2019-2020学年湖北省名师联盟高二上学期期末考试备考精编金卷理科数学（B）试题 解析版

2019-2020学年湖北省名师联盟高二上学期期末考试备考精编金卷理科数学（B）试题 解析版

2019-2020 学年上学期高二期末考试备考精编 金卷 理 科 数 学（B） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数 3 1 2iz   (i 是虚数单位)，则 z 的实部为（ ） A． 3 5  B． 3 5 C． 1 5  D． 1 5 2．准线为 3 4y   的抛物线标准方程是（ ） A． 2 3x y B． 2 2 3x y  C． 2 1 3y x D． 2 3 2y x  3．若函数 ( )f x 在R 上可导，且满足 ( ) ( ) 0f x xf x  ，则（ ） A．3 (1) (3)f f B．3 (1) (3)f f C．3 (1) (3)f f D． (1) (3)f f 4．若向量 (1,0, )za 与向量 (1, 3,0)b 的夹角的余弦值为 1 2 ，则 z  （ ） A．0 B．1 C． 1 D．2 5．“ 1 4m  ”是“一元二次方程 2 0x x m   有实数解”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 此 卷 只 装 订 不 密 封 班 级 姓 名 准 考 证 号 考 场 号 座 位 号 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．设正项等比数列{ }na 中的 1a ， 4037a 是函数 3 21( ) 4 6 13f x x x x    的极值点， 则 2 2019log a 等于（ ） A． 2 B． 2log 6 C． 2 1 log 32 D．6 7．椭圆 2 2 1x my  的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A． 1 4 B． 1 2 C．2 D．4 8．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下， 甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说： “甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”。经过调查核实，四个 人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯， 则说真话的人是（ ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丁 D．乙、丁 9．如图在复平面内，复数 1z ， 2z 对应的向量分别是OA  ，OB  ，若 2 1z z z  ，则 z 的 共轭复数 z  （ ） A． 1 3 i2 2  B． 1 3 i2 2  C． 1 3 i2 2   D． 1 3 i2 2   10．已知命题 p :函数 lg(1 )y x  在( ,1) 上单调递减，命题q :函数 cos2 xy  是偶 函数，则下列命题中真命题的是（ ） A． p q B．( ) ( )p q   C．( )p q  D． ( )p q  11．设 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)F c 分别为双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的两个焦点，M 、 N 是双曲线C 的一条渐近线上的两点，四边形 1 2MF NF 为矩形， A 为双曲线实轴 的一个顶点，若 AMN△ 的面积为 21 2 c ，则该双曲线的离心率为（ ） A．3 B．2 C． 3 D． 2 12．已知函数 ( )y f x 是 R 上的可导函数，当 0x  时，有 ( )( ) 0f xf x x    ，则 函数 1( ) ( )F x xf x x   的零点个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．计算 3 2 1 1(2 )dx xx   ． 14．若命题“ 0x R ， 2 0 02 0x x m   ”是假命题，则m 的取值范围是 ． 15 ． 函 数 3 21( ) 2 3 23f x x x x    在 区 间 [0,2] 上 最 大 值 与 最 小 值 的 和 为 ． 16．在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 1AA  ， 3AD DC  ，Q 是线段 1 1AC 上一 点， 且 1 1 1 1 3C Q C A ，则点Q 到平面 1A DC 的距离为 ． 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 17．（10 分）已知过抛物线 2 4y x 焦点 F 的弦的长为36，求该弦所在的直线方 程． 18．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA  底面 ABCD，AD AB ，AB DC∥ ， 2AD DC AP   ， 1AB  ，点 E 为棱 PC 的中点． （1）证明： BE DC ； （2）求二面角 E AB P  的余弦值． 