2020届二轮复习数列求和及其综合应用学案（全国通用）

2020届二轮复习数列求和及其综合应用学案（全国通用）

数列求和与综合应用 ‎【考纲要求】‎ ‎1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；‎ ‎2. 掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式 ‎3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前项和的几种常用方法；‎ ‎4.能解决简单的实际问题.‎ ‎【知识网络】‎ 数列前n项和 公式法 错位相减 倒序相加 裂项相消 分组求和 综合应用 与函数、方程、不等式等 与几何、实际问题等 ‎【考点梳理】‎ 纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.‎ 与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题.‎ 有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等.‎ 有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题. 数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑. ‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：数列与函数的综合应用 例1.对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中；一般地，规定为的k阶差分数列，其中且k∈N*，k≥2。‎ ‎（1）已知数列的通项公式。试证明是等差数列；‎ ‎（2）若数列的首项a1=―13，且满足，求数列及的通项公式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，判断是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。‎ 解析：（1）依题意：，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴数列是首项为1，公差为5的等差数列。‎ ‎（2），‎ ‎（3）令，‎ 则当时，函数单调递减；‎ 当时，函数单调递增；‎ 又因，‎ 而，‎ 所以当n=2时，数列an存在最小值，其最小值为－18。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知数列的首项，，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：对任意的，，；‎ ‎（Ⅲ）证明：．‎ 解析：（Ⅰ），，，‎ 又，是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎，．‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 则 ‎，当时，；当时，，‎ 当时，取得最大值．‎ 原不等式成立．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有 ‎． ‎ 令，则，‎ ‎．‎ 原不等式成立．‎ 函数的极值和最值388566 典型例题三】‎ ‎【变式2】已知数列和满足：，，其中为实数，n为正整数.‎ ‎（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；‎ 解析：（Ⅰ）假设存在实数，使得数列是等比数列，则，，必然满足 由得，显然矛盾，‎ 即不存在实数使得数列是等比数列。‎ ‎（Ⅱ）根据等比数列的定义：‎ 即 又 所以当时，数列不是等比数列；当时，数列是等比数列.‎ 类型二：数列与不等式 例2. (2017 江苏高考)记U={1,2,…，100}.对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若,定义ST=0;若T={t1，t2，…，tk}，定义.例如：T={1,3,66}时，.现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2,4}时，.‎ (1) 求数列的通项公式；‎ (2) 对任意正整数，若，求证：；‎ (3) 设,求证：.‎ ‎【解析】（1）由已知得.‎ 于是当T={2,4}时，.‎ 又，故，即.‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）因为，，‎ 所以.‎ 因此，.‎ ‎（3）下面分三种情况证明.‎ ‎①若是的子集，则.‎ ‎②若是的子集，则.‎ ‎③若不是的子集，且不是的子集.‎ 令，则，，.‎ 于是，，进而由，得.‎ 设是中的最大数，为中的最大数，则.‎ 由（2）知，，于是，所以，即.‎ 又，故，‎ 从而，‎ 故，所以，‎ 即.‎ 综合①②③得，.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】（2015重庆高考）在数列{an}中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N+）‎ ‎（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由λ=0，μ=﹣2，有 （ n∈N+）．‎ 若存在某个n0∈N+，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，‎ ‎∴对任意n∈N+，an≠0．‎ 从而an+1=2an（n∈N+），即{an}是一个公比q=2的等比数列．‎ 故．‎ ‎（Ⅱ）证明：由，数列{an}的递推关系式变为 ‎，变形为：（n∈N）．‎ 由上式及a1=3＞0，归纳可得 ‎3=a1＞a2＞…＞an＞an+1＞…＞0．‎ ‎∵=，‎ ‎∴对n=1，2，…，k0求和得：‎ ‎=‎ ‎＞．‎ 另一方面，由上已证的不等式知，，‎ 得=2+．‎ 综上，2+＜＜2+．‎ ‎【变式2】设数列的前项和为．已知，，．‎ ‎（Ⅰ）设，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的取值范围．‎ 解析：（Ⅰ）依题意，，即，‎ 由此得．‎ 因此，所求通项公式为，．①‎ ‎（Ⅱ）由①知，，‎ 于是，当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，．‎ 又．‎ 综上，所求的的取值范围是．‎ 类型三：实际应用问题 例3.某地区现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加，人均粮食占有量比现在提高，如果人口年增长率为，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）‎ 解析：方法一：由题意，设现在总人口为人，人均粮食占有量为吨，现在耕地共有公顷，于是现在的粮食单产量吨/公顷，10年后总人口为，人均粮食占有量吨，若设平均每年允许减少公顷，则10年耕地共有()公顷，于是10年后粮食单产量为吨/公顷.‎ 由粮食单产10年后比现在增加得不等式：‎ 化简可得 即，‎ ‎∴(公顷)‎ 答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.‎ 方法二：由题意，设现在总人口为人，粮食单产为吨/公顷，现在共有耕地公顷，于是现在人均粮食占有量吨/人，10年后总人口为，粮食单产吨/公顷，若设平均每年允许减少公顷，则10年后耕地将有()公顷，于是10年后粮食总产量为，人均粮食占有量为，由人均粮食占有量10年后比现在增加得不等式：‎ ‎，（余与上同）.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足.按比例预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是（ ）‎ A．5月、6月 B．6月、7月 C．7月、8月 D．9月、10月 ‎【答案】C； ‎ 解析：第个月份的需求量超过万件，则 解不等式，得，即.‎ ‎【变式2】某地区原有森林木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材存量.‎ ‎（1）写出的表达式.‎ ‎（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于,如果，那么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取）.‎ 解析：（1）依题意，第一年森林木材存量为，‎ ‎1年后该地区森林木材存量为：，‎ ‎2年后该地区森林木材存量为：，‎ ‎3年后该地区森林木材存量为：，‎ ‎4年后该地区森林木材存量为：，‎ ‎… … ‎ 年后该地区森林木材存量为：‎ ‎（2）若时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于，‎ 即 ，‎ 解得，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 答：经过8年该地区就开始水土流失.‎ ‎【变式3】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）‎ ‎【答案】设汽车使用年限为年，为使用该汽车平均费用.‎ 当且仅当，即（年）时等到号成立.‎ 因此该汽车使用10年报废最合算.‎ ‎【变式4】某市2010年底有住房面积1200万平方米，计划从2011年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.‎ ‎（1）分别求2011年底和2012年底的住房面积；‎ ‎（2）求2030年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）‎ ‎【答案】‎ ‎（1）2011年底的住房面积为1200(1+5%)－20=1240（万平方米），‎ ‎2012年底的住房面积为1200(1+5%)2－20(1+5%)－20=1282（万平方米），‎ ‎∴2011年底的住房面积为1240万平方米；‎ ‎2012年底的住房面积为1282万平方米. ‎ ‎（2）2011年底的住房面积为[1200(1+5%)－20]万平方米，‎ ‎2012年底的住房面积为[1200(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米，‎ ‎2013年底的住房面积为[1200(1+5%)3－20(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米，‎ ‎…………‎ ‎2030年底的住房面积为[1200(1+5%)20―20(1+5%)19―……―20(1+5%)―20] 万平方米 即1200(1+5%)20―20(1+5%)19―20(1+5%)18―……―20(1+5%)―20‎ ‎≈2522.64（万平方米），‎ ‎∴2030年底的住房面积约为2522.64万平方米.‎