数学（文）卷·2018届山东省实验中学高三第一次模拟考试（2018

数学（文）卷·2018届山东省实验中学高三第一次模拟考试（2018

山东省实验中学 2015 级第一次模拟考试 数学试题(理科) 2018.04 说明：本试卷满分 150 分．分为第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷 (非选择题)两部分，第 I 卷为 第 l 页至第 3 页，第Ⅱ卷为第 4 页至第 6 页．试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到 答题卡规定位置上。书写在试题上的答案无效．考试时间 120 分钟． 第 I 卷(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．) 1．设集合     2 2log 2 , 3 2 0 =AA x y x B x x x C B       ，则 A． 1， B．  1， C． 2, D． 2, 2．在复平面内，复数 2 3 1 2 i zi   对应的点的坐标为 2, 2 ，则 z 在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设    ,1 1, 2 ,x R a x b a b a b          ，向量 且 ，则 A． 5 B． 10 C．2 D．10 4．已知双曲线  2 2 1my x m R   与抛物线 2 8x y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线 方程为 A． 1 3y x  B． 3y x  C． 3y x  D． 3 3y x  5．宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长 五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于 其思想的一个程序框图，若输入的 a，b 分别为 5,2，则输出的 n= A．2 B．3 C．4 D．5 6.已知        0.1 0.8 4 1log , log 3 , log 3 , 3f x a f b f c fx     ，则 A. b a c  B. a b c  C. c b a  D. c a b  7.某几何体的三视图如图所示，则它的最长棱长是 A.2 B. 5 C. 2 2 D.3 8.将函数   2cos cos4 4g x x x             的图象上各点的横坐标伸长原来的 2 倍（纵坐标 不变）后得到  h x 的图象，设    21 4f x x h x  ，则  f x 的图象大致为 9.已知数列 na 的通项公式是     1 2 20191 3 2n na n a a a    ，则 等于 A.3027 B. 3027 C.3028 D. 3028 10.已知三棱锥 P ABC 的各顶点都在同一球面上，且 PA  平面 ABC，若该棱锥的体积为 2 3 , 2, 1, 603 AB AC BAC     ，则此球的表面积等于 A. 5 B. 20 C. 8 D. 16 11.已知    ,f x g x 都是定义在 R 上的函数，          0,g x f x g x f x g x  ，且              1 1 100, 1 , 1 1 3 x f ff x a g x a a g g      且 ，若数列     f n g n        的前 n 项和大于 363，则 n 的最小值为 A.4 B.5 C.6 D.7 12. 已知 A,B 是过抛物线  2 2 0y px p  焦点 F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点， 且满足 23 , 3OABAB FB S AB AB   ，则 的值为 A. 9 2 B. 2 9 C.4 D.2 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知各项均为正数的等比数列 na 满足 6 6 5 4 4 6 , aa a a a   则 的值为_________. 14.已知实数 ,x y 满足约束条件 5 3 2 0, 2 1 0 x y x y x y          则 3z x y  的最小值为__________. 15.已知函数    21 , 01f x x  在 ，上任取一个实数 a，在 1 2， 上任取一个实数 b，则满足    f a f b 的概率为____________. 16.已知函数  f x 是定义在 R 上的偶函数，且      2 2 2,0f x f x x     ，当 时，   3f x x  .则关于 x 的方程    8 cos 152f x x 在 ， 上的所有实数解之和为_______. 三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：60 分. 17.（本小题满分 12 分） 在 , ,ABC A B C ，角 的对角分别为 , , cos cos 3cosb ca b c C B Ba a  且 . （I）求sin B ； （II）若 D 为 AC 边的中点，且 1,BD ABC 求 面积的最大值. 18. （本小题满分 12 分） 某班级数学兴趣小组为了研究人脚的大小与身高的关系，随机抽测了 20 位同学，得到如下 数据： （I）若“身高大于 175 厘米”为“高个”，“身高小于等于 175 厘米”的为“非高个”；“脚 长大于 42 码”为“大码”，“脚长小于等于 42 码”的为“非大码”。请根据上表数据完成 2 ×2 列联表，求出 2K 的值（结果精确到小数点后三位有效数字），并说明有多大的可靠性认 为“脚的大小与身高之间有关系”； （II）请根据“序号为 5 的倍数”的几组数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a  . 