数学卷·2018届吉林省实验中学高二上学期期中考试文数试题+（解析版）

数学卷·2018届吉林省实验中学高二上学期期中考试文数试题+（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.命题“对任意，都有”的否定为（ ）‎ ‎ A．对任意，都有 B．不存在，使得 ‎ C．存在使得 D．存在使得 ‎【答案】C 考点：全称命题与存在性命题的关系.‎ ‎2.命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ ‎ A．若，则或 B．若，则 ‎ C．若或，则 D．若或，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，根据逆否命题的概念，可得命题“若，则”的逆否命题是“若或，则”，故选D．‎ 考点：四种命题.‎ ‎3.已知条件，条件，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，当，可得，即成立，而，如时，不成立，所以是的必要不充分条件，故选B.‎ 考点：充要条件的判定.‎ ‎4.抛物线的准线方程是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D 考点：抛物线的几何性质.‎ ‎5.已知命题若，则；命题若，则.在命题①；②；‎ ‎③；④中真命题的序号是（ ）‎ A．①③ B．①④ C. ②③ D．②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，根据不等式的性质可知命题若，则是正确的；命题若，则为假命题，所以和是真命题，故选C.‎ 考点：复合命题的真假判定.‎ ‎6.已知为双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）‎ A． B． C. 3 ‎ ‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，双曲线的方程可化为，则，一条渐近线的方程为 ‎，所以焦点到渐近线的距离为，故选A.‎ 考点：双曲线的几何性质.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程、焦点坐标、双曲线的渐近线的方程，以及点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据双曲线的标准方程，正确求解焦点坐标和渐近线方程是解得关键，属于基础题.‎ ‎7.过点且与有相同渐近线的双曲线方程是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A 考点：双曲线的标准方程.‎ ‎8.已知椭圆的离心率，则的值为（ ）‎ A．3 B．或 C. D．或3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：当时，，解得，当时，，解得，故选D.‎ 考点：椭圆的几何性质.‎ ‎9.若曲线在点处的切线方程是，则（ ）‎ A．， B．，‎ C. ， D．，‎ ‎【答案】A 考点：曲线在某点处的切线方程.‎ ‎10.在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以椭圆的焦点在轴上，可排除C和D选项，整理抛物线的方程得，因为，所以，所以抛物线的开口向左，焦点在轴上，故选A.‎ 考点：曲线与方程.‎ ‎11.已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的 距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：抛物线的应用.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了抛物线的应用，其中解答中涉及到抛物线的标准方程及其简单的几何性质、抛物线的定义、及三点共线的应用等知识但的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了学生的转化与化归思想、数形结合数学思想的应用，试题基础性强，属于中档试题.‎ ‎12.已知为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，‎ 则的离心率为（ ）‎ A． B．2 C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设双曲线的方程为，如图所示，,过点作轴，垂足为，则，在中，，即有，所以点的坐标为，代入双曲线的方程得，即为，即，所以，故选D.‎ 考点：双曲线的几何性质.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程、双曲线的离心率的公式、等腰三角形的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中把点的坐标代入双曲线的方程，求得的关系式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.点是点在轴上的射影，则点到原点的距离为________.‎ ‎【答案】‎ 考点：空间直角坐标系.‎ ‎14.已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为_____________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，双曲线的渐近线方程为，当双曲线的焦点在轴上时，此时，所以，当双曲线的焦点在轴上时，此时，所以.‎ 考点：双曲线的几何性质.‎ ‎15.椭圆和双曲线共同焦点为，若是两曲线的一个交点，则 的值为_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由椭圆和双曲线共同焦点，联立椭圆方程和双曲线的方程可得第一象限的点，则，所以 ‎.‎ 考点：椭圆与双曲线的几何性质.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了椭圆与双曲线的几何性质问题，其中解答中涉及到向量坐标表示、向量的数量积的坐标运算、椭圆与双曲线的标准方程等知识点的综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中联立方程组，求得点的坐标是解答问题的关键.‎ ‎16.以下四个关于圆锥曲线的命题中 ‎①设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；‎ ‎②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎③设定圆上一定点作圆的动点弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为 椭圆；‎ ‎④过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有3条；‎ 其中真命题的序号为_________________.