19．（12 分）设函数 3 2( ) 2 3 3f x x ax bx c    在 1x  及 2x  时取得极值． （1）求 a ，b 的值； （2）求函数 ( )y f x 在[0,3]上的最大值与最小值之差． 20．（12 分）设命题 p :函数 2 1( ) lg( )4f x ax x a   的定义域为R ；命题 q : x R ， 使得 2 2 2 0x ax a    ．如果“ p 或 q ”为真命题，“ p 且 q ”为假命题，求实 数 a 的取值范围． 21．（12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中， PA  底面 ABCD ， AD BC∥ ， 3AB AD AC   ， 4PA BC  ，M 为线段 AD 上一点， 2AM MD ，N 为 PC 的中点． （1）证明： MN∥平面 PAB； （2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值． 22．（12 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 1 2 ，以原点为圆心，椭 圆的短半轴为半径的圆与直线 6 0x y   相切，过点 (4,0)P 且不垂直于 x 轴的 直线l 与椭圆C 相交于 A ， B 两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求OA OB  的取值范围． 2019-2020 学年上学期高二期末考试备考精编金卷 理 科 数 学（B）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】∵ 3 3(1 2i) 3 6 i1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5z       ，∴ z 的实部为 3 5 ． 2．【答案】A 【解析】准线为 3 4y   的抛物线标准方程是 2 3x y ，故选 A． 3．【答案】B 【解析】由于 ( ) ( )f x xf x ，∴ 2 ( ) ( ) ( )( ) 0f x f x x f x x x     ， 因此 ( )f x x 在(0, ) 上单调递减，∴ (3) (1) 3 1 f f ，即3 (1) (3)f f ，故答案为 B． 4．【答案】A 【解析】 向量 (1,0, )za 与向量 (1, 3,0)b 的夹角的余弦值为 1 2 ， ∴ 2 1 1cos , | | | | 21 1 3z         a ba b a b ，解得 0z  ． 5．【答案】A 【 解 析 】“ 一 元 二 次 方 程 2 0x x m   有 实 数 解 ” 的 充 要 条 件 是 10 1 4 0 4Δ m m      ， 而 1 1 4 4m m   ；但 1 4m  1 4m  ，故选 A． 6．【答案】B 【解析】∵ 1a ， 4037a 是函数 3 21( ) 4 6 13f x x x x    的极值点， ∴ 1a ， 4037a 是方程 2( ) 8 6 0f x x x     的两个实数根， 由根与系数的关系可得 2 1 4037 20196a a a   ，故 2 2019 2log log 6a  ． 7．【答案】A 【解析】方程化为 2 2 11 y x m   ，则长轴长为 12 m ，短轴长为2 ， 则 12 4m  ， 1 4m  ，故选 A． 8．【答案】B 【解析】如果乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符， 所以乙说假话，小偷不是丙，同时丁说的也是假话． 即甲、丙说的是真话，小偷是乙，故选 B． 9．【答案】A 【解析】由题意知 1 1 2iz   ， 2 1 iz    ，故 ( 1 i) 1 2iz     ， 即 1 2i (1 2i)(1 i) 1 3i 1 3 i1 i ( 1 i)(1 i) 2 2 2z             ，∴ 1 3 i2 2z   ，故选 A． 10．【答案】A 【解析】命题 p 中，因为函数 1u x  在( ,1) 上为减函数， 所以函数 lg(1 )y x  在( ,1) 上为减函数，所以 p 是真命题； 命题q 中，设 cos( ) 2 xf x  ，则 cos( ) cos( ) 2 2 ( )x xf x f x    ， xR ， 所以函数 cos2 xy  是偶函数，所以q 是真命题，所以 p q 是真命题，故选 A． 11．【答案】D 【解析】设 ( , )( 0)bM x x xa  ，根据矩形的性质，得 1 2| | | | | |MO OF OF c   ， 即 2 2 2( )bx x ca   ，则 x a ，所以 ( , )M a b ． 因为 AMN△ 的面积为 21 2 c ，所以 21 12 2 2a b c    ，所以 2 2 2 44 ( )a c a c  ， 所以 4 24 4 0e e   ，所以 2e  ，故选 D． 12．