高考数学复习课时提能演练(八十一) 选修4-5_3

高考数学复习课时提能演练(八十一) 选修4-5_3

‎ ‎ 课时提能演练(八十一)‎ ‎1.(2012·南京模拟)若正数a,b,c满足a+b+c=1，求的最小值.‎ ‎2.已知x,y,z为正实数，且求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x,y,z的值.‎ ‎3.若a,b,c均为正数，且a+b+c=6，求的最大值.‎ ‎4.设P是三角形ABC内的一点，x,y,z是P到三边a,b,c的距离，R是△ABC外接圆的半径，证明 ‎5.已知a、b、c均为正数，且对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎6.已知x,y,z为实数，且x+2y+3z=‎ ‎(1)求x2+y2+z2的最小值；‎ ‎(2)设|2t-1|= x2+y2+z2，求实数t的取值范围.‎ ‎7.已知a,b,c为实数，且a+b+c+2‎-2m=0,‎ ‎(1)求证：‎ ‎(2)求实数m的取值范围.‎ ‎8.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.‎ ‎(1)求证： ‎ ‎(2)求的最小值.‎ ‎9.已知函数x>1,且不等式f(x)≥a2+b2+c2对任意x>1恒成立.‎ ‎(1)试求函数f(x)的最小值;‎ ‎(2)试求a+2b+2c的最大值.‎ ‎10.(2012·南安模拟)将‎12 cm长的细铁线截成三条长度分别为a、b、c的线段，‎ ‎(1)求以a、b、c为长、宽、高的长方体的体积的最大值；‎ ‎(2)若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.‎ 答案解析 ‎1.【解析】因为正数a,b,c满足a+b+c=1,‎ 所以 即当且仅当‎3a+2=3b+2=‎3c+2,即a=b=c=时，原式取最小值1.‎ ‎2.【解题指南】因为所以可构造 然后利用柯西不等式求解.‎ ‎【解析】由柯西不等式得 当且仅当x=2y=3z时等号成立，此时x=6,y=3,z=2，所以当x=6，y=3,z=2时，x+4y+9z取得最小值36.‎ ‎3.【解析】由柯西不等式得 ‎∴‎ 当且仅当即‎2a=2b+1=‎2c+3时等号成立，‎ 又a+b+c=6，∴时，有最大值 ‎4.【证明】由柯西不等式得，‎ 设S为△ABC的面积，则 故不等式成立.‎ ‎5.【解析】∵a,b,c均为正数,且a+b+c=3,‎ ‎∴由柯西不等式可知,‎ ‎∴|x-2|+|x-m|≥3对任意的x∈R恒成立.‎ ‎∵|x-2|+|x-m|≥|(x-2)-(x-m)|=|m-2|,‎ ‎∴|m-2|≥3,解得m≤-1或m≥5.‎ ‎∴m的取值范围是(-∞,-1］∪［5,+∞).‎ ‎6.【解析】(1)由柯西不等式得(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(1·x+2·y+3·z)2即 所以 当且仅当|x|=|y|=|z|时取等号，‎ 即x2+y2+z2的最小值为 ‎(2)由(1)得|2t-1|≥，‎ 则2t-1≥或2t-1≤-，解得t≥或t≤‎ 即实数t的取值范围是(-∞，］∪［，+∞).‎ ‎7.【解析】(1)由柯西不等式得 即 当且仅当|a|=|b|=|c|时取得等号.‎ ‎(2)由已知得a+b+c=2m-2,‎ ‎∴14(1-m)≥(2m-2)2，即2m2+3m-5≤0,‎ ‎∴≤m≤1,‎ 又∵∴m≤1,‎ ‎∴≤m≤1.‎ ‎8.【证明】(1)根据柯西不等式，得［(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)］‎ 因为5x+4y+3z=10,‎ 所以 ‎ ‎(2)根据均值不等式，得 当且仅当x2=y2+z2时，等号成立.‎ 根据柯西不等式，得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,即(x2+y2+z2)≥2，当且仅当时，等号成立.‎ 综上，≥2·32=18.‎ ‎9.【解析】(1)∵x>1,x-1>0‎ ‎∴f(x)= (当且仅当x=2时取“=”)‎ ‎(2)由(1)得a2+b2+c2≤3‎ 由柯西不等式得 ‎(a2+b2+c2)(12+22+22)≥(1·a+2·b+2·c)2‎ ‎∴(a+2b+‎2c)2≤3×9=27,∴a+2b+‎2c≤‎ 当且仅当即时取“=”，即a+2b+‎2c的最大值为 ‎10.【解析】(1)a+b+c=12,V=abc≤=64;‎ 当且仅当a=b=c=4时，等号成立.‎ ‎(2)设正三角形的边长为l,m,n，则l+m+n=4‎ 设这三个正三角形的面积和为S，则：‎ 当且仅当l=m=n=时，等号成立.‎ 即这三个正三角形面积和的最小值为