湖北省黄冈市实验高级中学2020届高三第六次模拟考试数学（文）试卷

湖北省黄冈市实验高级中学2020届高三第六次模拟考试数学（文）试卷

文 科 数 学 ‎ 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.‎ 1. 已知集合（ ） ‎ A. ‎ B. C. D.‎ 2. 已知复数，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 已知，则（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在 ‎ 2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70% ． 2015 年 ‎ 开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019 年度实施的扶贫项 ‎ ‎ 目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱 ‎ ‎ 贫率见下表： ‎ 实施项目 ‎ 种植业 ‎ 养殖业 ‎ 工厂就业 ‎ 服务业 ‎ 参加户占比 ‎ ‎40%‎ ‎40%‎ ‎10%‎ ‎10%‎ 脱贫率 ‎ ‎95%‎ ‎95%‎ ‎90%‎ ‎90%‎ ‎ ‎ 那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）倍 A. B. C. D. ‎ ‎5. 已知角的终边经过点，则（ ） ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是（ ） ‎ A． B． C． D．3‎ ‎7.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，‎ ‎《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响. ‎ 下图就是《易经》中记载的几何图形--八卦田，图中正八边形代表 八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代 表八卦田.已知正八边形的边长为10 m ，代表阴阳太极图的圆的 半径为4 m ，则每块八卦田的面积约为（ ） （，）‎ A．‎114 m2‎ B. ‎57 m‎2‎ C. ‎54 m2‎ D. ‎‎48 m2‎ ‎8.圆C：被直线截得的弦长的最小值为（ ） ‎ ‎ A.1 B‎.2 C. D.‎ ‎9.函数的图象可能是（ ） ‎ ‎ ‎ ‎ C． D．‎ ‎10.锐角△ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ,若，则角C的大小为 （ ） ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.若定义在 R 上的增函数 y = f (x - 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称， 且g(x) = f (x) - 1 ，则下列结论不．一定成立的是（ ） ‎ ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎12．如图,长方体中, 、分别为棱、的中 点．直线与平面的交点,则的值为（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知平面向量a, b ，满足 ，则向量 的夹角为 .‎ ‎14.已知轴为曲线的切线，则的值为 ．‎ ‎15.已知且，，若有最大值，则的取值范围是___________‎ ‎16．石雕工艺承载着几千年的中国石雕文化，随着科技的发展，机器雕刻产品越来越多．某石雕厂计划利用一个圆柱形的石材（如图1）雕刻制作一件工艺 品（如图2），该作品的上方是一个球体，下方是一个正四棱柱，经测量，圆柱形石材的底面半径米，高米，制作要求如下：首先需将石材切割为体积相等的两部分（分别称为圆柱A和圆柱B），要求切面与原石材的上、下底面平行（不考虑损耗），然后将圆柱A切割打磨为一个球体，将圆柱B切割打磨为一个长方体，则加工打磨后所得工艺品的体积的最大值为__________立方米。‎ 三、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17．（12分）设的内角所对的边分别为，若，且．‎ ‎（1）求证：C，A，B成等差数列；‎ ‎（2）若的面积的最大值为，求外接圆的半径。‎ ‎18．（12分）孔子曰：温故而知新.数学学科的学习也是如此.为了调查数学成绩与及时复习之间的关系，某校志愿者展开了积极的调查活动：从高三年级640名学生中按系统抽样抽取40名学生进行问卷调查，所得信息如下：‎ 数学成绩优秀（人数）‎ 数学成绩合格（人数）‎ 及时复习（人数）‎ ‎20‎ ‎4‎ 不及时复习（人数）‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎（1）张军是640名学生中的一名，他被抽中进行问卷调查的概率是多少（用分数作答）；‎ ‎（2）根据以上数据，运用独立性检验的基本思想，研究数学成绩与及时复习的相关性.‎ 参考公式：，其中为样本容量 临界值表：‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎19．（12分）如图，三棱锥中，侧面是边长为的正三角形，，平面平面，把平面沿旋转至平面的位置，记点旋转后对应的点为（不在平面内），，分别是，的中点。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积的最大值。‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 已知椭圆过点,且椭圆的短轴长为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知动直线l过右焦点F ，且与椭圆C分别交于M ,N 两点．试问x轴上是否存在定点Q,使得恒成立？若存在求出点Q的坐标，若不存在，说明理由。‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数.‎ （1） 当时，取得极值，求的值，并判断是极大值点还是极小值点；‎ （2） 当函数有两个极值点，且时，总有 成立，求 ‎ ‎ 的取值范围。‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 22. ‎【选考4-4】：坐标系与参数方程（10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线 C的参数方程为（为参数），以坐 标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为，‎ 若直线 与曲线C相切。‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2)在曲线C上取两点M，N与原点O构成，且满足，求面积的最大值。‎ 23. ‎【选考4-5】：不等式选讲（10分）‎ 已知，‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若的最小值为，且，求证：‎ 参考答案 一、 选择题：‎ ‎1-6：CADCCA 7-12:CBDDAA 二、 填空题：‎ 13. ‎ 14. 15. 16. ‎ ‎16． 【解析】因为圆柱A和圆柱B的体积一样大，所以它们的高一样，即米，要使工艺品的体积最大，则上方的球与下方的长方体的体积同时取得最大值．设由圆柱A打磨的球体半径为，则，即，所以．当时，球的体积取得最大值，此时球体体积．设下方的长方体的底面边长分别为，要使长方体的体积最大，长方体的高与圆柱B的高相等，此时其体积．因为长方体为圆柱B的内接长方体，即长方体的底面是圆柱底面的内接长方形，所以长方形的对角线长等于圆柱底面的直径，即．由基本不等式可得，即，当且仅当时取等号，所以长方体体积的最大值为，所以所得工艺品的体积的最大值为（立方米）．‎ 三、 解答题：‎ ‎ 17．（12分）‎ ‎【解析】（1）因为，且，‎ 所以，即，（2分）‎ 由正弦定理可得，即，‎ 再由余弦定理可得，因为，所以，（4分）‎ 又，所以，所以，‎ 所以C，A，B成等差数列．（6分）‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以，当且仅当时取等号，所以，（8分）‎ 又的面积的最大值为，所以，解得，（10分）‎ 设外接圆的半径为，则，解得，‎ 所以外接圆的半径为．（12分）‎ ‎18.解：（1）‎ ‎（2）由题可得如下列联表 优秀 合格 合计 及时复习 ‎20‎ ‎4‎ ‎24‎ 不及时复习 ‎10‎ ‎6‎ ‎16‎ 合计 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 根据列联表中的数据，可得随机变量的观测值 ‎，‎ 因为，所以有的把握认为数学成绩与及时复习有关.‎ ‎19．（12分）‎ ‎【解析】（1）如图，连接，，因为，是的中点，所以，‎ 又平面平面，平面平面，‎ 所以平面，所以．（3分）‎ 因为为边长为的正三角形，所以，又，所以由勾股定理可 得，‎ 又，所以为直角三角形，且，‎ 又，分别是，的中点，所以，所以．（6分）‎ ‎（2）如图，连接，，‎ 因为三棱锥与三棱锥为同一个三棱锥，且的面积为定值，‎ 所以当三棱锥的体积最大时，必有平面，（8分）‎ 此时点到平面的距离为，‎ 在中，因为，，所以，（10分）‎ 所以的最大值为，‎ 所以三棱锥的体积的最大值为．（12分）‎ ‎20.解：（Ⅰ）因为椭圆C过点，所以 ‎ 又因为 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）假设在x轴上存在定点，使得.‎ ‎①当直线的斜率不存在时，则.‎ ‎，由 解得；‎ ‎②当直线的斜率为0时，则,‎ 由解得 由①②可得，‎ 即点Q的坐标为.下面证明当时，恒成立，‎ 当直线的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论 成立.‎ 当直线斜率存在且不为0时，设其方程为，，‎ 由，‎ 直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交,且 ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 综上所述，在x轴上存在定点，使得恒成立.‎ ‎21.解：（1）求得，从而 ‎ 因为时，，为增函数；‎ 时，，为减函数；‎ ‎ 所以为极大值点.‎ （2） 函数的定义域为，有两个极值点，则在上有两个不相等的实根，所以，由，可得，从而问题转化为在且时成立.即 成立，即 ，即，进而①.‎ 令，则 ‎（Ⅰ）当时，，则在上为增函数且，①式不成立；‎ ‎（Ⅱ）当时，令，则 ‎ 若，即时，，所以在上为减函数且，‎ ‎ 在区间和上同号，故①式成立.‎ ‎ 若，即时，的图象的对称轴，‎ 令，则时，，不合题意.‎ 综上所述：满足题意.‎ ‎23.解：（1）当时，等价于，该不等式恒成立.‎ 当时，等价于，该不等式的解集为.‎ 当时，等价于，解得.‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎（2）证明：当时.‎ 当时取得最小值1.‎ 当时.‎ 所以的最小值为1，即 因为，所以 同理可得：‎ 所以