附表及公式：             2 2 1 2 1 = ; ; n i i i n i i x x y yn ad bcK b a y bxa b c d a c b d x x                19. （本小题满分 12 分）已知四棱锥 P ABCD 中，底面是以 O 为中心的菱形， PO  底 面 ABCD， 2, ,3AB BAD    M 为 BC 上一点，且 1 2BM  . 证明：（I） BC  平面 POM； （II）若 1OP  ，求点 M 到平面 PAD 的距离. 20. （本小题满分 12 分）已知椭圆   2 2 2: 1 2 04 x yC bb     的左，右焦点分别为 1 2F F、 ， 过焦点且垂直于长轴的弦长为 1.过左焦点 1F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点. （I）求椭圆的标准方程； （II）求三角形 2ABF 面积的最大值. 21. （本小题满分 12 分）已知函数    2 lnln , xf x x x g x x   ，（e 为自然对数的底数， 2.71828e   ）. （I）求函数  y f x 的极值； （II）当 1 3 x e  时，方程    f x g x a  有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分. 22. [选修 4-4，坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的倾斜角 45 ，且经过点  1, 1P  ，以坐标系 xOy 的原 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为 4cos  ，直线 l 与曲线 E 相交于 A,B 两点. （I）求直线 l 的一般方程和曲线 E 的标准方程； （II）求 1 1 PA PB  的值. 23. [选修 4-5，不等式选讲]（10 分） 已知定义在 R 上的函数    2 4f x x m x m N f x    ，且 恒成立. （I）解关于 x 的不等式   1 3f x x  ； （II）若         4 10,1 0,1 3 18f f          ， ， ，求证： . 绝密★启用前 山东省实验中学 2015 级第一次模拟考试 数学答案(文科) 2018．04 一．选择题 BDBCC ADADB CA 二.填空题 13．9 14. 15. 16. 12 三解答题 17. 【解析】（I） ， 由正弦定理得 ， 即 ． （II）由 ，得 ， 即 , ，即 又 ， （当且仅当 时，等号成立）， 的面积 ． 18. 解（I）2×2 列联表： 高 个 非高个 合计 大脚 5 2 7 非大脚 1 12 13 合计 6 14 20 ， 所以，有 ﹪的把握认为，人的脚的大小与身高之间有关系。………6 分 （Ⅱ）“序号为 5 的倍数”的数据有 4 组： 则 所以 从而 关于 的 线 性 回 归 方 程 是 … … … 12 分 19. 证明 法一： 取 BC 的中点 E，连接 OD、DE， 因为四边形 ABCD 为菱形，O 为菱形中心，且∠BAD＝π 3 所以 为等边三角形， 又因为 E 为 BC 中点，所以 因为在 中，O,M 为中点，所以 因为 PO⊥底面 ABCD， ,所以 又因为 , ，所以 ………6 分 法二：如图，连接 OB，因为四边形 ABCD 为菱形，O 为菱形中心，所以 AO⊥ OB. 因为∠BAD＝π 3 ，故 OB＝AB·sin∠OAB＝2sin π 6 ＝1. 又因为 BM＝1 2，且∠OBM＝π 3 ， 在△OBM 中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM＝12＋1 2－2×1×1 2×cos π 3 ＝ 3 4，所以 OB2＝OM2＋BM2，故 OM⊥BM. 又 PO⊥底面 ABCD，BC ⊂ 平面 ABCD，所以 PO⊥BC. 又 OM ⊂ 平面 POM，PO ⊂ 平面 POM，OM∩PO＝O， 所以 BC⊥平面 POM. ………6 分 （2）因为底面是以 O 为中心的菱形，AB＝2，∠BAD＝π 3 ，所以 因为 PO⊥底面 ABCD，PO=1，所以 因为 PO⊥底面 ABCD， ，所以 在 , 在 在 因为 ，所以 ，即 所 以 M 到 面 PAD 的 距 离 为 。 … … … 12 分 20. 解：（1） ，得 ， 所求椭圆的标准方程是 .-----------------------------------4 分 (2）设直线 ，设 消去 x 得 ， ， ---------6 分 = ----------9 分 令 ， ， 所以当 ， 的最大值为 3.----------------------------------12 分 另解： ----------------------8 分 点 到直线 的距离 根据对称性， = = ----------10 分 令 ， ， 所以当 ， 的最大值为 3.----------------------------------12 分 21.解：(1) 定义域为 ， ， 即函数在 单调递减，在 单调递增；（最好列表） 所以 的极小值为 ，无极大值....................5 分 (2)考察函数 和 ， 令 ， ，..........7 分 令 ， 所以，当 时， ，当 时， 即 在 上单调递减；在 上单调递增，..........10 分 又 ， ，且 ； 所以 ..........12 分 22．解（1）由题意可知直线 为 ，即 曲 线 ： ， 所 以 ， 即 ， 所 以 标 准 方 程 为 -------------------------------5 分 （2）根据题意，直线 的参数方程是 ，将其代入曲线 的方程，可得 ，所以 ， 所以 -------------------------------10 分 23．解：（1）因为 ，所以 ， ，又因为 所以 , --------------------------2 分 , 所以当 , 当 , 当 , 综上可得，不等式的解集为 , --------------------------5 分 （2）因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 . -------------------------10 分