（写出所有真命题的序号）‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据双曲线的定义，设为两个定义，为非零常数，当时，则动点的轨迹为双曲线，所以①不正确；解方程可得两根，因此可以作为椭圆的离心率，可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，所以②是正确的；过定圆上一定点作圆的动弦为坐标原点，若，可得点为弦的中点，由垂径定理可得，因此动点的轨迹为圆，所以③不正确；④中，当直线的斜率不存在时，直线的方程为与抛物线的方程联立求解，此时直线与抛物线只有一个交点，当直线的斜率存在时，设直线方程，与抛物线方程联立得，当时，代入抛物线求得，此时直线与抛物线有一个交点，当，要使直线与抛物线只有一个交点需，求得，综合可知要使直线与抛物线仅有一个公共点，所以这样的直线共有条，所以是正确的，故选②④.‎ 考点：命题的真假判定.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到双曲线的定义、向量的运算、椭圆与双曲线的几何性质、轨迹方程的判断、直线与抛物线的位置关系等知识点的综合考查.着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论的数学思想的应用，其中认真审题、自习解答是解答的关键，属于中档试题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知命题“，”，命题“，”‎ ‎.若命题“”‎ 是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】或．‎ 考点：复合命题的真假判定及应用.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点.‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）求双曲线的离心率及渐近线方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意知双曲线焦点为，设出双曲线的方程，代入点的坐标，即可求解双曲线的标准方程；（2）由（1）得，，根据离心率的公式和渐近线方程形式，即可求解双曲线的离心率及渐近线方程.‎ 考点：双曲线的标准方程及其简单的几何性质.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆及.‎ ‎（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？‎ ‎（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）把直线代入得，由，即可求解实数的取值范围；（2）设直线与椭圆交于两点，，从而可求得的值，得到直线的方程.‎ 试题解析：（1）把直线代入得 ‎，①………………1分 ‎∴，‎ ‎.………………2分 考点：直线与圆锥曲线的位置及其综合应用.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，正三棱柱中，，，为的中点，为边上的动点.‎ ‎（1）当点为的中点时，证明平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连结，在中根据中位线，得，结合线面平行的判定定理，得平面；（2）过点作于，结合，且 ‎，得三棱锥的高，结合的面积和锥体的体积公式，即可求得三棱锥的体积.‎ ‎（2）由，得.………………7分 过点作于，‎ 则，且.∵平面，‎ ‎∴平面，………………9分 又∵，∴.………………10分 ‎∴.………………12分 考点：直线与平面平行的判定；几何体的体积的计算.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线过点，且焦点为，直线与抛物线相交于两点.‎ ‎（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；‎ ‎（2）若直线经过抛物线的焦点，当线段的长等于5时，求直线方程.‎ ‎（3）若，证明直线必过一定点，并求出该定点.‎ ‎【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析，．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由，得，抛物线的方程为，进而求解抛物线的准线方程；（2）若直线经过焦点，则直线的方程为，即可求解和，再由，即可求解该直线方程；（3）设直线的方程为代入，得，设，则，，再利用，求得，即可判定直线过定点.‎ ‎（3）设直线的方程为代入，得.‎ 设，，‎ 则，.‎ ‎，‎ ‎∴，直线必过一定点.‎ 考点：抛物线的标准方程及其简单的几何性质；直线与抛物线的位置关系.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答总涉及到向量的运算和直线的方程，此类问题的解答中把直线的方程代入圆锥曲线的方程，利用方程的根和系数的关系、韦达定理是解答的关键，着重考查了学生推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知分别为椭圆的上、下焦点，是抛物线的焦点，点 是与在第二象限的交点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）与圆相切的直线交椭圆于，若椭圆上一点满足 ‎，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）且，且.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用抛物线的方程和定义，即可求出点的坐标，再利用椭圆的定义即可求出椭圆的方程；（2）根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离定于半径，可得，联立直线与椭圆方程，结合椭圆上一点满足，可得的表达式，进而求出实数的取值范围.‎ 从而椭圆的方程为.………………4分 ‎（2）设，，，则由知，‎ ‎，，且，………………①‎ 又直线与圆相切，所以有，………………5分 考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题，其中解答中涉及到圆锥曲线的定义和性质、向量相等，直线与圆锥曲线的相交问题等知识点的综合考查，此类问题解答中把直线的方程和圆锥曲线的方程联立，利用方程的根和系数的关系是解答的关键，着重考查了学生推理与运算能力，同时助于分类讨论思想的应用，试题有一定的难度，属于难题.‎ ‎ ‎