2019-2020学年甘肃省高台一中高二上学期期末模拟数学（理）试题

2019-2020学年甘肃省高台一中高二上学期期末模拟数学（理）试题

高台一中2019-2020学年上学期期末模拟试卷 高二理科数学 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为 A． B． C． D．‎ ‎2．已知，且，则下列不等式恒成立的是 A． B． C． D．‎ ‎3．已知椭圆的一个焦点为，离心率为，则 A． B． C． D．‎ ‎4．已知等差数列的前项和为，且公差，若，，成等比数列，则 A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎5．已知函数，当时，取得最小值为，则 A． B． C． D．‎ ‎6．在中，角，，的对边分别为，，，，若的面积为，的周长为，则 A． B． C． D．‎ ‎7．已知命题，命题，，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．若，满足不等式组，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎9．下列命题中正确的个数为 ‎①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；‎ ‎②“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎③若为假命题，则，均为假命题；‎ ‎④若命题，，则，．‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知首项为的正项数列满足，若，则实数 A． B． C． D．‎ ‎12．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______________．‎ ‎14．在中，，，，则边上中线的长为______________．‎ ‎15．已知为抛物线的焦点，点与点在抛物线上，且 ‎，，为坐标原点，的面积为，的面积为，若，则的最小值为______________．‎ ‎16．在正三棱柱中，已知，，分别为，的中点，点在直线上，且．若平面与平面所成的二面角的平面角的大小为，则实数的值为______________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知函数，且不等式的解集为．‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在中，角，，的对边分别为，，，已知，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求的值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知命题关于的方程有实数根，命题．‎ ‎（1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，若是真命题，求实数的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 设数列是公比的等比数列，，且，，成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和；‎ ‎（3）设，数列的前项和为，求不小于的最小整数．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点为，准线为，若点在抛物线上，点在直线上，且是周长为的等边三角形．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线在点处的切线与直线交于点，求的面积的最小值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，，为的中点．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）若为的中点，在棱上是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ 高二理科数学·参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C D B D C C A C B A A B ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，所以不等式即，‎ 因为的解集为，所以的两个根分别为，，（2分）‎ 所以，，‎ 所以，．（4分）‎ ‎（2）由（1）知，‎ 则原问题等价于对任意的，不等式恒成立，‎ 即当时，．（6分）‎ 令，，则，‎ 易知函数在上单调递增，，所以，（8分）‎ 所以，故实数的取值范围为．（10分）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由及正弦定理可得，（2分）‎ 又，所以，所以，所以，（4分）‎ 又，则，所以．（6分）‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为的面积为，所以，解得，（8分）‎ 又，所以，（10分）‎ 所以．（12分）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为关于的方程有实数根，‎ 所以，即，解得或；‎ 所以当为真命题时，的取值范围为，（2分）‎ 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，（4分）‎ 所以或，即或，‎ 故实数的取值范围为．（6分）‎ ‎（2）当时，命题即，‎ 因为是真命题，所以命题与至少有一个是真命题，（8分）‎ 当命题与均为假命题时，，即，（10分）‎ 所以当命题与至少有一个是真命题时，或，‎ 故实数的取值范围为．（12分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】（1）因为，，成等差数列，所以，即，‎ 又，所以，即，解得，（2分）‎ 所以．（3分）‎ ‎（2）由（1）知，所以，（4分）‎ 所以，‎ ‎，（5分）‎ 上述两式相减可得，‎ 整理可得．（7分）‎ ‎（3）由（1）可知，‎ 所以，（8分）‎ 所以，‎ 所以，（10分）‎ 所以，所以，（11分）‎ 所以不小于的最小整数为．（12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为是周长为的等边三角形，所以，（1分）‎ 由抛物线的定义可得，设准线与轴交于点，‎ 则，从而，（3分）‎ 在中，，即，‎ 所以抛物线的标准方程为．（5分）‎ ‎（2）由题可知直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 将代入，消去可得．‎ 设，，则，，（6分）‎ 所以，‎ 设过点的切线方程为，‎ 将代入，消去可得，‎ 又，所以，即，‎ 所以，解得，‎ 所以过点的切线方程为，即，（8分）‎ 令，可得，则，所以，‎ 所以点到直线的距离，（10分）‎ 所以，当且仅当时，等号成立，‎ 所以的面积的最小值为．（12分）‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，．‎ ‎【解析】（1）因为平面底面，，‎ 所以底面，所以，‎ 又底面为正方形，所以，（2分）‎ 因为,所以平面，‎ 又平面，所以平面平面．（4分）‎ ‎（2）易知，，互相垂直，‎ 如图，以为原点建立空间直角坐标系，‎ 不妨设，可得，，，，‎ 所以，，（5分）‎ 因为为的中点，所以，所以，‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即，令，可得，，‎ 所以为平面的一个法向量，（6分）‎ 设直线与平面所成的角为，则，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为．（8分）‎ ‎（3）由（2）可得，，，，‎ 假设在棱上存在点，使得，设，‎ 故，（10分）‎ 由，可得，‎ 所以，解得，此时．‎ 故在棱上存在点，使得，．（12分）‎