2017-2018学年福建省闽侯二中五校教学联合体高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

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绝密★启用前 福建省闽侯二中五校教学联合体2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．不等式的解集为 （ ）‎ A． 或 B． ‎ C． 或 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式左边因式分解可得，从而可解不等式.‎ ‎【详解】‎ 因为的两根为，‎ 不等式可化为，‎ 所以不等式的解集为或，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式的求解方法，意在考查对基础知识的掌握，属于简单题.‎ ‎2．已知，，满足且，下列选项中不一定成立的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解析：因，且，故有可能，则 不一定成立，应选答案C。‎ ‎3．已知等差数列的前项和为,且,则的值为（ ）‎ A． 2 B． 5 C． 10 D． 15‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的前项和公式,结合等差数列的性质即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 又因为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的前项和公式以及等差数列的性质，属于中档题. 解等差数列问题，要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.‎ ‎4．在中，已知，且的面积为，则 (　　)‎ A． 3 B． 5 C． 7 D． 15‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形面积公式,将及已知面积代入求出的值，再利用余弦定理列出关系式，把的值代入计算即可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 的面积为，‎ ‎，即，‎ 由余弦定理得，‎ 则，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.‎ 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎5．的内角所对的边分别为 ，若且，则 (　 )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，根据正弦定理可得，从而可得，由余弦定理可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得，，‎ 由正弦定理得，‎ ‎，则，‎ 由余弦定理得，，‎ 即，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎6．公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且 ‎，则（ ）‎ A． 2 B． 4 C． 8 D． 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为是公差不为0的等差数列，而，所以，解得或。因为且是等比数列，所以，则。所以，故选D ‎7．已知点在直线上,则的最小值为( )‎ A． 2 B． 8 C． 9 D． 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由在直线上，可得，可得，展开后利用基本不等式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为在直线上，‎ 所以，‎ 可得 ‎，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 所以的最小值为9，故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.‎ 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎8．在等差数列中， 为其前项和，若，则（ ）‎ A． 60 B． 75 C． 90 D． 105‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，即 ，而 ，故选B.‎ ‎9．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ 　）‎ A． B． C． D． 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.‎ ‎【详解】‎ 作出约束条件，表示的可行域，如图 由，得,‎ 平移直线，‎ 由图可知，当直线经过点时，‎ 直线的截距最小，此时取得最小值，‎ 由，解得，即，‎ 将代入 ,得，‎ 即的最小值为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎10．的内角所对的边分别为 ，若角依次成等差数列，且，则的面积(　 　)‎ A． B． C． D． 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据依次成等差数列求得角,再由余弦定理求得边,然后由三角形面积公式求得面积.‎ ‎【详解】‎ 依次成等差数列，‎ ‎，‎ 因为，‎ 由余弦定理得，得，‎ ‎ ，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差中项的应用，余弦定理解三角形以及特殊角的三角函数与三角形的面积公式，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）‎ ‎；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.‎ ‎11．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意， ， ，因为成等比数列，所以，即，所以，故选.‎ ‎12．已知等差数列中， ， ，若，则数列的前5项和等于（ ）‎ A． 30 B． 45 C． 90 D． 186‎ ‎【答案】C ‎【解析】由， ， ，‎ 所以。‎ 视频 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在等差数列中,若,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由利用等差数列的通项公式可得，且，求得首项与公差，从而可得结果.‎ 直接求解.‎ ‎【详解】‎ 在等差数列中，‎ 由且，‎ 解得,‎ ‎,故答案为 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式基本量运算，是基础题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.‎ ‎14．的内角所对的边分别为，已知，则角____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，变形后利用余弦定理表示出，即可确定出的度数.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ 为三角形内角，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查对基本定理掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.‎ ‎15．在中，若，，，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，由余弦定理得，即，整理得，由于，解得，即.‎ 考点：余弦定理 ‎16．一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么两点间的距离是____海里.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定，进而可得到的值，在中，根据正弦定理可得到的值.‎ ‎【详解】‎ 如图，由已知可得，‎ 从而,‎ 因为海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达处，所以，‎ 在中，由正弦定理可得海里，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于简单题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．（1）若不等式的解集为. 求的值；‎ ‎（2）若不等式对任意实数都成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用三个二次关系建立a的方程，解之即可；（2）讨论二次项系数，抓住抛物线的开口及判别式，问题迎刃而解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题可知 ，所以； ‎ ‎（2）当时显然成立。 ‎ 当时，则有. ‎ 综上有，。 ‎ ‎18．已知等差数列的公差为1，其前项和为，且成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列的公差为1，且成等比数列,列出关于的方程，解方程可得的值，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）利用等差数列的求和公式可得，利用裂项相消法求和即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)数列{an}是公差为1的等差数列，‎ ‎∴a3=a1+2，a7=a1+6，‎ ‎∵a1+1，a3+1，a7+1成等比数列，‎ ‎∴(a1+3)2=(a1+1)(a1+7)，‎ 解得a1=1，‎ 所以an=n.‎ ‎(2)由(1)得an=n，Sn=,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎19． 的内角所对的边分别为 ，已知 ‎．‎ ‎（1）求的大小； ‎ ‎（2）若，，求和的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由,利用正弦定理可得，化简后利用余弦定理及特殊角的三角函数可求的值；（2）结合（1）由余弦定理可得，结合，从而求得,进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中， ‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ 又，.‎ ‎（2）由余弦定理 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ 或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎20．已知是等差数列，满足，数列满足，且为等比数列．‎ ‎(1)求数列和的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）＋－1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论； （2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设等差数列的公差为，由题意得.‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n．‎ 设等比数列的公比为，‎ 由题意得，解得q＝2. ‎ 所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.‎ 从而． ‎ ‎(2)由(1)知．‎ 数列的前项和为，数列的前项和为，‎ 所以，数列的前项和为＋－1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．‎ ‎21．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗原料1千克，原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设中的条件可设每天生产甲种产品桶，乙种产品桶 ,根据题设中原料都不超过12千克，得出线性约束条件，由两种产品的利润可得目标函数，作出可行域，由线性规划，利用数形结合求出利润的最大值即可.‎ ‎【详解】‎ 设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司每天共可获得的利润为z 元，依题意，得，‎ 目标函数为z＝300x＋400y，‎ 可行域为如图所示的阴影部分，‎ ‎ ‎ 目标函数z＝300x＋400y可变形为，这是随z变化的一族平行直线.‎ 由，解得，即A(4,4)．‎ 所以目标函数z＝300x＋400y过点A时取得最大值为zmax＝1200＋1 600＝2 800(元)．‎ 所以每天生产的甲、乙两种产品都为4桶，公司共可获得的最大利润是2 800元.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的实际应用，意在考查阅读能力、建模能力，以及数形结合思想的应用，属于中档题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎22．已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立.‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把和相减整理求得，整理出,判断出数列是首项为6，公比为2的等比数列；（2）由（1）利用等比数列的通项公式求得，则可得的表达式；(3)把（2）中的代入 ,求得通项公式，进而利用错位相减法，结合等比数列求和公式，可求得数列的前项的和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得 ①，‎ ‎ ②‎ 由②-①得：，所以 ‎ ‎,‎ 又得 ‎ ‎ 所以是以6为首项，2为公比的等比数列． ‎ ‎（2）由（1）得 ，即 .‎ ‎（3）,‎ 所以, ③‎ ‎ , ④‎ 由④- ③得 ‎ ‎ =,‎ ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用递推关系求数列的通项公式、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的和，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③‎ 求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.‎