数学理卷·2017届重庆市第一中学高三下学期第二次月考（2017

数学理卷·2017届重庆市第一中学高三下学期第二次月考（2017

秘密★启用前 ‎2017重庆一中高2017级高三下期第二次月考 数 学 试 题 卷（理科）2017．3‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案填涂在答题卡的相应位置。‎ ‎1．已知，则（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎2．已知，则的共轭复数的虚部为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎3．已知，且满足，则（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎4．已知，命题：若，则，在命题、的逆命题、的否命题、的逆否命题、这5个命题中，真命题的个数为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎5．春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率为，鼻炎发作且感冒的概率为，则此人鼻炎发作的条件下，他感冒的概率为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎6．某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　 ）‎ ‎ （A） （B） ‎ ‎ （C） （D）‎ ‎7．执行如图所示的程序框图,则输出（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8．在平面四边形中，已知，，，且，则的外接圆的面积为（ ） ‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎9．（原创）将大小形状相同的个黄球和个黑球放入如图所示的的十宫格中，每格至多放一个，要求相邻方格的小球不同色（有公共边的两个方格为相邻），如果同色球不加以区分，则所有不同的放法种数为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎10．已知正三棱锥的侧棱长为，若二面角的余弦值为，则三棱锥的体积为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎11．（原创）焦点在轴上的双曲线的离心率为，焦点在轴上的双曲线的离心率为，已知与具有相同的渐近线，当取最小值时，的值为（ ）‎ ‎ （A） 　 （B） （C） （D） ‎ ‎12．定义在上的函数的导函数为，且对恒成立，则（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，正确答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎13．已知，则的最小值为 。‎ ‎14．已知平面向量的夹角为且，在中，，‎ ‎，为中点，则 。‎ ‎15．已知，在的展开式中，第二项系数为正，各项系数和为256，则该展开式中的常数项的取值范围是 。‎ ‎16．已知曲线的方程为，过平面上一点作的两条切线，切点分别为,且满足,记的轨迹为，过一点作的两条切线，切点分别为 满足,记的轨迹为，按上述规律一直进行下去……，记且为数列的前项和，则满足的最小的是 。‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）已知函数。‎ ‎（1）求的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）已知的内角的对边分别为，且三边长成等差数列，求的取值范围。‎ ‎18．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响。对近六年的年宣传费和年销售量的数据作了初步统计，得到如下数据：‎ 年份 ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ 年宣传费（万元）‎ ‎38‎ ‎48‎ ‎58‎ ‎68‎ ‎78‎ ‎88‎ 年销售量（吨）‎ ‎16．8‎ ‎18．8‎ ‎20．7‎ ‎22．4‎ ‎24．0‎ ‎25．5‎ 经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式即。对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：‎ ‎75．3‎ ‎24．6‎ ‎18．3‎ ‎101．4‎ ‎（1）根据所给数据，求关于的回归方程；‎ ‎（2）规定当产品的年销售量（吨）与年宣传费（万元）的比值在区间内时认为该年效益良好。现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好年的数量为，试求随机变量的分布列和期望。（其中为自然对数的底数，）‎ 附：对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ‎19．（原创）（本小题满分12分）如图，三棱锥中，‎ ‎，且，点分别是的中点，为的中点，过的动平面与线段交于点，与线段的延长线分别相交于点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）当时，求二面角的正弦值。‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，椭圆和抛物线交于两点，且直线恰好通过椭圆的右焦点，‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）经过的直线和椭圆交于两点,交抛物线于两点，是抛物线的焦点，是否存在直线，使得,若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。‎ ‎21．（本小题满分12分）（原创）已知函数，其中，且。（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）设，若存在极大值，且对于的一切可能取值，的极大值均小于0，求的取值范围。‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的参数方程为（为参数），的极坐标方程为，的极坐标方程为，‎ ‎（1）若与的一个公共点为（异于点），且，求；‎ ‎（2）若与的一个公共点为（异于点），与的一个公共点为，求的取值范围。‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）证明：。 ‎ ‎ 命题人：梁波，薛廷兵，黄正卫 ‎ ‎2017重庆一中高2017级高三下期第二次月考 数 学 答 案（理科）2017．3‎ 一：选择题 1—12：BCCBD ADDDA CA 二：填空题 13： 14： 15： 16：7 ‎ 三：解答题 ‎ 17．解：⑴由题 ‎， 因此的最小正周期为。 4分 由得，所以的单调递增区间为； 6分 ‎ ⑵由题，故， 且，故。由⑴知，故。因，故，从而。 12分 ‎ 18．解：⑴对两边取对数得，令 得，由题给数据，得：， 2分 ‎，，于是 ‎，，得，故所求回归方程为。 5分 ‎ ⑵由，于是，即6年中有三年是“效益良好年”，，由题得，‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以的分布列如右表所示，且 。 12分 ‎ 19．⑴证明：连结，显然，由题易知，而为中点，故，下证明：，又，‎ 于是得证平面； 5分 ‎ ⑵如图，取的中点,以为轴建立空间直角坐标系，由题得设，‎ 则，，由于三点共线，‎ 于是，因此，‎ 易求得面的法向量为，面的法向量为，‎ 设二面角的平面角为，于是，则 12分 ‎ 20．解：⑴由知，可设，其中 由已知，代入椭圆中得：即，解得 从而，故椭圆方程为 5分 ‎ ⑵易知，直线的斜率存在。设直线为，，，，。由条件知。，故。由， ‎ ‎ ‎ ‎。存在直线：或者 满足条件。 12分 ‎ 21．解：⑴时，，故。当时，，故，因此在单调递增；当时，，由得，由得或，因此在和单调递减，在单调递增； 5分 ‎ ‎ ⑵由题，显然。设的两根为，则当或时，当时，故只可能是，且，知。又，故，且，从而。令，则，故在单减，从而，因此，解得。 12分 ‎ 22．解：⑴的参数方程为，则直角方程为。‎ 极坐标方程为，联立极坐标方程，得，‎ ‎，解得的，。 5分 ‎ ⑵联立与的极坐标方程为，‎ 当时，与重合，所以，则 所以 10分 ‎ 23．⑴解：当时，不等式即为。当时，，得；当时，，无解；当时， ，得。所以不等式的解集为。 6分 ‎ （2）证明 ‎。 10分