数学文卷·2018届吉林省长春市五县高二上学期期末考试（2017-01）

数学文卷·2018届吉林省长春市五县高二上学期期末考试（2017-01）

‎ ‎ 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.双曲线的实轴长是（ ）‎ A．2 B． C． D．8‎ ‎2.在公差为的等差数列中，“”是“是递增数列”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔为（ ）‎ A．50 B．60 C．30 D．40 ‎ ‎4.已知抛物线经过点，则它的准线方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（ ）‎ A．3 B．2.5 C.3.5 D．2.75‎ ‎6.某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（ ）‎ A．5 B．6 C.7 D．8‎ ‎7.已知椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.在区间上任取一个数，则函数的值不小于0的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.某班名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则等于（ ）‎ A．45 B．48 C.50 D．55‎ ‎10.函数在上的最小值为（ ）‎ A．-2 B．0 C. D．1‎ ‎11.已知命题：直线与直线之间的距离不大于1，命题：椭圆与双曲线有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则 ．‎ ‎14.已知函数，则的极大值为 ．‎ ‎15.在区间上任取一个数，则函数的值不小于0的概率为 ．‎ ‎16.已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线和它的准线分别交于点和，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出直线的普通方程及圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）点是直线上的点，求点的坐标，使到圆心的距离最小.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知：方程有两个不等的正根；：方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎（1）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价（百元）与日销售量（件）之间有如下关系：‎ ‎（1）求关于的回归直线方程；‎ ‎（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？‎ 相关公式：，.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用表示.‎ ‎（1）若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求及乙组同学投篮命中次数的方差；‎ ‎（2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆：，点.‎ ‎（1）设是椭圆上任意的一点，是点关于坐标原点的对称点，记，求的取值范围；‎ ‎（2）已知点，，是椭圆上在第一象限内的点，记为经过原点与点的直线，为截直线所得的线段长，试将表示成直线的斜率的函数.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（1）当时，求曲线的点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，若函数在区间上的最小值为-4，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1. 因为，所以，则实轴长.‎ ‎2. 若，则，，所以，是递增数列；若是递增数列，则，，推不出.‎ ‎3. 由于，即分段的间隔.‎ ‎4. 把点的坐标代入抛物线的方程得，解得，所以它的准线方程为.‎ ‎5. 设这100个成绩的平均数记为，则.‎ ‎6. 男员工应抽取的人数为.‎ ‎7. 设焦距为，则有，解得，所以椭圆.‎ ‎8. 当时，.当，即时，则所求概率为.‎ ‎9. ，由，得.‎ ‎10. ，函数是在上的增函数，即.‎ ‎11. 对于命题，直线与直线的距离，所以命题为假命题，于是为真命题；‎ 对于命题，椭圆与双曲线有相同的焦点，故为真命题，‎ 从而为真命题.‎ ‎12. 由已知，，又为等边三角形，所以 ‎，所以.在中，，，，，由余弦定理得，所以，‎ ‎，所以.‎ 二、填空题 ‎13.3 由已知，，则，所以，解得. ‎ ‎14. 因为，所以.‎ 由，得；由，得或.‎ 因此，的极大值为. ‎ ‎15. 当时，.当，即时，则所求概率为. ‎ ‎16. 如图所示，由抛物线定义知，‎ 所以.‎ 由于，则，‎ 则，即.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由消去参数，得直线的普通方程为，‎ 由得，，即圆的直角坐标方程为.‎ ‎（2），，，‎ 时最小，此时.‎ ‎18.解：（1）由已知方程表示焦点在轴上的双曲线，‎ 所以，解得，即.‎ ‎（2）若方程有两个不等的正根，‎ 则解得，即.‎ 当为假，为真时，，解得.‎ 综上，或.‎ ‎19.解：（1）因为，，‎ 所以，，‎ ‎，‎ 于是得到关于的回归直线方程.‎ ‎（2）销售价为时的利润为，‎ 当时，日利润最大.‎ ‎20.（1）解：依题意得：，解得，，‎ ‎.‎ ‎（2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为，他们的命中次数分别为9，8，7.‎ 乙组投篮命中次数低于10次的同学为，他们的命中次数分别为6，8，8，9.‎ 依题意，不同的选取方法有：‎ 共12种.‎ 设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件，则中恰含有共3种.‎ ‎.‎ ‎21.解：（1）设，则，‎ 所以，又，‎ 所以，又，所以.‎ ‎（2）因为是椭圆上在第一象限内的点，则的斜率，且.‎ 当时，截直线所得的线段的两个端点分别是直线与直线的交点，由已知，，‎ 联立解得，联立解得，‎ 于是；‎ 当时，截直线所得的线段的两个端点分别是直线与直线 的交点，由已知，‎ 联立解得，‎ 于是.‎ 综上所述，.‎ ‎22.解：（1）当时，，‎ ‎，，.‎ 切线方程为，即.‎ ‎（2）函数的定义域为，‎ 当时，，‎ 令得或，‎ ‎①当，即时，在上递增，‎ 在上的最小值为，符合题意；‎ ‎②当，即时，在上递减，在上递增，‎ 在上最小值为，不合题意；‎ ‎③当，即时，在上递减，‎ 在上最小值为，不合题意.‎ 综上，的取值范围是.‎