2017-2018学年江西省赣州市南康中学、于都中学高二上学期第四次联考数学（文）试题

2017-2018学年江西省赣州市南康中学、于都中学高二上学期第四次联考数学（文）试题

‎2017-2018学年江西省赣州市南康中学、于都中学高二上学期第四次联考数学（文）试卷 本试卷共4页，分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。‎ 第I卷 （ 选择题共60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生必须将自己的姓名、统考考号、座号和考试科目涂写在答题卡上。‎ ‎2．第I卷共12小题，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如要改动，必须用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。第II卷则用黑色的钢笔（或水笔）按各题要求答在答题卡相应的位置上。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1．已知命题，则命题为( )‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. ， ‎ ‎2．若，且，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3. “”是“直线和直线平行”的( )‎ A．充分而不必要条件     B．必要而不充分条件 C．充要条件       D．既不充分也不必要条件 ‎4．若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 已知是三条直线，是一个平面，下列命题中正确的是( )‎ ‎①若，则与相交；‎ ‎②若，则内所有直线与平行；‎ ‎③若，则；‎ ‎④若，，则.‎ A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④‎ ‎6．已知实数满足约束条件，若恒成立，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，...，153～160号）.若第15组应抽出的号码为116，则第一组中用抽签方法确定的号码是( )‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎8．已知函数,且则实数等于( )‎ A．或1 B． C．1 D．2‎ ‎9．等比数列中,,函数，则 · 等于(　　)‎ A．26 B．29 C．212 D．215‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )‎ A. B. ‎ C. 24 D. ‎ ‎11．对于实数，定义运算“”：，‎ 设，且关于的方程恰有三个互不相同的实根，则的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 已知抛物线，圆．‎ 过点的直线l交圆N于两点，交抛物线M于 两点，且满足的直线l恰有三条，则r的取值 范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题后横线上）‎ ‎13．如图是某学校一名篮球运动员在六场比赛中所得分数的茎叶图，‎ 则该运动员在这六场比赛中得分的中位数为__________．‎ ‎14．根据如下样本数据：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 得到的回归方程为，则＝__________．‎ ‎15．设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点为线段的中点，为坐标原点，则__________．‎ ‎16．四面体的一条棱长为，其余棱长为3，则当此四面体体积最大时，该四面体的外接球表面积为__________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. （本小题满分10分）在中,角所对的边分别为且 ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若的面积为,且,求的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）为对南康区和于都县两区县某次联考成绩进行分析，随机抽查了两地一共10000名考生的成绩，根据所得数据画了如下的样本频率分布直方图．‎ ‎(1)求成绩在[600，650）的频率；‎ ‎(2)根据频率分布直方图算出样本数据平均数；‎ ‎(3)为了分析成绩与班级、学校等方面的关系，‎ 必须按成绩再从这10000人中用分层抽样 方法抽出20人作进一步分析，则成绩在 ‎[550，600）的这段应抽多少人？‎ ‎19．（本小题满分12分）已知曲线．‎ ‎(1)求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(2)求过点的曲线的切线方程．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知，直线被圆 ‎ 所截得的弦长为，且为圆上任意一点．‎ ‎(1)求的最大值；‎ ‎(2)圆与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径．‎ H ‎21．（本小题满分12分）如图，已知正方形的边长为,点分别在边上, 与的交点为，,现将沿线段折起到位置，使得．‎ ‎(1)求证：平面平面；‎ ‎(2)求五棱锥的体积；‎ ‎(3)在线段上是否存在一点,使得平面？‎ 若存在，求；若不存在，说明理由．‎ ‎22．（本小题满分12分）椭圆上动点到两个焦点的距离之和为4，且到右焦点距离的最大值为．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设点为椭圆的上顶点，若直线与椭圆交于两点（不是上下顶点），且．试问：直线是否经过某一定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由；‎ ‎(3)在(2)的条件下，求面积的最大值．