋60°)－60°]＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.‎ ‎[解题方略]　正、余弦定理的适用条件 ‎(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理；‎ ‎(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．‎ ‎[注意]　应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．‎ 题型二　利用正、余弦定理进行面积计算 ‎[例2]　(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A.‎ ‎(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A．因为sin A≠0，所以sin＝sin B.‎ 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.‎ 因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.‎ ‎(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.‎ 由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝＝＝＋.‎ 由于△ABC为锐角三角形，故0°0，sin(α＋β)>0，‎ 所以α－β为第四象限角，α＋β为第二象限角，‎ 因此sin(α－β)＝－，cos(α＋β)＝－，‎ 所以sin 2α＝sin(α－β＋α＋β)＝－×＋×＝1.‎ 因为α为锐角，所以2α＝，‎ 所以sin(3α－β)＝sin(2α＋α－β)＝cos(α－β)＝.故选B.‎ 法二：同法一可得，sin(α－β)＝－，cos(α＋β)＝－.‎ 所以cos 2(α－β)＝2cos2(α－β)－1＝2×2－1＝－，‎ sin 2(α－β)＝2sin(α－β)cos(α－β)＝2××＝－.‎ 所以sin(3α－β)＝sin[2(α－β)＋(α＋β)]＝sin 2(α－β)·cos(α＋β)＋cos 2(α－β)·sin(α＋β)＝×＋×＝.故选B.‎ ‎4解析：选C　由题意，利用正弦定理可得‎6a＝4b＝‎3c，则可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，则cos C＝＜0，所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形．故选C.‎ ‎5解析：选A　法一：由b＝acos C＋c及正弦定理，可得sin B＝sin Acos C＋sin C，即sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin C，即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin C，所以cos A·sin C＝sin C，又在△ABC中，sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝60°.故选A.‎ 法二：由b＝acos C＋c及余弦定理，可得b＝a·＋c，即2b2＝b2＋a2－c2＋bc，整理得b2＋c2－a2＝bc，于是cos A＝＝，所以A＝60°.故选A.‎ ‎6解析：选C　如图，台风中心为B,2.5小时后到达点C，则在△ABC中，ABsin α＝ACsin β，即sin α＝sin β，又cos α＝cos β，∴sin2α＋cos2α＝sin2β＋cos2β＝1＝sin2β＋cos2β，∴sin β＝cos β，∴sin β＝，cos β＝，∴sin α＝，cos α＝，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝0，∴α＋β＝，∴BC2＝AB2＋AC2，∴(2.5v)2＝1502＋2002，解得v＝100.故选C.‎ ‎7解析：如图，易知sin∠C＝ cos∠C＝.‎ 在△BDC中，由正弦定理可得＝，‎ ‎∴ BD＝＝＝.‎ 由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，‎ 可得cos∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin∠CBD＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]＝sin(∠C＋∠BDC)‎ ‎＝sin∠C·cos∠BDC＋cos∠C·sin∠BDC＝×＋×＝.‎ 答案：　 ‎8解析：因为△ABC的面积为4，所以ac·sin B＝4.因为2bcos A＋a＝‎2c，所以由正弦定理得2sin Bcos A＋sin A＝2sin C，又A＋B＋C＝π，所以2sin Bcos A＋sin A＝2sin Acos B＋2cos Asin B，所以sin A＝2cos Bsin A，因为sin A≠0，所以cos B＝，因为0＜B＜π，所以B＝，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为正三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.‎ 答案：12‎ ‎9解析：在△ABC中，由ACsin∠BAC＋BCcos B＝2BC，结合正弦定理可得sin B·sin∠BAC＋sin∠BACcos B＝2sin∠BAC，∵sin∠BAC≠0，‎ ‎∴sin B＋cos B＝2,2sin＝2，sin＝1，∵0＜B＜π，‎ ‎∴B＋＝，∴B＝.