2018-2019学年广西钦州市高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年广西钦州市高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年广西钦州市高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题首先可以根据抛物线方程得出焦点所在位置以及的值，然后就可以得出焦点坐标，最后得出结果。‎ ‎【详解】‎ 由抛物线方程可知，抛物线的焦点在轴正方向上，且，‎ 故焦点坐标为，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的相关性质，考查根据抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，考查计算能力，考查对抛物线焦点坐标的理解，是简单题。‎ ‎2．某中学共有1000名学生，其中高一年级350人，该校为了了解本校学生视力情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为（ ）‎ A．20 B．25 C．30 D．35‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题首先可以通过高一年级人数以及总人数算出高一年级所占比例，然后乘以100的容量，即可计算出应从高一年级抽取的人数，最后得出结果。‎ ‎【详解】‎ 高一年级抽取的人数为，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是分层抽样的相关性质，主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，是简单题。‎ ‎3．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】本题首先可以判断“三角形的三条边相等”能否证明出“三角形为等边三角形”，然后判断“三角形为等边三角形”能否证明出“三角形的三条边相等”，最后即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为“三角形的三条边相等”可以证明出“三角形为等边三角形”， “三角形为等边三角形”也可以证明出“三角形的三条边相等”，‎ 所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分条件与必要条件的相关性质，如果“条件”可以证明出“结论”，则“条件”是“结论”的充分条件，如果“结论”可以证明出“条件”，则“条件”是“结论”的必要条件。‎ ‎4．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件，则的对立事件是（ ）‎ A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品 C．至少抽到2件正品 D．至多抽到一件次品 ‎【答案】D ‎【解析】本题首先可以通过题意确定总事件以及事件所包含的所有情况，然后找出总事件中除去事件的其他情况，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有两个，‎ 所以的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有一个，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是对立事件的相关性质，判断一个事件的对立事件时，首先要确定总事件以及题目给出的特殊事件，然后总事件除去特殊事件的部分就是特殊事件的对立事件，“至少有个”的对立事件为“至多有个”。‎ ‎5．如图是一个算法的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为50，则输出的值是（ ）‎ A．30 B．40 C．50 D．60‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题首先要明确题目所给的程序框图中表达的含义是输入的的值与进行比较大小，然后带入，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 题目所给的判断条件是，‎ 因为输入的值为50，，‎ 所以输出的值是30，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是程序框图的相关性质，解题的关键是从程序框图中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据，考查推理能力，是简单题。‎ ‎6．已知命题，；，，若“且”为真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题首先可以根据“且”为真命题得出命题与命题的真假性，然后根据命题与命题的真假性来分别求出命题与命题所对应的实数的取值范围，最后得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为“且”为真命题，所以命题是真命题，命题是真命题 因为且命题是真命题，所以，‎ 因为且命题是真命题，所以，‎ 综上所述，实数的取值范围是，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查逻辑联结词的相关性质，主要考查逻辑联结词中的“且”的相关性质，如果“且”为真命题，则命题是真命题且命题是真命题，是中档题。‎ ‎7．若函数在区间内是减函数，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题首先可以求出函数的导函数，然后根据“函数在区间内是减函数”即可推出“导函数在区间内小于等于0”，最后即可通过计算得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 因为函数在区间内是减函数，‎ 所以导函数在区间内小于等于0，‎ 即，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是导函数的相关性质，主要考查导函数与函数单调性之间的联系，考查函数求导，考查推理能力，是简单题。