【答案】B 【解析】令 1( ) ( ) 0F x xf x x    ，∴ 1( )xf x x   ． ∵ ( ) ( ) ( ) [ ( )]( ) 0f x xf x f x xf xf x x x x       ， 令 ( ) ( )g x xf x ，即当 0x  时， ( ) [ ( )] 0g x xf x   ，为增函数； 当 0x  时， ( ) [ ( )] 0g x xf x   ，为减函数， ∴在区间(0, ) ，( ,0) 上， ( ) (0) 0g x g  ． ∵函数 1y x   在区间(0, ) ，( ,0) 上为增函数，画出草图可知， 在区间( ,0) 上， ( ) ( )g x xf x 与 1y x   有一个交点，在(0, ) 上没有交点． 即 1( ) ( )F x xf x x   的零点个数是1． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】 22 3 【解析】 3 2 3 12 1 1 1 1 22(2 )d ( ) 9 23 3x x xx x        ． 14．【答案】(1, ) 【解析】因为命题“ 0x R ， 2 0 02 0x x m   ”是假命题， 所以 x R ， 2 2 0x x m   为真命题，即 4 4 0Δ m   ，∴ 1m  ， 故答案为(1, ) ． 15．【答案】 8 3  【解析】∵ 3 21( ) 2 3 23f x x x x    ， 由 2( ) 4 3 ( 3)( 1) 0f x x x x x        得极值点为1，3， 计算得， (0) 2f   ， 2(1) 3f   ， 4(2) 3f   ， 故函数 3 21( ) 2 3 23f x x x x    在区间[0,2]上最大值与最小值的和为 8 3  ． 16．【答案】 3 3 【解析】以 1 1D A ， 1 1D C ， 1D D 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 则 (0,0,1)D ， (0, 3,1)C ， 1( 3,0,0)A ， 1(0, 3,0)C ， 由 1 1 1 1 3C Q C A  ， 则 3 2 3( , ,0)3 3Q ， ∴ (0, 3,0)DC  ， 1 ( 3,0, 1)DA   ， 3 2 3( , , 1)3 3DQ   ， 设平面 1A DC 的法向量为 ( , , )x y zn ， 由 1 0 0 DC DA        n n ，得 0 3 0 y x z    ，可取 (1,0, 3)n ， ∴点Q 到平面 1A DC 的距离为 | | 3 | | 3 DQd    n n ． 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 17．【答案】 2 ( 1)4y x  或 2 ( 1)4y x   ． 【解析】∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零， 故可设弦所在直线的斜率为 k ，且与抛物线交于 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 两点． ∵抛物线 2 4y x 的焦点为 (1,0)F ，∴直线方程为 ( 1)y k x  ， 联立抛物线有 2 ( 1) 4 y k x y x     ，整理得 2 2 2 2(2 4) 0( 0)k x k x k k     ， ∴ 2 1 2 2 2 4kx x k   ，∴ 2 1 2 2 2 4| | | | | | 2 2kAB AF BF x x k        ． 又| | 36AB  ，∴ 2 2 2 4 2 36k k    ，∴ 2 4k   ． ∴所求直线方程为 2 ( 1)4y x  或 2 ( 1)4y x   ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2） 2 2 ． 【解析】（1）证明：取 PD中点 F ，连接 AF ， EF ， E ， F 分别是 PC ， PD的中点，∴ EF CD∥ ， 1 2EF CD ， AB CD∥ ， 1 2AB CD ，∴ EF AB∥ ， EF AB ， 四边形 ABEF 是平行四边形，∴ BE AF∥ ， PA  底面 ABCD，∴ PA CD ， ∵ AB AD ， AB CD∥ ， AD CD ，∴CD  面 PAD ，∴CD AF ，∴CD BE ． （2）以点 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ， 则 (0,0,0)A ， (1,0,0)B ， (0,0,2)P ， (2,2,0)C ， (1,1,1)E ， ∴ (1,1,1)AE  ， (1,0,0)AB  ， 设平面 EAB的法向量为 ( , , )x y zm ， 由 0 0 00 AE x y z xAB              m m ，令 1z  ，则 1y   ，即 (0, 1,1) m ， 易知平面 PAB的一个法向量 (0,1,0)n ， 设二面角 E AB P  的大小为 ，则 2cos | cos , | 2     m n ． 19．【答案】（1） 3a   ， 4b  ；（2）9． 