又B＋D＝π，∴∠ADC＝.‎ 在△ACD中，∠ADC＝，sin∠CAD＝，‎ ‎∴cos∠CAD＝，‎ 则sin∠ACD＝sin[180°－(∠ADC＋∠CAD)]＝sin(∠ADC＋∠CAD)＝×＋×＝，由正弦定理得＝，即＝，∴AC＝.‎ 在△ABC中，7＝AC2＝AB2＋BC2－AB·BC≥2AB·BC－AB·BC＝AB·BC，当且仅当AB＝BC时取“＝”，则S△ABC＝AB·BC≤，即△ABC的面积的最大值为.‎ 答案： ‎10解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，‎ 得b2＝32＋c2－2×3×c×.‎ 因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，‎ 解得c＝5，所以b＝7.‎ ‎(2)由cos B＝－得sin B＝.‎ 由正弦定理得sin C＝sin B＝.‎ 在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角，‎ 所以cos C＝ ＝.‎ 所以sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C＝×－×＝.‎ ‎11解：(1)因为a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B，所以由余弦定理，得2accos B＝abcos A＋a2cos B，‎ 又a≠0，所以2ccos B＝bcos A＋acos B，由正弦定理，得 ‎2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin C，‎ 又C∈(0，π)，sin C＞0，所以cos B＝.‎ 因为B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)由tan C＝，C∈(0，π)，得sin C＝，‎ cos C＝，‎ 所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝.‎ 由正弦定理＝，得a＝＝＝6，‎ 所以△ABC的面积为absin C＝×6×2×＝6.‎ ‎12解：(1)锐角三角形ABC中，sin2B＝sin‎2A＋sin‎2C－sin Asin C，‎ 故b2＝a2＋c2－ac，‎ cos B＝＝，又B∈，‎ 所以B＝.‎ ‎(2)由(1)知，C＝－A，‎ 故sin A＋cos C＝sin A＋cos＝sin A－cos A＝sin.‎ 又A∈，C＝－A∈，‎ 所以A∈，‎ A－∈，sin∈，‎ 故sin A＋cos C的取值范围为.‎ ‎1解：(1)在△BEC中，由余弦定理得，CE＝＝，又＝ ‎，所以sin∠BCE＝，‎ 因为∠B＝∠CED，所以sin∠AED＝sin∠BCE＝.‎ ‎(2)因为AB∥CD ，所以∠CDE＝∠AED，‎ 所以sin∠CDE＝sin∠AED＝，‎ 在△CDE中，＝，所以CD＝＝＝7.‎ ‎2解：(1)因为(c－b)sin C＝(a＋b)(sin A－sin B)，‎ 所以(c－b)c＝(a＋b)(a－b)，‎ 所以a2＝b2＋c2－bc，所以cos A＝，所以A＝30°.‎ 因为sin Asin B＝cos2.‎ 所以sin Asin B＝，即sin B＝1＋cos C.‎ 因为B＋C＝150°，所以sin B＝1＋cos(150°－B)，‎ 解得B＝30°.‎ ‎(2)因为absin C＝，C＝120°，所以a＝b＝2.‎ 因为c2＝a2＋b2－2abcos C，所以c＝2.‎ 在△ABM中，AM 2＝AB2＋BM 2－2AB·BMcos B＝7，得AM＝，‎ 所以BC边上的中线AM的长为.‎ ‎3解：(1)由2(c－acos B)＝b及正弦定理得2(sin C－sin Acos B)＝sin B，‎ 所以2sin(A＋B)－2sin Acos B＝sin B，即2cos Asin B＝sin B，‎ 因为sin B≠0，所以cos A＝，‎ 又0＜A＜π，所以A＝.‎ ‎(2)因为a＝2，所以由正弦定理得b＝4sin B，c＝4sin C，‎ 所以S△ABC＝bcsin A＝bc，‎ 所以S△ABC＝4sin Bsin C，因为C＝π－(A＋B)＝－B，所以sin C＝sin，‎ 所以S△ABC＝4sin Bsin＝4sin B，‎ 即S△ABC＝2sin Bcos B＋2sin2B ‎＝sin 2B－cos 2B＋ ‎＝2sin＋.‎ 因为0＜B＜，所以－＜2B－＜，‎ 所以－＜sin≤1，所以0＜S△ABC≤2＋.‎ 即△ABC面积的取值范围为(0,2＋ ]．‎ ‎4解：(1)因为角A，B，C成等差数列，‎ 所以2B＝A＋C，‎ 又因为A＋B＋C＝π，‎ 所以B＝.‎ 根据正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R＝＝＝1.‎ ‎(2)法一：由B＝，知A＋C＝，可得0＜A＜.‎ 由(1)知△ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得，‎ ＝＝＝1，‎ 所以a＋c＝sin A＋sin C ‎＝sin A＋sin ‎＝ ‎＝sin.‎ 因为0＜A＜，所以＜A＋＜.‎ 所以＜sin≤1，‎ 从而＜ sin≤ ，‎ 所以a＋c的取值范围是.‎ 法二：由(1)知，B＝，‎ b2＝a2＋c2－2accos B ‎＝(a＋c)2－‎3ac≥(a＋c)2－32＝(a＋c)2(当且仅当a＝c时，取等号)，‎ 因为b＝ ，所以(a＋c)2≤3，即a＋c≤ ，‎ 又三角形两边之和大于第三边，所以＜a＋c≤ ，‎ 所以a＋c的取值范围是.‎