‎ ‎8．曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据曲线上点的导数值为在点处切线的方程斜率，再由点坐标即可得到切线方程。‎ ‎【详解】‎ 因为 ，所以曲线上点的坐标为 ‎ 因为 ，所以 ‎ 所以切线方程为 ，即 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了求导的基本运算，导数的意义及切线方程的求法，属于基础题。‎ ‎9．如图，圆内切于扇形，，若在扇形内任取一点，则该点不在圆内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设圆半径为 ，因为扇形面积为 ，所以该点不在圆内的概率为 ，选C.‎ 点睛：‎ ‎(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎10．过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同的两点，则的值为（ ）‎ A．2 B．1 C． D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题首先可以通过直线交抛物线于不同的两点确定直线的斜率存在，然后设出直线方程并与抛物线方程联立，求出以及的值，然后通过抛物线的定义将化简，最后得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为直线交抛物线于不同的两点，‎ 所以直线的斜率存在，‎ 设过抛物线的焦点的直线方程为，‎ 由可得，，‎ 因为抛物线的准线方程为，‎ 所以根据抛物线的定义可知，，‎ 所以，综上所述，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的相关性质，主要考查了抛物线的定义、过抛物线焦点的直线与抛物线相交的相关性质，考查了计算能力，是中档题。‎ ‎11．已知椭圆的两个焦点是，过点的直线交椭圆于两点，在中，若有两边之和是8，则第三边的长度为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由椭圆的定义得 ，所以|AB|+|AF2|+|BF2|=12，由此可求出|AB|的长．‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的定义得 ， 两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=12， 又因为在△AF1B中，有两边之和是8， 所以第三边的长度为：12-8=4 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的基本性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与其他曲线的关系．要求学生综合掌握如直线、椭圆、抛物线等圆锥曲线的基本性质．‎ ‎12．某学校在数学联赛的成绩中抽取100名学生的笔试成绩，统计后得到如图所示的分布直方图，这100名学生成绩的中位数估值为（ ）‎ A．80 B．82 C．82.5 D．84‎ ‎【答案】B ‎【解析】中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，，中位数为，故选B.‎ ‎13．秦久韶是我国南宋时期的著名数学家，他在其著作《数书九章》中提出的多项式求值的算法，被称为秦久韶算法，下图为用该算法对某多项式求值的程序框图，执行该程序框图，若输入的，则输出的为（ ）‎ A．1 B．3 C．7 D．15‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题首先要确定输入程序框图的初始值为、、，然后在程序框图中找出运算的关系式，最后通过程序框图运行，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 输入，，，‎ 第一次运算：；‎ 第二次运算：；‎ 第三次运算：；‎ 第四次运算：，此时，‎ 综上所述输出的为15，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的相关性质，主要考查了程序框图的循环结构，考查了推理能力，在计算程序框图时一定要能够准确的找出运算的关系式，是简单题。‎ ‎14．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令函数g（x）=，易得当时，导函数g′（x）>0,根据函数的单调性和函数的奇偶性，判断不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ ‎∵x＞0时，g′（x）= ∴g（x）在（0，+∞）递增，‎ ‎∵f（-x）=f（x），∴g（-x）= -g（x），∴g（x）是奇函数，g（x）在（-∞，0）递增，‎ ‎∵g（2）= ∴0＜x＜2时，g（x）＜0，x＞2时，g（x）＞0，‎ 根据函数的奇偶性，g（-2）= -g（2）=0，-2＜x＜0时，g（x）＞0，x＜-2时，g（x）＜0，,‎ 综上所述，不等式的解集为-2＜x＜0或x＞2‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，解题的关键是构造函数，利用导函数判断函数的单调性，结合奇偶性和零点，判断不等式的取值范围.‎ ‎15．若直线与曲线相切于点，则等于（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求得的导数，由斜率可得b，再由切点满足曲线方程，解方程可得c的值.‎ 详解：的导数为，‎ 直线与曲线相切于点,‎ ‎，解得，‎ 又切点在曲线上，‎ 则有，解得，‎ ‎，‎ 故选：B.