2018-2019学年宁夏银川一中高一上学期期中考试数学试卷+Word版含解析

2018-2019学年宁夏银川一中高一上学期期中考试数学试卷+Word版含解析

‎2018-2019学年宁夏银川一中高一上学期期中考试数学试卷+Word版含解析 ‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用补集的定义求出集合B的补集，利用交集的定义求出．‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴ ={﹣1，2}‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎2.函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．‎ ‎【详解】由解，得x＞0且x≠1．‎ ‎∴函数f（x）=+lgx的定义域是（0，1）∪（1，+∞）．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】常见基本初等函数定义域的基本要求 ‎(1)分式函数中分母不等于零．‎ ‎(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.‎ ‎(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.‎ ‎(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．‎ ‎(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.‎ ‎(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．‎ ‎3.函数在区间上的最小值是（ ）‎ A. B. C. -2 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用函数的单调性，求出函数闭区间上的最小值即可．‎ ‎【详解】函数f（x）=（）x在区间[﹣1，1]上是减函数，‎ 所以函数的最小值为：f（1）=．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数的单调性的应用，基本知识的考查．‎ ‎4.下列函数中，在区间上单调递减的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析给定四个函数在区间（0，+∞）上的单调性，可得结论．‎ ‎【详解】函数y=log2x在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；‎ 函数y=在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；‎ 函数y=|x|在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；‎ 函数y=在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性，熟练掌握各种基本初等函数的单调性是解答本题的关键．‎ ‎5.已知函数，则（ ）‎ A. -1 B. ‎0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数，通过函数的周期性，转化求解函数值即可．‎ ‎【详解】函数f（x）=，则f（﹣3）=f（﹣3+2）=f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1）=log21=0．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．‎ ‎6.已知幂函数在上是增函数，则实数（ ）‎ A. 2 B. ‎-1 C. -1或2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义与性质，列出方程组求出m的值．‎ ‎【详解】幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上增函数，‎ 则，‎ 解得m=2．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．‎ ‎7.已知，则函数与函数的图象可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，，的函数与函数互为反函数，二者的单调性一至，且图象关于直线对称，故选D.‎ ‎【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查指数函数、对数函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.‎ ‎8.设是函数的零点，且，则的值为（ ）‎ A. 0 B. ‎1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为函数是单调递增函数，，故，所以，故选B.‎ ‎9.函数的单调减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得﹣x2+4x+5≥0，解不等式结合二次函数的性质和复合函数的单调性可得答案．‎ ‎【详解】由﹣x2+4x+5≥0可解得﹣1≤x≤5，‎ 结合二次函数的性质和复合函数的单调性可得：‎ 函数y=的单调减区间是 故选：C．‎ ‎【点睛】复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．‎ ‎10.函数的零点个数为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查的是函数零点的个数判定问题．在解答时，可先结合函数的特点将问题转化为研究两个函数图象交点的问题．继而问题可获得解答．‎ ‎【详解】由题意可知：‎ 要研究函数f（x）的零点个数，‎ 只需研究函数y=，y=x2的图象交点个数即可．‎ 画出函数y=2x，y=x2的图象 由图象可得有3个交点，如第一象限的A（-2，4），B（-4，16）及第一象限的点C．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查的是函数零点的个数判定问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．‎ ‎11.下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数与对数函数单调性即可判断结论．‎ ‎【详解】A．∵＜，∴log52＜log32，因此不正确．‎ B．∵0.93＜1＜30.9，因此不正确．‎ C．∵log0.32＜0＜0.32，因此不正确．‎ D．∵=﹣log32＞﹣1，=﹣log23＜﹣1，∴∵＞．因此正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了指数与对数函数单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，为奇函数，函数化简得出：，，‎ ‎，当时，，当时，，当时，，函数的值域为，故选D.‎ ‎【方法点睛】本题考查函数的值域、指数式的运算以及新定义问题，属于难题. ‎ 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义高斯函数达到考查函数的值域、指数式的运算的目的.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令t=x-1，则x=t+1，代入可得f（t），即可得到f（x）的解析式 ‎【详解】由函数，‎ 令t=x-1，则x=t+1，‎ 即有f（t）=2（t+1）+1=2t+3，‎ 即f（x+1）=2x+5．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法，注意运用换元法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎14.函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由loga1=0得2x﹣3=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标．再设出幂函数的表达式，利用点在幂函数的图象上，求出α的值，然后求出幂函数的表达式即可得出答案．‎ ‎【详解】∵loga1=0，‎ ‎∴当2x﹣3=1，即x=2时，y=4，‎ ‎∴点M的坐标是P（2，4）．‎ 幂函数f（x）=xα的图象过点M（2，4），‎ 所以4=2α，解得α=2；‎ 所以幂函数为f（x）=x2‎ 则f（3）=9．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点睛】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用loga1=0，考查求幂函数的解析式，同时考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎15.已知，则_________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得代入目标，利用换底公式即可得到结果.