四川省泸县第一中学2020届高三下学期第一次在线月考数学（理）试卷

四川省泸县第一中学2020届高三下学期第一次在线月考数学（理）试卷

‎2020年春四川省泸县第一中学高三第一学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝ ‎ A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}‎ ‎2．若，均为实数，且，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知四边形是平行四边形，点为边的中点，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，a4=2，则S6= ‎ A．0 B．‎10 ‎C．15 D．30‎ ‎5．函数的图象大致为 ‎ A．B．C．D．‎ ‎6．已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知角的终边经过点，则 A． B． C． D．‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，则输出的值为 ‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎9．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到、、三个班级中，要求 每个班级至少分到一人，则甲被分到班的分法种数为 A． B．‎ C． D．‎ ‎10．将函数的图像向右平移个周期后，所得图 像对应的函数为，则函数的单调递增区间为 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．若直线是曲线的一条切线，则实数 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则、、的大小关系是 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知实数满足条件，则的最大值是__________．‎ ‎14．展开式中的系数为__________.‎ ‎15．等比数列中，,函数，则__________．‎ ‎16．三棱锥中，底面是边长为的等边三角形， 面， ,则三棱锥外接球的表面积是_____________ .‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）在中，角所对的边分别是满足：，且成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小；‎ ‎(Ⅱ)若,判断三角形的形状.‎ ‎18．（12分）已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示.‎ ‎（Ⅰ）试估计该产品收益率的中位数；‎ ‎（II）若该产品的售价（元）与销量（万份）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组与的对应数据：‎ 售价（元）‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎38‎ ‎45‎ ‎52‎ 销量（万份）‎ ‎7.5‎ ‎7.1‎ ‎6.0‎ ‎5.6‎ ‎4.8‎ 根据表中数据算出关于的线性回归方程为，求的值；‎ ‎（III）若从表中五组销量数据中随机抽取两组，记其中销量超过6万份的组数为，求的分布列及期望.‎ ‎19．（12分）四棱锥中，底面为菱形，,为等边三角形 ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证： ;‎ ‎（II）若，求二面角的余弦值.‎ ‎20．（12分）已知椭圆：的离心率为，焦距为．‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（II）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点，证明：直线，，的斜率依次成等比数列．‎ ‎21．（12分）设函数，‎ ‎(I)当时，求函数的单调区间；‎ ‎(II)若在内有极值点，当，，求证：‎ ‎.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的的直角坐标方程；‎ ‎（II）若与交于两点，点的极坐标为，求的值.‎ ‎23．（10分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求的最大值．‎ ‎2020年春四川省泸县第一中学高三第一学月考试 理科数学参考答案 ‎1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．B 8．C 9．B 10．B 11．B 12．A ‎13．7 14．210 15． 16．‎ ‎17：(Ⅰ),‎ 因为 ‎,‎ 又,‎ 而成等比数列，所以不是最大，‎ 故为锐角，所以.‎ ‎(Ⅱ)由,则,‎ 利用正弦定理可得,‎ 又因为,所以,‎ 所以三角形是等边三角形.‎ ‎18．（1）依题意，设中位数为，，解得.‎ ‎（2），，‎ ‎∴.‎ ‎（3）的可能取值为0,1,2，故 ，，，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 故.‎ ‎19：（1）证明：取中点，连结，‎ ‎∵为菱形，‎ ‎∴ 为等边三角形 ‎ ∴ ‎ ‎∵ 为等边三角形 ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎(2) ∵为等边三角形，边长为2‎ ‎ ∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∵ ‎ ‎ ∴ ‎ 如图，以，，为，，轴建立空间直角坐标系 则 ‎ 设平面的法向量为，则,‎ ‎ 取，则 ‎ 设平面的法向量为 ‎,‎ 取，则设二面角的平面角为 ‎∴，则二面角的余弦值等于0 ‎ ‎20.（1）由题意可得 ，解得，又，‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎（2）证明：设直线的方程为，，,‎ 由，消去，得 ‎ 则，且， ‎ 故 ‎ ‎ ‎ 即直线，，的斜率依次成等比数列.‎ ‎21：(1)函数的定义域为，当时，，‎ 令：，得：或，所以函数单调增区间为：，.‎ ‎(2)证明：，‎ 令：，‎ 所以：，，若在内有极值点，‎ 不妨设，则，且，‎ 由得：或，‎ 由得：或，‎ 所以在递增，递减；递减，递增，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 所以：‎ ‎，.‎ 设：，，则.‎ 所以：是增函数，所以.‎ 又：，‎ 所以：.‎ ‎22．（1）曲线的参数方程为（为参数），两式相加消去t可得普通方程为；又由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，‎ 曲线的极坐标方程为转化为直角坐标方程为 ‎（2）把曲线的参数方程为（为参数），代入得，‎ 设，是对应的参数，则，‎ 所以 ‎ ‎23．（Ⅰ）①当时， ‎ ‎②当时， ‎ ‎③当时， ‎ 综上：的解集为 ‎（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知 即 又且 则，设 ‎ ‎ 同理：，‎ ‎，即 当且仅当时取得最大值 法二：由（Ⅰ）可知 即 又且 当且仅当时取得最大值 法三：由（Ⅰ）可知 即 ‎ ‎ 由柯西不等式可知：‎ 即：‎ 当且仅当即时，取得最大值