‎ 点睛：本题考查导数的运用：求切线以及切线的斜率，注意运用切点既在切线上，也在曲线上，考查方程思想和运算能力，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎16．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是__________．‎ ‎【答案】90.5‎ ‎【解析】本题首先可以通过茎叶图得出8个班参加合唱比赛的得分，然后将得分从小到大排列，最后通过中位数的性质即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 本题一共八个数字，分别是，‎ 故中位数是。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了茎叶图以及中位数的相关性质，能否根据茎叶图确定所有的数据是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题。‎ ‎17．在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1,2,3,4,5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题首先可以写出任意选出2本书的所有可能情况数目，然后写出2本书编号相连的所有可能情况数目，两者相除，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为 共十种，‎ 满足2本书编号相连的所有可能情况为共四种，‎ 故选出的2本书编号相连的概率为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型的相关性质，主要考查了古典概型的概率计算，首先需要找出所有可能的情况事件，然后要找出满足题意的情况事件，是简单题。‎ ‎18．椭圆的焦点坐标为和，则的值为_____．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】本题首先要根据焦点坐标确定椭圆的焦点在轴上以及的值，然后根据椭圆的性质即可计算出的值。‎ ‎【详解】‎ 因为焦点坐标为和，‎ 所以焦点在轴上，，，‎ 所以，解得。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的相关性质，主要考查了椭圆的三者之间的关系以及椭圆的焦点与椭圆的标准方程之间的关系，考查了计算能力，是简单题。‎ ‎19．期末考试结束后，某老师随机抽取了本班五位同学的数学成绩进行统计，五位同学平均每天学习数学的时间（分钟）与数学成绩之间的一组数据如下表所示：‎ 时间（分钟）‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎70‎ ‎90‎ ‎120‎ 数学成绩 ‎35‎ ‎48‎ ‎82‎ ‎92‎ 通过分析，发现数学成绩与学习数学的时间具有线性相关关系，其回归方程为 ‎，则表格中的的值是___．‎ ‎【答案】63‎ ‎【解析】‎ 回归方程过样本中心点，则：，‎ 即：，‎ 解得：.‎ 点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．‎ ‎(2)回归直线方程必过样本点中心．‎ ‎20．若回归直线的斜率估值为1.23，样本中心点为，当时，估计的值为___．‎ ‎【答案】2.54‎ ‎【解析】本题首先可以通过斜率估值为得出，再通过样本中心点为得出以及回归直线方程，最后带入，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为回归直线的斜率估值为1.23，‎ 所以，，‎ 因为样本中心点为，‎ 所以，，，‎ 带入，。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是回归直线的相关性质，主要考查回归直线方程的求解以及用回归直线方程求值，考查计算能力，是简单题。‎ 三、解答题 ‎21．已知，命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题方程 表示双曲线.‎ ‎（1）若命题是真命题，求实数的范围；‎ ‎（2）若命题“或”为真命题，“且”是假命题，求实数的范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】由方程表示焦点在y轴上的椭圆，根据椭圆的几何性质可得，，求解不等式可得答案；由双曲线的几何性质求出为真命题的的范围，结合，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 若命题p是真命题，则，解得；‎ 若命题q为真命题，则，即．‎ 命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假．‎ 当p真q假时，，得；‎ 当p假q真时，，解得或．‎ 实数m的取值范围时．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题的真假判断，考查椭圆与双曲线的性质，是中档题．解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎22．读下列程序：‎ ‎（1）根据程序，画出对应的程序框图；‎ ‎（2）写出该程序表示的函数，并求出当输出的时，输入的的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）根据题目所给程序即可画出程序框图；‎ ‎（2）首先可以根据程序框图得出该程序所表示的函数，然后将带入，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）对应的程序框图如图所示：‎ ‎（2）该程序表示的函数是，‎ 当时，由得， ‎ 当时，由得， ‎ 综上所述，当输出的时，输入的的值是。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的相关性质，主要考查了程序框图的条件结构，考查了函数方程思想，考查了推理能力，是中档题。