2017-2018学年河南省驻马店市高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 河南省驻马店市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：利用复数的除法运算计算，进而得到.‎ 详解： ‎ 故选A。‎ 点睛：：本题考查复数的除法运算及共轭复数，属基础题.‎ ‎2．若变量与之间相关系数，则变量与之间（ ）‎ A． 不具有线性相关关系 B． 具有线性相关关系 C． 它们的线性相关关系还需要进一步确定 D． 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：相关系数的绝对值越接近于1，越具有强大相关性，相关系数，相关系数的绝对值约接近1，得到结论．‎ 详解：：∵相关系数的绝对值越大，越具有强大相关性， 相关系数，相关系数的绝对值约接近1， 则变量与之间具有线性相关关系． 故选：B．‎ 点睛：判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定的则是函数关系；若不确定，则是相关关系，相关系数越大，相关性越强，是基础题．‎ ‎3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义可知是“甲学员没有降落在指定范围或乙学员没有降落在指定范围”,故应选A.‎ 考点：复合命题的构成及运用.‎ ‎【易错点晴】本题是一道命题的真假和复合命题的真假的实际运用问题.求解时先搞清楚所给的两个命题的内容,再选择复合命题的形式将所求问题的表达方式.首先欲求问题中的命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义是指“有一位学员或两位学员没有降落”，因此将其已知两个命题的内容进行联系，从而将问题转化为“甲学员没有降落在指定范围或乙学员没有降落在指定范围”.‎ 视频 ‎4．已知数列的任意连续三项的和是18，并且，那么（ ）‎ A． 10 B． 9 C． 5 D． 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由题 ，，可导出.‎ 详解：由题 ，则 由，可得 ‎ ‎，由此可得.‎ 故 ‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查由数列的递推关系得到数列的有关性质，是基础题.‎ ‎5．已知为实数，则“”是“”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由，则成立，反之：如，即可判断关系．‎ 详解：由，则成立，反之：如，则不成立，‎ 所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎6．直线与曲线相切于点,则（ ）‎ A． 1 B． 4 C． 3 D． 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：求出函数的导函数，得到的值，由直线与曲线 相切于点列关于的方程组，求出的值后得答案．‎ 详解：由，得 ‎ 再由直线与曲线相切于点,，得 ‎ ‎ ‎． 故选C.‎ 点睛：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，曲线在某点处的导数，就是在该点处的切线的斜率，是中档题．‎ ‎7．若抛物线上一点(（非原点）到轴的距离是到轴距离的3倍，那么它到抛物线准线的距离是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由题设，代入抛物线方程，求出由抛物线的定义可求点到抛物线准线的距离 详解：根据题意设，代入抛物线方程，则由抛物线的定义可得点到抛物线准线的距离为 ‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查利用抛物线的定义求点到抛物线准线的距离，属基础题.‎ ‎8．的内角的对边分别为，且，则为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由正弦定理化简已知等式，整理可得： ，由余弦定理可得，结合范围 即可解得的值．‎ 详解：∵由正弦定理可得： ‎ ‎∴，整理可得：， ∴由余弦定理可得：， ∴由，可得：‎ 故选B.．‎ 点睛：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属基础题．‎ ‎9．已知函数是自然对数的底数），则的极大值为（ ）‎ A． B． C． 1 D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：求函数的导数，令，先求出的值再求的极大值为即可得．‎ 详解：函数的定义域为 ， ，则 ‎ ‎ ‎ 令，得 令，得，即函数 上单调递增，在上单调递减，故函数在出uqude极大值，极大值为 ‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎10．已知为正方形，其内切圆与各边分别切于,连接,现向正方形内随机抛掷一枚豆子（豆子大小忽略不计），记事件A:豆子落在圆内；事件B:豆子落在四边形外，则( )‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：设正方形边长为,分别求解圆和正方形的面积，得到在圆内且在正方形内的面积，即可求解.‎ 详解：设正方形边长为,则圆的半径为其面积为 ‎ 设正方形边长为,则 其面积为 ‎ 则在圆内且在正方形内的面积为 ‎ 故 ‎ 故选C。‎ 点睛：本题考查条件概率的计算，其中设正方形边长和正方形得到在圆内且在正方形内的面积是解题的关键.‎ ‎11．已知等比数列的前项和是，则下列说法一定成立的是（ ）‎ A． 若，则 B． 若，则 C． 若，则 D． 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由，可得，分当时，当时，当时和时，由不等式的性质均可得到.‎ 详解：当时，，‎ 又当时，，‎ 当时，，，即；‎ 当时，，，即；‎ 当时，，，即；‎ 当时，，‎ 综上可得当时，，故选C.‎ 点睛：本题考查等比数列的通项公式与求和公式以及不等式的性质，意在考查分类讨论思想与计算能力，属于中档题.‎ ‎12．