数学文卷·2017湖北省襄阳市第五中学高三第一次适应性考试（2017

数学文卷·2017湖北省襄阳市第五中学高三第一次适应性考试（2017

‎2017届襄阳五中高三年级第一次适应性考试 数学（文科） 试 题 命题人：程玲 、张华齐 审题人：程玲 考试时间：2017年5月3日 满分：150分 A、 选择题 A、 已知集合，，全集，则等于 A. B. C. D. ‎ B、 复数，若，则实数的值是（ ） A. B. C. D. ‎ C、 在中， ，给出满足条件，就能得到动点的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：‎ 条件 方程 ‎①周长为 ‎②面积为 ‎③中， ‎ 则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ D、 已知中， 分别为角所对的边，且， ， ，则的面积为（ ） A. B. C. D. ‎ E、 小明订了一份报纸，送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到，小明离开家的时间在早上7：00—8：00之间，则他在离开家之前能拿到报纸的概率是（ ） A. B. C. D. ‎ F、 过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图 如图所示，则原圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. ‎ G、 如图，已知长方体的体积为6， 的正切值为，当的值最小时，长方体外接球的表面积为( ) A. B. C. D. ‎ A、 我国南宋数学家秦九韶（约公元1202—1261年）给出了求次多项式当时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”．例如，可将3次多项式改写为： 之后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值． A. B. C. D. ‎ B、 已知双曲线右焦点为,为双曲线左支上一点，点,则周长的最小值为（ ） A. B. C. D.‎ C、 数列，满足，且，是函数的极值点，则的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5‎ D、 将函数的图象向左平移个单位，得函数的图象(如图) ，点分别是函数图象上轴两侧相邻的最高点和最低点，设，则的值为（ ） A． B. C. D. ‎ E、 若函数的图象上存在两个点关于原点对称，则对称点为的“孪生点对”，点对与可看作同一个“孪生点对”，若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为（ ） A. B. C. 0或4 D. ‎ A、 填空题 F、 向量，，则向量在向量方向上的投影为__________．‎ G、 设实数满足，则的取值范围为 ．‎ H、 祖暅（公元前5-6世纪)，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家. 他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异. ”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上. 以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明知总成立. 据此，由短轴长为，长轴为的椭圆绕长轴旋转所得的椭球体的体积是_________． ‎ A、 已知圆：和两点，，若圆上不存在点，使得为直角，则实数的取值范围是 ．‎ A、 解答题 B、 ‎（12分）在等差数列中，，.数列的前项和为，且. （Ⅰ）求数列及的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和. ‎ C、 ‎（12分）为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了 7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分 布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模 型①：与模型②：作为产卵数和温度的 回归方程来建立两个变量之间的关系.‎ 温度 ‎20‎ ‎22‎ ‎24‎ ‎26‎ ‎28‎ ‎30‎ ‎32‎ 产卵数/个 ‎6‎ ‎10‎ ‎21‎ ‎24‎ ‎64‎ ‎113‎ ‎322‎ ‎400‎ ‎484‎ ‎576‎ ‎676‎ ‎784‎ ‎900‎ ‎1024‎ ‎1.79‎ ‎2.30‎ ‎3.04‎ ‎3.18‎ ‎4.16‎ ‎4.73‎ ‎5.77‎ 参考数据：，，，，，‎ ‎，，‎ 其中， ， ， ，‎ 附：对于一组数据，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， .‎ ‎（Ⅰ）在答题卡中分别画出关于的散点图、关于的散点图，根据散点图判断哪一个模 型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.‎ ‎（Ⅱ）根据表中数据，分别建立两个模型下建立关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据： ， ， ）‎ ‎（Ⅲ）若模型①、②的相关指数分别为， ，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.