‎ 二0一七——二0一八学年高二年级上学期 南康中学-于都中学联考数学（文）参考答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A A B B D A C C B D C 二、填空题：‎ ‎13、10 14、2.6 15、1 16、15p 三、解答题：‎ ‎17. 【解答】(1)由正弦定理可知:‎ 因为,所以,……………………………………………………2分 得,……………………………………………………………………………3分 又因为 所以…………………………………………………………………………………5分 ‎(2),得………………………………………7分 由余弦定理得: …………………………………………8分 即 ……………………………………………………9分 得………………………………………………………………………………10分 ‎【命题设想】本题考查了正弦定理,余弦定理和三角形的面积公式的简单运用,属于基础题.‎ ‎18.【解答】（1）根据频率分布直方图，得:成绩在[600，650）的频率为 ‎0.003×（650﹣600）=0.15；………………………………………………………………………2分 ‎（2）…5分 ‎………7分 ‎（3）成绩在[550，600）的频率为：0.005×（600﹣550）=0.25，‎ 所以10000名考生中成绩在[550，600）的人数为：0.25×10000=2500（人），………10分 再从10000人用分层抽样方法抽出20人,‎ 则成绩在[550，600）的这段应抽取 ‎20×=5人．……………………………………………………………………………12分 ‎【命题设想】本题考查频率分布直方图的应用问题，涉及频率和平均数的计算，也考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．‎ ‎19．【解答】（1）‎ 在点处的切线的斜率……………………………………………2分 曲线在点处的切线方程为 即………………………………………………………………………………4分 ‎（2）设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率，………………………………………………………………………………6分 切线方程为，‎ 即.………………………………………………………………………8分 点在切线上，，即，…………………9分 ‎，即 解得或 ………………………………………………………………………11分 故所求的切线方程为或。………………………………12分 ‎【命题设想】本题旨在考查导数的几何意义：切线问题，求在曲线上一点的切线和过一点的曲线的切线问题这两种基本问题。‎ ‎20.【解析】（1）直线被圆所截得的弦长为，‎ 又圆心到直线的距离…………………………2分 ‎∴圆心到直线的距离，解得…………………4分 ‎∵，∴，‎ ‎ …………………………………………………………5分 的最大值为； ………………………………………………………6分 ‎（2）由（1）可得圆的方程：，‎ ‎∴圆C与坐标轴相交于三点，…………………………………8分 为直角三角形，斜边， …………………………………………9分 ‎ ………………………………………11分 ‎ ‎ 内切圆的半径为……………………………………………………………………12分 ‎【命题设想】本题考查直线与圆位置关系的运用，考查内切圆半径的求解，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎21. 【解析】解（1）由是正方形，，的交点为 得是的中点，且，从而有，‎ 所以平面， ……………………………………………………………………2分 从而平面平面，……………………………………………………………3分 ‎（2）过点作垂直且与相交于点，‎ 由（1）知平面………………………………………………………………4分 因为正方形的边长为，，‎ 得到：，‎ 所以，‎ 所以…………………………………………5分 所以五棱锥的体积；………………7分 ‎（3）线段上存在点，使得平面，．………………8分 证明：，，‎ 所以，所以平面，……………………………………………9分 又，所以平面，…………………………………………………10分 所以平面平面， …………………………………………………………11分 由在平面内，所以平面.………………………………………12分 ‎【命题设想】本题对立体几何的考查比较全面，第一问证明垂直，第二问求体积，第三问是探索性问题，把平行、垂直、体积计算和探索性问题集于一体，综合性较高。‎ ‎22．【解答】（1）由已知得：2a=4∴a=2，，，b=1 ……………2分 ‎∴椭圆C的方程为：……………………………………………………………3分 ‎（2）依题意可设直线（k必存在），，‎ 将代入椭圆方程得．‎ ‎…………………………………………………………4分 ‎∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎………………………………………………………………………5分 ‎∵点B为椭圆的上顶点，且，‎ ‎∴……6分 ‎ ‎ ‎………………………………………7分 ‎∴直线l 必过定点…………………………………………………8分 ‎（3）不难得到：…………………9分 ‎…10分 令，则……………………………………11分 ‎∴（当，即时取等号）‎ ‎……………………………………………………………………………………………12分 ‎【命题设想】本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过定点的证明，此题关键是联立直线与椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，然后借助韦达定理，将向量的数量积为零表示出来，得到方程，进而求出定点。第三问的面积则是将拆分成和两个三角形面积之和求解，我们也不难想象：当斜率为0时面积最大，如果学生有这种意识，也可以不经过繁杂的运算直接得到结果，虽不能拿满分，但对于一般能力的学生不失为一种得分的技巧！本题将解析几何中的韦达法这一通法体现的淋漓尽致。同时，对学生的运算求解能力和数据处理能力要求很高，此外该题体现了转化化归思想和函数与方程思想．事实上，本题可以做一个推广：过椭圆上一定点作两条互相垂直的弦和，与椭圆的另一个分别为，则直线必过定点