‎ ‎23．为了了解某城市居民用水量情况，我们抽取了100位居民某年的月均用水量（单位：吨）并对数据进行处理，得到该100位居民月均用水量的频率分布表，并绘制了频率分布直方图（部分数据隐藏）.‎ ‎（1）确定表中的与的值；‎ ‎（2）在上述频率分布直方图中，求从左往右数第4个矩形的高度；‎ ‎（3）在频率分布直方图中画出频率分布折线图.‎ ‎【答案】（1）x=25,y=0.06（2）0.44（3）见解析 ‎【解析】(1)首先可以根据总量为来确定频率与频数之间的关系，然后得出区间内的频数以及区间内的频数，最后利用频数之和为计算出与的值；‎ ‎(2)可根据频率与组距得出第个矩形的高度；‎ ‎(3)取各矩形上边中点连接即可画出频率分布折线图。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为总数是，区间内的频率为，区间内的频率为，‎ 所以区间内的频数为，区间内的频数为， ‎ 则， ；‎ ‎（2）因为左数第个矩形对应的频率为，且表中的数据组距为， ‎ 所以它的高度为：；‎ ‎（3）由频率分布直方图，画出折线图如图所示： ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布表以及频率分布直方图的相关性质，能否理解频率与频数之间的关系是解决本题的关键，考查计算能力，加强了学生在材料中寻找有效信息的能力，是中档题。‎ ‎24．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，并分别记为.‎ ‎（1）若记“”为事件，求事件发生的概率；‎ ‎（2）若记“”为事件，求事件发生的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）首先可以确定骰子抛掷次一共有多少种结果，然后确定满足的有多少种结果，最后即可得出结果。‎ ‎（2）通过确定事件B发生的基本事件的数目即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将一颗质地均匀的骰子抛掷次，它的点数有这种结果，‎ 抛掷第次，它的点数有这种结果，‎ 因为骰子共抛掷次，所以共有种结果， ‎ 事件A发生的基本事件有：共种结果， ‎ 所以事件A发生的概率为；‎ ‎（2）事件B发生的基本事件有：共6种结果，所以事件B发生的概率为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是古典概型概率的求法，解题的关键是正确得到基本事件总数和所求概率的事件包含的基本事件的个数，其中常用的方法是列举法，列举时要完整，属于基础题。‎ ‎25．已知函数为奇函数，曲线在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为-12.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）用列表法求函数在上的单调增区间、极值、最值.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（1）本题首先可以根据函数为奇函数得出的值，再根据导函数的最小值为得出的值，最后根据在点处的切线与直线垂直得出的值，即可得出结果；‎ ‎（2）首先可以对函数进行求导，然后通过列表画出函数在上的变化情况，然后根据表格以及利用导数求函数最值的方法即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为为奇函数，定义域为R，‎ 所以，即， ‎ 又因为的最小值为－12，所以且，‎ 直线的斜率为，所以，‎ 所以，；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 列表如下：‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎10‎ 递减 极小值 递增 ‎18‎ 在上的单调增区间是， ‎ 由，及表中数值，可知 极小值为，无极大值 ‎ ,。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数的相关性质，主要考查函数导数与切线的关系以及利用导数求单调性、极值、最值的方法，考查计算能力，加深了学生对导数的理解，是中档题。‎ ‎26．设抛物线，点， ，过点的直线与交于， 两点．‎ ‎（1）当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎（2）证明： ．‎ ‎【答案】(1) y=或．‎ ‎ (2)见解析.‎ ‎【解析】分析：(1)首先根据与轴垂直，且过点，求得直线l的方程为x=1，代入抛物线方程求得点M的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；‎ ‎(2)分直线l与x轴垂直、l与x轴不垂直两种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.‎ 详解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．‎ 所以直线BM的方程为y=或．‎ ‎（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．‎ 当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2‎ ‎），则x1>0，x2>0．‎ 由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．‎ 直线BM，BN的斜率之和为 ‎．①‎ 将， 及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得 ‎．‎ 所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN．‎ 综上，∠ABM=∠ABN．‎ 点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.‎