‎ A、 ‎（12分）如图,在四棱锥中，底面是正方形， 底面， ， 分别是的中点. （Ⅰ）在图中画出过点的平面，使得平面（须说明画法，并给予证明）； （Ⅱ）若过点的平面平面且截四棱锥所得截面的面积为，求四棱锥的体积.‎ B、 ‎（12分）如图，抛物线： 与圆： 相交于， 两点，且点的横坐标为.过劣弧上动点作圆的切线交抛物线于， 两点，分别以， 为切点作抛物线的切线， ， 与相交于点.（注：抛物线上异于原点的某点处的切线方程为：） （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求动点的轨迹方程.‎ C、 ‎（12分）已知函数，其中. (Ⅰ) 当a＝－1时，求证： ； (Ⅱ) 对任意，存在，使成立，求a的取值范围. （其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…）‎ D、 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）． （Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为，判断点与曲线的位置关系； （Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．‎ E、 选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数，且恒成立. （Ⅰ）求实数的最大值； （Ⅱ）当取最大时，求不等式的解集.‎ 第一次适应性考试数学（文）参考答案 DDACD DCAAC DD ‎13.-3 14． 15． 16．（0，4）∪（6，+∞）‎ ‎17．（Ⅰ），；.....................................................................（6分）‎ ‎（II）.........................................................................（12分）‎ ‎18．（Ⅰ）画出关于的散点图，如图： 关于的散点图，如图．‎ 根据散点图可判断模型②更适宜作为回归方程类型．........................（4分）‎ ‎（II）对于模型①：设，则，‎ 其中， ，‎ 所以，‎ 当时，估计温度为.‎ 对于模型②： ，‎ 其中， ．‎ 所以， ..................................................................（9分）‎ 当时，估计温度为．‎ ‎（Ⅲ）因为，所以模型②的拟合效果更好． ..................（12分） ‎ ‎19．（Ⅰ）如图所示，分别取的中点，连接，因为， ，所以，即四点共面，则平面为所求平面，因为， 面， 面，所以面.‎ 同理可得： 面，且，所以面.............（6分）‎ ‎（II）设，则， ，由（1）知截面面积为梯形的面积，∵面， ，,又，，又，，所以梯形为直角梯形.在中，，，又，∴，∴，∴. .................................................（12分）‎ ‎20．（Ⅰ）由点的横坐标为，可得点的坐标为，‎ 代入，解得 .................................................（2分） ‎ ‎（II）设点，，；所以切线、方程为：，联立可得点坐标满足，又与圆相切于点，所以方程为，其中， 满足， ，联立直线与抛物线，得，所以可知坐标满足，所以，代入得，又，所以 动点的轨迹方程为， ．.............................（12分）‎ ‎21．（Ⅰ）当a＝－1时， （x＞0），‎ 则，令，得．‎ 当时， ， 单调递增；‎ 当时， ， 单调递减．‎ 故当时，函数取得极大值，也为最大值，所以，‎ 所以， ，得证． .................................................（3分）‎ ‎（II）原题即对任意，存在，使成立，‎ 只需． ‎ 设，则，令，则对于恒成立，所以为上的增函数，‎ 于是，即对于恒成立，‎ 所以为上的增函数，‎ 则． .................................................（7分）‎ 令，则，‎ 当≥0时， 为的减函数，且其值域为R，符合题意．‎ 当＜0时， ，由得，‎ 由得，则p(x)在上为增函数；由得，则p(x)在上为减函数，所以，‎ 从而由，解得．.................................................（11分）‎ 综上所述，的取值范围是. ................................................（12分）‎ ‎22.（Ⅰ）把极坐标系下的点化为直角坐标，得，曲线的普通方程为，把代入得，所以在曲线内．..................................（4分）‎ ‎（II）因为点在曲线上，故可设点的坐标为，‎ 从而点到直线的距离为 ‎（其中），‎ 由此得时，取得最小值，且最小值为． .............（10分）‎ ⑴ ‎（Ⅰ）因为，且恒成立，‎ 所以只需，又因为 ，当且仅当且时，等号成立.‎ 所以，即的最大值为. .................................（5分）‎ ‎（II）当的最大值为时原式即为，‎ 当时，可得，解得；‎ 当时，可得，无解；‎ 当时，可得，可得；‎ 综上可得，原不等式的解集是 ....................................（10分）‎