设双曲线的一个焦点为,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,且与另一条渐近线交于点,若,则双曲线的离心率为( )‎ A． B． 2 C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由可得， 求得双曲线的渐近线方程，联立求得 坐标，根据向量坐标运算，整理即可求得双曲线的离心率；‎ 详解：∵的一条渐近线为另一条渐近线为 ‎∵过其焦点的直线与垂直， ∴的方程为 ‎ ‎∴由 得垂足A的横坐标 ‎ 则 进而可得： ‎ 由由可得 ‎ ，‎ ‎ ‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查双曲线的离心率公式，考查计算能力，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若实数满足，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题目给出的线性约束条件画出可行域，找出最优解，把最优解的坐标代入线性目标函数即可求得其最大值．‎ ‎【详解】‎ 详解：画出可行域如图所示，‎ ‎ ，‎ 可知当目标函数经过点时取最大值，最大值为 ‎ 故答案为9.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了简单的线性规划，解答的关键是会利用特殊点代入法求二元一次不等式所表示的平面区域，是基础题．‎ ‎14．已知，函数的图像经过点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，可得，展开后运用基本不等式，即可得到所求最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎，函数的图像经过点，可得 即， 可得 当且仅当 时，取得等号，‎ 则的最小值为16． 故答案为：16．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的运用：求最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．‎ ‎15．在中，若,则面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：根据，及向量的数量积的定义式得到|，两边平方得到，根据三角形的面积公式 ‎ ‎，两边平方，两式相加，得到 ，根据余弦定理和基本不等式即可求得三角形面积的最大值．‎ 详解：∵，‎ ‎∴ （1） 又∵ ∴ （2） （1）+（2）得： ‎ 即 由题知： ， ∴ ‎ ‎∴ 由不等式：  当且仅当，时，取等号 ∴ 即 ∴ 即： ∴ ，所以△ABC面积的最大值为． 故答案为．‎ 点睛：本题考查向量在几何中的应用和向量的数量积的定义式，以及余弦定理、三角形的面积公式和基本不等式求最值等基础知识和基本方法，综合性强，考查了学生灵活应用知识分析、解决问题的能力．属中档题 ‎16．某种型号的机器人组装由四道工序，完成它们需要的时间依次为小时，已知完成这四道工序先后顺序及相互关系是：①可以同时开工；②只有在完成后才能开工；③只有在都完成后才能开工.若完成该型号的机器人组装总时间为9小时，则完成工序需要的时间的最大值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 分析：这是一个简单的合情推理问题，我们可以根据四道工序的先后顺序及相互关系，计算出完成整个工序需要的最少工作时间，再结合该工程总时数为9小时构造方程，易得到完成工序需要的天数的最大值．‎ 详解：因为完成后，才可以开工， 完成后，才可以开工， 完成需用时间依次为小时， 且A，B可以同时开工， 该工程总时数为9小时， ‎ 则 ， 所以 ，‎ 点睛：本题考查的知识要点：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果，属于基础题型．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知公差不为0的等差数列的首项,且，，成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据题意，求得，利用等差数列的通项公式，即可得到数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，利用裂项相消求和，即可求得数列的前项和．‎ 详解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，‎ ‎ ，，成等比数列，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ‎ ‎ ‎ 点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式和裂项相消求和，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎18．在某超市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付支付的情况，得到如下的列联表，已知从其中使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为.‎ ‎（1）根据已知条件完成列联表，并根据此资料判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”.‎ ‎（2)现按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”进行分层抽样，从这100名顾客中抽取容量为5的样本，求“从样本中任选3人，则3人中至少2人使用手机支付”的概率.‎ 青年 中老年 合计 使用手机支付 ‎60‎ 不使用手机支付 ‎28‎ 合计 ‎100‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 附：‎ ‎【答案】（1）有；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据已知条件完成列联表，求出，然后判断是否有的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”． （2）分层抽样从这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本：使用手机支付的人有人，记编号为1，2，3，不使用手机支付的人有2人，记编号为,写出所有的情况，然后利用古典概型概率求解即可．