高考数学一轮复习精品学案：第2讲 函数概念与表示

高考数学一轮复习精品学案：第2讲 函数概念与表示

‎2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第2讲 函数概念与表示 一．课标要求 ‎1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；‎ ‎2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；‎ ‎3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；‎ ‎4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；‎ ‎5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。‎ 二．命题走向 函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。‎ 从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。‎ 高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。‎ 预测2013年高考对本节的考察是：‎ ‎1．题型是1个选择和1个填空；‎ ‎2．热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。‎ 三．要点精讲 ‎1．函数的概念：‎ 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。‎ 注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；‎ ‎（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。‎ ‎2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ‎（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：‎ ‎①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；‎ ‎②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；‎ ‎③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。‎ ‎（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。‎ ‎①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。‎ ‎3．两个函数的相等：‎ 函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。‎ ‎4．区间 ‎ （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；‎ ‎ （2）无穷区间；‎ ‎ （3）区间的数轴表示。‎ ‎5．映射的概念 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”。‎ 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。‎ 注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。‎ ‎（2）“都有唯一”什么意思？‎ 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。‎ ‎6．常用的函数表示法 ‎（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；‎ ‎（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；‎ ‎（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。‎ ‎7．分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；‎ ‎8．复合函数 若y=f(u)，u=g(x),xÎ(a，b)，uÎ(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。‎ 四．典例解析 题型1：函数概念 例1．（1）设函数 ‎（2）设函数f（x）＝，则满足f（x）=的x值为 。‎ 解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎（2）当x∈（－∞，1，值域应为［，＋∞］，‎ 当x∈（1，＋∞）时值域应为（0，＋∞），∴y＝，y∈（0，＋∞）‎ ‎∴此时x∈（1，＋∞） ∴log81x＝，x＝81＝3。‎ 点评：讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧（赋值、变量代换、换元等等），这都是函数学习的常用基本功。‎ 变式题：设（ ）‎ A．0 　 B．‎1 C．2 D．3‎ 解：选项为C。‎ 例2．‎ ‎（1）函数对于任意实数满足条件，若则__ ________；‎ ‎（2）函数对于任意实数满足条件，若则__________。‎ 解：（1）由得，‎ 所以，则。‎ ‎（2）由得，所以，则。‎ 点评：通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思维能力。‎ 题型二：判断两个函数是否相同 例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？‎ ‎（1）f（x）=，g（x）=；‎ ‎（2）f（x）=，g（x）=‎ ‎（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；‎ ‎（4）f（x）=，g（x）=；‎ ‎（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。‎ 解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；‎ ‎（2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；‎ ‎（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，‎ ‎∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；‎ ‎（4）由于函数f（x）=的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；‎ ‎（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数。‎ 点评：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。‎ ‎（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数。（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数。‎ 题型三：函数定义域问题 例4．求下述函数的定义域：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ 解：（1），解得函数定义域为.‎ ‎（2） ，（先对a进行分类讨论，然后对k进行分类讨论），‎ ‎①当a=0时，函数定义域为；‎ ‎②当时，得，‎ ‎1）当时，函数定义域为，‎ ‎2）当时，函数定义域为，‎ ‎3）当时，函数定义域为；‎ ‎③当时，得，‎ ‎1）当时，函数定义域为，‎ ‎2）当时，函数定义域为，‎ ‎3）当时，函数定义域为。‎ 点评：在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，但第（2）小题的解析式中含有参数，要对参数的取值进行讨论，考察学生分类讨论的能力。‎ 例5．已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：‎ ‎(1) ；(2)。‎ 解：（1）由0＜x＜2， 得 ‎ 点评：本例不给出f(x)的解析式，即由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域关键在于理解复合函数的意义，用好换元法；求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到。‎ 变式题：已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）‎ A．a＞ B．－12＜a≤‎0 ‎ C．－12＜a＜0 D．a≤‎ 解：由a=0或可得－12＜a≤0，答案B。‎ 题型四：函数值域问题 例5．求下列函数的值域：‎ ‎（1）；（2）；（3）；‎ ‎（4）；（5）；（6）；‎ ‎（7）；（8）；（9）。‎ 解：（1）（配方法），‎ ‎∴的值域为。‎ 改题：求函数，的值域。‎ 解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，‎ ‎∴当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为。‎ ‎∴函数，的值域为。‎ ‎（2）求复合函数的值域：‎ 设（），则原函数可化为。‎ 又∵，‎ ‎∴，故，‎ ‎∴的值域为。‎ ‎（3）（法一）反函数法：‎ 的反函数为，其定义域为，‎ ‎∴原函数的值域为。‎ ‎（法二）分离变量法：，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴函数的值域为。‎ ‎（4）换元法（代数换元法）：设，则，‎ ‎∴原函数可化为，∴，‎ ‎∴原函数值域为。