【解析】（1） 2( ) 6 6 3f x x ax b    ， 因为函数 ( )f x 在 1x  及 2x  时取得极值，∴ (1) 0f   ， (2) 0f   ， 即 6 6 3 0 24 12 3 0 a b a b        ，解得 3a   ， 4b  ，经检验满足题意． （2）由（1）可知， 3 2( ) 2 9 12f x x x x c    ， 2( ) 6 18 12 6( 1)( 2)f x x x x x       ， 当 (0,1)x 时， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 单调递增； 当 (1,2)x 时， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 单调递减； 当 (2,3)x 时， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 单调递增， 所以，当 1x  时， ( )f x 取得极大值 (1) 5f c  ； 当 2x  时， ( )f x 取得极小值 (2) 4f c  ， 又 (0)f c ， (3) 9f c  ， ∴当 [0,3]x 时， ( )f x 的最大值为 (3) 9f c  ， ( )f x 的最小值为 (0)f c ， 故函数 ( )y f x 在[0,3]上的最大值与最小值之差为9． 20．【答案】( , 2] {1}   ． 【解析】∵当命题 p 为真命题时，函数 2 1( ) lg( )4f x ax x a   的定义域为R ， ∴ 2 1 04ax x a   恒成立，得 2 0 1 0 a Δ a      ，解得 1a  ； 当命题 q 为真命题时， 24 4(2 ) 0Δ a a    ，解得 2a   或 1a  ， ∵“ p 或 q ”为真命题，且“ p 且 q ”为假命题， ∴命题 p 与命题 q 一真一假． 若 p 真 q 假，则 a； 若 p 假 q 真，得 1 2 1 a a a      或 ，则 2a   或 1a  ， 综上所述，实数 a 的取值范围是( , 2] {1}   ． 21．【答案】（1）证明见解析；（2） 8 5 25 ． 【解析】（1）证明：由已知得 2 23AM AD  ，取 BP 得中点T ，连接 AT ，TN ， ∵ N 为 PC 的中点，∴TN BC∥ ， 1 22TN BC  ． 又 AD BC∥ ，故TN AM∥ ，TN AM ， ∴四边形 AMNT 为平行四边形，∴ MN AT∥ ． 因为 AT  平面 PAB， MN 平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB． （2）取 BC 的中点 E ，连接 AE ． 由 AB AC 得 AE BC ，从而 AE AD ， 且 2 2 2 2( ) 52 BCAE AB BE AB     ． 以 A 为坐标原点， AE  的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ． 由题意知 (0,0,4)P ， (0,2,0)M ， ( 5,2,0)C ， 5( ,1,2)2N ， ∴ (0,2, 4)PM   ， 5( ,1, 2)2PN   ， 5( ,1,2)2AN  ． 设 ( , , )x y zn 为平面 PMN 的法向量，则 0 0 PM PN        n n ，即 2 4 0 5 2 02 y z x y z      ， 可取 (0,2,1)n ．于是 | | 8 5| cos , | 25| || | ANAN AN      nn n ， ∴直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 8 5 25 ． 22．【答案】（1） 2 2 14 3 x y  ；（2） 13[ 4, )4  ． 【解析】（1）由题意知 1 2 ce a   ，所以 2 2 2 2 2 2 1 4 c a be a a    ，即 2 24 3a b ． 又以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 6 0x y   相切， 所以 | 6 | 3 1 1 b    ，所以 2 4a  ， 2 3b  ，故椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y  ． （2）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 ( 4)y k x  ， 联立椭圆有 2 2 ( 4) 14 3 y k x x y     ，∴ 2 2 2 2(4 3) 32 64 12 0k x k x k     ． 由 2 2 2 2( 32 ) 4(4 3)(64 12) 0Δ k k k      ，得 2 1 4k  ． 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 2 1 2 2 32 4 3 kx x k    ， 2 1 2 2 64 12 4 3 kx x k   ． ∴ 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 36( 4) ( 4) 4 ( ) 16 4 3 ky y k x k x k x x k x x k k           ， ∴ 2 2 1 2 1 2 2 2 2 64 12 36 87254 3 4 3 4 3 k kOA OB x x y y k k k            ， ∵ 2 10 4k  ，∴ 2 87 8729 4 3 4k      ，∴ 13[ 4, )4OA OB    ， ∴OA OB  的取值范围是 13[ 4, )4  ．