‎ 详解：‎ ‎（1）从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为 使用手机支付的人群中的青年的人数为人，‎ 则使用手机支付的人群中的中老年的人数为人，所以列联表为：‎ 青年 中老年 合计 使用手机支付 ‎48‎ ‎12‎ ‎60‎ 不使用手机支付 ‎12‎ ‎28‎ ‎40‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 故有99.9%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.‎ ‎（2）这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中：‎ 使用手机支付的人有人，‎ 记编号为1，2，3‎ 不使用手机支付的人有2人，记编号为,‎ 则从这个样本中任选3人有 共10种 其中至少有2人是不使用手机支付的 共7种，‎ 故所求概率为 点睛：本题考查古典概型的概率的运算法则的应用，独立性检验的应用，是基本知识的考查．‎ ‎19．已知分别为三个内角的对边，‎ ‎（1）求;‎ ‎（2）若是的中点，,求 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由已知利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得，结合范围，可求，利用平面向量数量积的运行可求，根据三角形面积公式即可计算得解． （2）由已知可得，两边平方可得又结合，即可解得的值．‎ 详解：‎ ‎（1)‎ 又 ‎(2)‎ 又或.‎ 点睛：本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，平面向量数量积的运算，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎20．已知椭圆的离心率为是椭圆上一点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，是直线上任意一点.‎ 证明：直线的斜率成等差数列.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）椭圆C的离心率为，在椭圆上．可得 联立解得即可得出．‎ ‎(2)因为右焦点,‎ ‎①当直线的斜率不存在时其方程为，‎ 因此，设，则可证 因此，直线和的斜率是成等差数列.‎ ‎②当直线的斜率存在时其方程设为 由得，‎ 所以，验证，又因为，‎ 所以有,‎ 综上可知直线和的斜率是成等差数列.‎ 详解：‎ ‎（1）；‎ ‎(2)因为右焦点,‎ ‎①当直线的斜率不存在时其方程为，‎ 因此，设，则 所以且 所以，‎ 因此，直线和的斜率是成等差数列.‎ ‎②当直线的斜率存在时其方程设为 由得，‎ 所以 因此，‎ ‎ ‎ 所以，‎ 又因为 所以有,‎ 因此，直线和的斜率是成等差数列 综上可知直线和的斜率是成等差数列.‎ 点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率公式，利用等差数列的性质证明等差数列，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）求单调区间只需求解导函数的不等式即可；（2）对于当时，恒成立，可先分离参数，然后求出新函数的最小值即可.‎ 详解：‎ ‎（1）函数的定义域为，‎ ‎∵，∴，解得或；，解得，‎ ‎∴的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）∵在恒成立 ‎∴，‎ 令，则，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴.‎ 点睛：考查函数的单调区间的求法以及恒成立问题转化为最值问题求解的思维，分离参数的是解题关键，属于中档题.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线；过点的直线的参数方程为为参数），直线与曲线分别交于两点.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若成等比数列，求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）1.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）极坐标化为直角坐标方程可得曲线的方程为，消去参数可得直线 的直角坐标方程为.‎ ‎（2）把直线的参数方程代入抛物线方程可得.则，.结合参数的几何意义有：，，据此可得关于实数a的方程，解方程可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）曲线：，‎ 消去参数可得直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）把直线的参数方程代入，‎ 得：.‎ 设，对应参数为，.则有 ‎，.‎ 因为，，‎ ‎.‎ 所以，‎ 即，‎ 解得.‎ 点睛：(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式中t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2)．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1)当时，‎ ‎，‎ 或，‎ 或，即可得解.‎ ‎(2)，‎ 故的值域为.‎ 又在区间上单调递增.‎ 可得的值域为，要满足条件，必有，由此得到的取值范围.‎ 详解：‎ ‎（1)当时，‎ ‎，‎ 或，‎ 或，‎ 解得.‎ 即不等式解集为.‎ ‎(2)，‎ 当且仅当时，取等号，‎ 的值域为.‎ 又在区间上单调递增.‎ 即的值域为，要满足条件，必有，‎ 解得 的取值范围为 点睛：本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法恒成立问题以及绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．‎