‎ 注：总结型值域，‎ 变形：或 ‎（5）三角换元法：‎ ‎∵，∴设，‎ 则 ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴原函数的值域为。‎ ‎（6）数形结合法：，‎ ‎∴，∴函数值域为。‎ ‎（7）判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为。‎ 由得： ①‎ ‎①当即时，①即，∴‎ ‎②当即时，∵时方程恒有实根，‎ ‎∴△，‎ ‎∴且，‎ ‎∴原函数的值域为。‎ ‎（8），‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时，即时等号成立。‎ ‎∴，‎ ‎∴原函数的值域为。‎ ‎（9）（法一）方程法：原函数可化为：，‎ ‎∴（其中），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴原函数的值域为。‎ 点评：上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后面的复习中要作详尽的讨论。‎ 题型五：函数解析式 例6．（1）已知，求；‎ ‎（2）已知，求；‎ ‎（3）已知是一次函数，且满足，求；‎ ‎（4）已知满足，求。‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴（或）。‎ ‎（2）令（），则，‎ ‎∴，。‎ ‎（3）设，‎ 则，‎ ‎∴，，‎ ‎∴。‎ ‎（4） ①，‎ 把①中的换成，得 ②，‎ ‎①②得，‎ ‎∴。‎ 点评：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法。‎ 例7．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x。‎ ‎（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)；‎ ‎（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)= x0。求函数f(x)的解析表达式。‎ 解：（Ⅰ）因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－x2 +x，‎ 所以f(f(2)－22+2)=f(2)－22+2。‎ 又由f(2)=3，得f(3－22+2)－3－22+2，即f(1)=1。‎ 若f(0)=a，则f(a－02+0)=a－02+0，即f(a)=a。‎ ‎（Ⅱ）因为对任意x∈R，有f(f(x))－ x2 +x)=f(x)－ x2 +x。‎ 又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)－ x0。‎ 所以对任意x∈R，有f(x)－ x2 +x= x0.。‎ 在上式中令x= x0，有f(x0)－x + x0= x0。‎ 又因为f(x0)－ x0，所以x0－x=0，故x0=0或x0=1。‎ 若x0=0，则f(x)－ x2 +x=0，即f(x)= x2 –x。‎ 但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0。‎ 若x2=1，则有f(x)－ x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1。‎ 易验证该函数满足题设条件。‎ 综上，所求函数为f(x)= x2 –x+1（xR）。‎ 点评：该题的题设条件是一个抽象函数，通过应用条件进一步缩小函数的范围得到函数的解析式。这需要考生有很深的函数理论功底。‎ 题型六：函数应用 例8．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。‎ ‎（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？‎ ‎（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？‎ 解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：‎ ‎ =12，所以这时租出了88辆车。‎ ‎（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：‎ f（x）=（100－）（x－150）－×50，‎ 整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050。‎ 所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050。‎ 即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.‎ 点评：根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定变量去寻求等量关系并求得函数表达式后，还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限制。‎ 例9．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：为，要求清洗完后的清洁度为 ‎。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为。设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度。‎ ‎(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；‎ ‎(Ⅱ)若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响。‎ 解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z。‎ 由题设有=0.99，解得x=19。‎ 由得方案乙初次用水量为3, ‎ 第二次用水量y满足方程: 解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3。‎ 因为当,故方案乙的用水量较少。‎ ‎（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得 ‎，（*）‎ 于是+‎ 当为定值时,,‎ 当且仅当时等号成立。‎ 此时 将代入（*）式得 故时总用水量最少, ‎ 此时第一次与第二次用水量分别为，‎ 最少总用水量是。‎ 当,‎ 故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)。这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量。‎ 点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。该题典型代表高考的方向。‎ 题型7：课标创新题 例10．（1）设，其中a、b、c、d是常数。‎ 如果求；‎ ‎（2）若不等式对满足的所有m都成立，求x的取值范围。‎ 解：（1）构造函数则故：‎ ‎（2）原不等式可化为 构造函数，其图象是一条线段。‎ 根据题意，只须：‎ 即 解得。‎ 点评：上面两个题目通过重新构造函数解决了实际问题，体现了函数的工具作用。‎ 五．思维总结 ‎“函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法。由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。‎ ‎1．求函数解析式的题型有：‎ ‎（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；‎ ‎（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；‎ ‎（3）已知函数图像，求函数解析式；‎ ‎（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；‎ ‎（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。‎ ‎2．求函数定义域一般有三类问题：‎ ‎（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；‎ ‎（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；‎ ‎（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：‎ ‎①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；‎ ‎②若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出。‎ ‎3．求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。‎ ‎①直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；‎ 反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；‎ 二次函数的定义域为R，‎ 当a>0时，值域为{}；‎ 当a<0时，值域为{}。‎ ‎②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；‎ ‎③分式转化法（或改为“分离常数法”）‎ ‎④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；‎ ‎⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；‎ ‎⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；‎ ‎⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。‎ ‎⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。‎