专题17+坐标系与参数方程-2017年高考数学(文)备考学易黄金易错点

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专题17+坐标系与参数方程-2017年高考数学(文)备考学易黄金易错点

‎1.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A、B两点,|AB|=,求l的斜率.‎ 解 (1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).‎ ‎2.已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρ·sin-4=0,求圆C的半径.‎ 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.‎ 圆C的极坐标方程为 ρ2+2ρ-4=0,‎ 化简,得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,‎ 即(x-1)2+(y+1)2=6,‎ 所以圆C的半径为.‎ ‎3.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,求AB的长.‎ 解 极坐标方程ρcosθ=4的普通方程为x=4,‎ 代入 得t=±2,当t=2时,y=8;‎ 当t=-2时,y=-8.‎ 两个交点坐标分别为(4,8),(4,-8),从而AB=16.‎ ‎4.在直角坐标系中圆C的参数方程为 (α为参数),若以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程.‎ 解 由参数方程消去α得圆C的方程为x2+(y-2)2=4,将x=ρcosθ,y=ρsinθ,‎ 代入得(ρcosθ)2+(ρsinθ-2)2=4,整理得ρ=4sinθ.‎ ‎5.已知曲线C:(θ为参数),直线l:ρ(cosθ-sinθ)=12.‎ ‎(1)将直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程;‎ ‎(2)设点P在曲线C上,求P点到直线l的距离的最小值.‎ 易错起源1、极坐标与直角坐标的互化 例1、在极坐标系中,曲线C1:ρ(cosθ+sinθ)=1与曲线C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,求a的值.‎ 解 ρ(cosθ+sinθ)=1,‎ 即ρcosθ+ρsinθ=1对应的普通方程为 x+y-1=0,‎ ρ=a(a>0)对应的普通方程为 x2+y2=a2.‎ 在x+y-1=0中,令y=0,得x=.‎ 将代入x2+y2=a2得a=.‎ ‎【变式探究】在以O为极点的极坐标系中,直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ+)=3和ρsin2θ=8cosθ,直线l与曲线C交于点A、B,求线段AB的长.‎ 解 ∵ρcos(θ+)=ρcosθcos-ρsinθsin ‎=ρcosθ-ρsinθ=3,‎ ‎∴直线l对应的直角坐标方程为x-y=6.‎ 又∵ρsin2θ=8cosθ,∴ρ2sin2θ=8ρcosθ.‎ ‎∴曲线C对应的直角坐标方程是y2=8x.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.‎ ‎(2)在与曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,要注意转化的等价性.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.如图,‎ 设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则,.‎ 易错起源2、参数方程与普通方程的互化 例2、在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin=m(m∈R).‎ ‎(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.‎ ‎【变式探究】已知直线l的参数方程为(t为参数),P是椭圆+y2=1上的任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.‎ 解 由于直线l的参数方程为(t为参数),‎ 故直线l的普通方程为x+2y=0.‎ 因为P为椭圆+y2=1上的任意一点,‎ 故可设P(2cosθ,sinθ),其中θ∈R.‎ 因此点P到直线l的距离是 d==.‎ 所以当θ=kπ+,k∈Z时,d取得最大值.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法,加减消参法,平方消参法等.‎ ‎(2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若x、y 有范围限制,要标出x、y的取值范围.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ ‎1.直线的参数方程 过定点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎2.圆的参数方程 圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数,0≤θ≤2π).‎ ‎3.圆锥曲线的参数方程 ‎(1)椭圆+=1的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(2)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为(t为参数).‎ 易错起源3、极坐标、参数方程的综合应用 例3、在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,曲线C3:ρ=2cosθ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标;‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.‎ 解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.‎ 联立 解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.‎ 因此A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2cosα,α).‎ 所以|AB|=|2sinα-2cosα|=4.‎ 当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4. ‎ ‎【变式探究】在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.‎ ‎(1)写出⊙C的直角坐标方程;‎ ‎(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎ (1)利用参数方程解决问题,要理解参数的几何意义.‎ ‎(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题,将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程,有助于对方程所表示的曲线的认识,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化与化归思想的应用.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等.‎ ‎1.已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆心为C,点P的极坐标为(4,),求CP的长.‎ 解 由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,即x2+y2=4x,‎ 即(x-2)2+y2=4,∴圆心C(2,0),又由点P的极坐标为(4,)可得点P的直角坐标为(2,2),‎ ‎∴CP==2.‎ ‎2.在极坐标系中,求圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=(ρ∈R)距离的最大值.‎ 解 圆ρ=8sinθ化为直角坐标方程为x2+y2-8y=0,即x2+(y-4)2=16,直线θ=(ρ∈R)化为直角坐 ‎3.在极坐标系中,已知三点M(2,-)、N(2,0)、P(2,).‎ ‎(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标;‎ ‎(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.‎ 解 (1)由公式得M的直角坐标为(1,-);‎ N的直角坐标为(2,0);P的直角坐标为(3,).‎ ‎(2)∵kMN==,kNP==.‎ ‎∴kMN=kNP,∴M、N、P三点在一条直线上.‎ ‎4.已知直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=4,求直线l与曲线C的交点的极坐标.‎ 解 直线l的直角坐标方程为y=x+2,由ρ2cos2θ=4得ρ2(cos2θ-sin2θ)=4,直角坐标方程为x2-y2=4,把y=x+2代入双曲线方程解得x=-2,因此交点为(-2,0),其极坐标为(2,π).‎ ‎5.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,求直线l被圆C截得的弦长.‎ 解 直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是y=x-4,圆C的极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程是x2+y2-4x=0.圆C的圆心(2,0)到直线x-y-4=0的距离为d==.又圆C的半径r=2,因此直线l被圆C截得的弦长为2=2.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.‎ ‎7.已知直线l:(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.‎ 解 (1)ρ=2cosθ等价于ρ2=2ρcosθ.①‎ 将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②‎ ‎(2)将代入②式,得t2+5t+18=0.‎ 设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.‎ ‎8.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=4cos.‎ ‎(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为,求实数a的值.‎ 解 (1)由ρ=4cos,‎ 得ρ=4cosθ-4sinθ.‎ 即ρ2=4ρcosθ-4ρsinθ.‎ 由得x2+y2-4x+4y=0,‎
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