2017-2018学年湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中、江夏一中高二上学期12月联考数学（理）试题

2017-2018学年湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中、江夏一中高二上学期12月联考数学（理）试题

‎2017—2018学年度上学期汉阳一中、江夏一中12月联考 高二数学试题（理科）‎ 考试时间：2017年12月21日上午8﹕00—10﹕00 试卷满分：150分 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）‎ ‎1.下列问题可以设计成循环语句计算的有 ‎ ‎① 求的和； ② 比较两个数的大小；‎ ‎③ 对于分段函数，要求输入自变量，输出函数值； ④ 求平方值小于的最大整数．‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎2. 若将两个数交换，使，下面语句正确的一组是 A． B． C． D．‎ ‎3. 点在椭圆的内部，则的取值范围是 A. B. 或 ‎ C. D. ‎ ‎4. 抛物线的焦点坐标是 A． B． C． D．‎ ‎5. 如图所示的程序框图中，若输出的值是，则输入的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎6. 如图所示的程序框图中，若输入，则输出的 A． B． C． D．‎ ‎7. 已知双曲线与直线有交点，则双曲线离心率的 取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎8. 用秦九昭算法计算多项式，‎ 时，的值为 A． B． C． D．‎ ‎9. 已知双曲线的渐近线方程为, 若顶点到渐近线的距离为, 则双曲线的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎10. 以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则的焦点到准线的距离为 A. B. C. D. ‎ ‎11. 设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12.运行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框内 ‎ 可以填 A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题卡的相应位置）‎ ‎13. 若椭圆的离心率为，则实数的值为　 　．‎ ‎14. 把八进制数转化为三进制数为 ．‎ ‎15. 分别写出下列程序的运行结果：（1） ；（2） .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16. 动点分别到两定点连线的斜率之乘积为，设的轨迹为曲线，分别为曲线的左、右焦点，则下列命题中：‎ ‎（1）曲线的焦点坐标为； （2）若，则；‎ ‎（3）当时，△的内切圆圆心在直线上；‎ ‎（4）设，则的最小值为；‎ 其中正确命题的序号是：　 　．‎ 三、解答题: (本大题共6个小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. ) ‎ ‎17.（本小题满分10分）求下列各曲线的标准方程．‎ ‎（1）长轴长为，离心率为，焦点在轴上的椭圆；‎ ‎（2）已知双曲线的渐近线方程为，焦距为，求双曲线的标准方程．‎ ‎18.（本小题满分12分）如图，给出了一个程序框图, ‎ 其作用是输入的值, 输出相应的的值，‎ ‎（1）若视为自变量，为函数值，试写出函数 的解析式；‎ ‎（2）若要使输入的的值与输出的的值相等, 则输 ‎ 入的值为多少？‎ ‎19. （本小题满分12分）如图是一段圆锥曲线，曲线与两个坐标轴的交点分别是，，‎ ‎．‎ ‎（1）若该曲线为椭圆（中心为原点，对称轴为坐标轴）的一部分，设直 ‎ 线过点且斜率是，求直线与该段曲线的公共点的坐标．‎ ‎（2）若该曲线为抛物线的一部分，求原抛物线的方程．‎ ‎20. （本小题满分12分）已知抛物线的焦点，为坐标原点，是抛物线上异于的两点．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．‎ ‎21. （本小题满分12分）已知两点，直线相交于点，且这两条直线的斜率之积为．‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）记点的轨迹为曲线，曲线上在第一象限的点的横坐标为，过点且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线于，求直线的斜率（其中点为坐标原点）．‎ ‎22. （本小题满分12分）如图，曲线由曲线和曲线 组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线 所在圆锥曲线的焦点，‎ ‎（1）若，求曲线的方程；‎ ‎（2）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，‎ 求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；‎ ‎（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求△面积的最大值．‎ 汉阳一中、江夏一中高二年级12月联考 参考答案（理科数学）‎ 一、选择题：‎ BCDAC DCADB AB 二、填空题：‎ 或 ； （1）（2）（3）（4） ‎ 三、解答题：‎ ‎17、解：‎ ‎（1） ………………………………………4分 ‎（2）或 ………………………………………10分 ‎18、解：‎ ‎（1） ………………………………………6分 ‎（2）时，令，得或 时，令，得 时，令，得，不符题意，舍去 综上所述，输入的值为或或 ………………………12分 ‎19、解：‎ ‎（1）若该曲线为椭圆的一部分，则原椭圆方程为， ………………………2分 ‎∵直线过且斜率为，∴直线的方程为：， …………………3分 将，代入，得，‎ 化简得：，解得或， ………………………5分 将代入，得．‎ 故直线与椭圆的公共点的坐标为，． ………………………7分 ‎（2）若该曲线抛物线的一部分，则可设抛物线方程为：，‎ 将代入得，解得：， ……………………………10分 ‎∴原抛物线的方程为，即． ………………………12分 ‎20、 解：‎ ‎（1）因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以.‎ 所以抛物线的方程为. ……………………………………… 4分 ‎（2）证明：① 当直线的斜率不存在时，设.‎ 因为直线的斜率之积为，所以，化简得.‎ 所以，此时直线的方程为. ……………………6分 ‎② 当直线的斜率存在时，设其方程为，，‎ 联立方程组消去，得.‎ 根据根与系数的关系得， ……………………………………… 8分 因为直线的斜率之积为，‎ 所以，即. 即，‎ 解得 (舍去)或. 所以，即，‎ 所以，即． ………………………………………11分 综上所述，直线过定点． ……………………………………… 12分 ‎21、 解：‎ ‎（1）设点，∵，∴，‎ 整理得点所在的曲线的方程：． ………………………… 4分 ‎（2）由题意可得点，‎ 直线与直线的斜率互为相反数，设直线的方程为，‎ 与椭圆方程联立消去，得：，‎ ‎……………………………………… 6分 由于是方程的一个解，‎ 所以方程的另一解为，同理，…………… 8分 故直线的斜率为：‎ ‎ ………… 12分 ‎22、解：‎ ‎（1）∵，∴，解得，‎ 则曲线的方程为和． …………… 3分 ‎（2）证明：曲线的渐近线为，如图，设直线，‎ 则，化为，△，‎ 解得．又由数形结合知． …………………………4分 设点，，‎ 则，，∴，．‎ ‎∴，即点在直线上． ………………………………………6分 ‎（3）由（1）知，曲线，点．‎ 设直线的方程为．，化为，‎ ‎△，化为．‎ 设，∴，． ………… 8分 ‎∴，‎ ‎，………… 10分 令，∴，‎ ‎∴，当且仅当，即时等号成立．∴时，． ……………………………………… 12分