数学理卷·2018届四川省成都石室中学高二下学期期中考试（2017-05）

数学理卷·2018届四川省成都石室中学高二下学期期中考试（2017-05）

高2018届2016-2017学年下期半期考试数学（理科）‎ 一、选择题（共12个小题,每小题5分,共60分）‎ ‎1.复数（为虚数单位）的虚部是（ ）‎ A．1 B．-1 C． D．‎ ‎2.在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程有有理根，那么，，中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）‎ A．假设，，不都是偶数 B．假设，，至多有两个是偶数 C．假设，，至多有一个是偶数 D．假设，，都不是偶数 ‎4.已知点为抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）‎ A. B． C.2 D．‎ ‎5.一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.若直线的参数方程为（为参数），则直线倾斜角的余弦值为（ ）‎ A. B． C. D．‎ ‎7.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）‎ ‎（1），，， （2），‎ ‎（3），， （4），‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎8.定积分（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知，其导函数记为，则 ‎（ ）‎ A．0 B．1 C. 2 D．2017511‎ ‎10.在区间和分别取一个数，记为，，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C. D．‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.设的三边长分别为，，，的面积为，内切圆半径为，则.类比这个结论可知：四面体的四个面分别为、、、，内切球半径为，四面体的体积为，则 ．‎ ‎14.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 ．‎ ‎15设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为 ．‎ ‎16.如图，正方体，则下列四个命题：‎ ‎①在直线上运动时，三棱锥的体积不变；‎ ‎②在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变；‎ ‎③在直线上运动时，二面角的大小不变；‎ ‎④是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线.‎ 其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号）‎ 三、解答题（共6小题，17题10分，18题至22题均为12分，共70分）‎ ‎17.‎ ‎ 某市统计局就2015年毕业大学生的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图所示，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示.‎ ‎（1）求毕业大学生月收入在的频率；‎ ‎（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；‎ ‎（3）为了分析大学生的收入与所学专业、性别等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽取多少人？‎ ‎18. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）化曲线的参数方程为普通方程，化曲线的极坐标方程为直角坐标方程；‎ ‎（2）直线（为参数）过曲线与轴负半轴的交点，求与直线平行且与曲线相切的直线方程.‎ ‎19.如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小；‎ ‎（3）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. 设函数.‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若对任意及任意，，恒有成立，求实数的取值范围.‎ ‎21. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围；‎ ‎（3）在第（2）问的条件下，求面积的最大值.‎ ‎22.已知函数，（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）若函数的图象在处的切线方程为，求，的值；‎ ‎（2）若时，函数在内是增函数，求的取值范围；‎ ‎（3）当时，设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.‎ 高2018届2016-2017学年下期半期考试答案（理科）‎ 一、选择题 ‎1-5:ACDBD 6-10:ABCCB 11、12：DA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.①③④‎ 三、解答题（共6小题，17题10分，18题至22题均为12分，共70分）‎ ‎17.解：（1）月收入在的频率为：‎ ‎；‎ ‎（2）频率分布直方图知，中位数在，设中位数为，‎ 则，解得，‎ 根据频率分布直方图估计样本数据的中位数为；‎ ‎（3）居民月收入在的频率为，‎ 所以10000人中月收入在的人数为（人），‎ 再从10000人用分层抽样方法抽出100人，‎ 则月收入在的这段应抽取人.‎ ‎18.解：（1）由曲线的参数方程为（为参数），‎ 消去参数化为普通方程；‎ 由曲线的极坐标方程为得，‎ 化为直角坐标方程可化为.‎ ‎（2）由曲线的方程，‎ 令得，曲线与轴负半轴的交点为；‎ 直线（为参数）过点，，解得，‎ 直线的方程为.‎ 设与直线平行且与曲线相切的直线方程为，‎ 则圆心到直线的距离，即，‎ 化为，解得或，‎ 与直线平行且与曲线相切的直线方程为或.‎ ‎19.解：（1）设与相交于点，连接，则为中点，‎ 为中点，.‎ 又平面，平面 平面.‎ ‎（2）正三棱柱，底面.‎ 又，，‎ 就是二面角的平面角.‎ ‎，，.‎ ‎，即二面角的大小是.‎ ‎（3）由（2）作，为垂足.‎ ‎，平面平面，平面平面，‎ 平面，‎ 平面，.‎ ‎，平面，连接，则就是直线与平面所成的角.‎ ‎，，在中，，‎ ‎，.‎ ‎.‎ 直线与平面所成的角的正弦值为.‎ ‎（备注：也可以建立空间直角坐标系来解答.）‎ ‎20.解：（1），‎ 当，即时，，在上是减函数；‎ 当，即时，令，得或；令，得；‎ 当，即时，令，得或；令，得；‎ 综上，当时，在定义域上是减函数；‎ 当时，在，上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，在和上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）由（2）知，当时，在上单调递减，‎ 当时，有最大值，当时，有最小值，‎ 对任意，恒有，.‎ 构造函数，则，‎ ‎，.‎ 函数在上单调增.‎ ‎，.‎ ‎21. 解：（1）点在且椭圆上，，‎ ‎，，‎ ‎，，椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 代入，整理得.‎ 直线过椭圆的右焦点，方程有两个不等实根.‎ 记，中点，‎ 则，，，‎ 垂直平分线的方程为.‎ 令，得.‎ ‎，.的取值范围为.‎ ‎（3），‎ 而，‎ 由，可得.‎ 所以.‎ 又，所以.‎ 所以的面积为.‎ 设，则.‎ 可知在区间单调递增，在区间单调递减.‎ 所以，当时，有最大值.‎ 所以，当时，的面积有最大值.‎ ‎22.解：（1）当时，，导数，‎ ‎，‎ 即函数的图象在处的切线斜率为，切点为，‎ 函数的图象在处的切线方程为，‎ ‎，，‎ ‎，；‎ ‎（2）时，函数在的解析式是，‎ 导数，‎ 函数在内是增函数，‎ 即在内恒成立，，‎ 时，.‎ ‎，故的取值范围是；‎ ‎（3）假设在点处的切线与在点处的切线平行，‎ 设点，，，‎ 则由题意得点、的横坐标与中点的横坐标相等，且为，‎ 时，，，‎ 在点处的切线斜率为，‎ 由于两切线平行，则，‎ 即，则两边同乘以，得，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 设，则，①，‎ 令，，则，‎ ‎，，在上单调递增，‎ ‎，，这与①矛盾，假设不成立，‎ 故在点处的切线与在点处的切线不平行.‎