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题考查对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎16.定义在上的偶函数满足：对任意的（），有，且，则不等式的解集是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性与单调性得到关于x的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】由题意：在区间（﹣∞，0]上，f（x）是减函数，又是偶函数，‎ 则在区间（0，+∞）上，f（x） 是增函数．‎ 由＜0⇒＜0，‎ 则或，又f（2）=0，‎ 所以或，‎ ‎⇒x＜﹣2或0＜x＜2．‎ 故不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，2），‎ 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．‎ ‎【点睛】函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.计算：（1）；‎ ‎（2）已知，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用指数运算性质即可得出．‎ ‎（2）由已知可得：x+x﹣1=﹣2，x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2，即可得出．‎ ‎【详解】（1）原式=﹣4﹣1+=+4﹣5+=﹣．‎ ‎（2）由已知可得：x+x﹣1=﹣2==3．‎ x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=32﹣2=7．‎ 原式==﹣．‎ ‎【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎18.已知.‎ ‎（1）判断的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）当时，判断函数在单调性，并证明你的判断.‎ ‎【答案】（1）为奇函数，理由见解析；（2）减函数，证明见解析。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）f（x）为奇函数．求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较即可得到；‎ ‎（2）f（x）在（0，1）为单调递减函数．运用定义法证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论．‎ ‎【详解】（1）为奇函数。理由如下：‎ 由题意得的定义域为，它关于原点对称，‎ 对于任意，‎ ‎，‎ ‎∴是奇函数.‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴不是偶函数，‎ ‎∴是奇函数，不是偶函数；‎ ‎（2）当时，函数在上是单调减函数.‎ 证明：设，‎ 则.‎ ‎，‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴在区间上是减函数.‎ ‎【点睛】证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.‎ ‎19.已知函数 ‎（1）在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出的单调区间；‎ ‎（2）若函数有四个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）图象见解析，的单调递增区间为和，单调递减区间为和；（2）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）画出函数的图象，然后写出函数的单调区间即可．‎ ‎（2）利用函数的值域，结合函数的图象，写出结果即可．‎ ‎【详解】（1）函数的图象如图所示，‎ ‎ ‎ 由图象可得函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和；‎ ‎（2）由函数的图象可知，当且仅当时，函数有四个零点，‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】函数零点的求解与判断 ‎(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且 ‎，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ ‎20.已知集合，.‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求解指数不等式，能求出集合A．‎ ‎（2）由A={x|﹣4≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤‎3m﹣1}，B⊆A，当B=∅时，m+1＞‎3m﹣1，当B≠∅时，列出不等式组，由此能求出实数m的取值范围．‎ ‎【详解】（1）∵，∴2﹣3≤2x+1≤24，‎ ‎∴﹣3≤x+1≤4，解得﹣4≤x≤3，‎ ‎∴集合A={x|≤2x+1≤16}={x|﹣4≤x≤3}．‎ ‎（2）∵A={x|﹣4≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤‎3m﹣1}，B⊆A，‎ ‎∴当B=∅时，m+1＞‎3m﹣1，解得m＜1，满足题意；‎ 当B≠∅时，，解得1≤m≤．‎ 综上，实数m的取值范围是（﹣∞，]．‎ ‎【点睛】防范空集.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）判断函数在的单调性.（不需要证明）；‎ ‎（2）探究是否存在实数，使得函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，解不等式.‎ ‎【答案】（1）增函数；（2）存在实数满足条件，且当时，是奇函数；（3）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数解析式，利用作差法明确函数的单调性；‎ ‎（2）根据奇函数的定义，我们令f（x）+f（﹣x）=0，由此构造关于a的方程，解方程可得a的值；‎ ‎（3）根据（2）中条件可得函数的解析式，根据指数函数的性质及二次函数的性质及恒成立的实际意义，可得实数t的取值范围．‎ ‎【详解】（1）任取x1，x2∈R且x1＜x2，‎ 则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，‎ ‎∵y=3x在R上是增函数，且x1＜x2，‎ ‎﹣＜0，+1＞0，+1＞0，‎ ‎∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），‎ ‎∴函数f（x）在R上是增函数．‎ ‎（2）f（x）=a﹣是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），‎ 即a﹣=﹣（a﹣），‎ ‎2a‎=+=+=1，‎ 故a=，‎ ‎∴当a=时，f（x）是奇函数．‎ ‎（3）在（2）的条件下，f（x）是奇函数，‎ 则由f（t2+1）+f（2t﹣4）≤0，‎ 可得：f（t2+1）≤﹣f（2t﹣4）=f（4﹣2t），‎ 又f（x）在R上是增函数，则得t2+1≤4﹣2t，﹣3≤t≤1，‎ 故原不等式的解集为：{t|﹣3≤t≤1}．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数的奇偶性和单调性，函数恒成立问题，其中熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义及证明方法是解答的关键．‎ ‎22.已知函数是定义在上的偶函数，当时，.‎ ‎（1）直接写出函数的增区间（不需要证明）；‎ ‎（2）求出函数，的解析式；‎ ‎（3）若函数，，求函数的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由偶函数的性质结合二次函数的性质分析可得答案；‎ ‎（2）设x＞0，结合函数的奇偶性，从而得到函数的解析式；‎ ‎（3）先求出g（x）的表达式，求出对称轴，通过讨论对称轴的位置，得到函数g（x）的最值 ‎【详解】（1）根据题意，f（x）的增区间为（﹣1，0）、（1，+∞）；‎ ‎（2）根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，‎ 又由f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，‎ f（x）=f（﹣x）=x2+2x；‎ 故函数的解析式为f（x）=；‎ ‎（3）由（2）可得当x∈[1，2]，f（x）=x2﹣2x，‎ 则g（x）=f（x）﹣2ax+2=x2﹣2（a+1）x+2，‎ 对称轴方程为：x=a+1，‎ ‎①当a+1≤1时，g（x）min=g（1）=1﹣‎2a为最小；‎ ‎②当1＜a+1≤2时，g（x）min=g（a+1）=﹣a2﹣‎2a+1为最小；‎ ‎③当a+1＞2时，g（x）min=g（2）=2﹣‎4a为最小 故g（x）=．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意结合二次函数的性质分析函数的最值．‎ ‎ ‎