2018-2019学年安徽省亳州市第二中学高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版
安徽省亳州市第二中学2018—2019学年度第二学期期末质量检测
高二理科数学试卷
（本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。）
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则 ( )
A．i∈S B．i2∈S
C．i3∈S D.∈S
2．正数a、b、c、d满足a＋d＝b＋c，|a－d|<|b－c|，则( )
A．ad＝bc B．ad
bc D．ad与bc的大小关系不定
3． （ ）
A. B. C. 0 D.
4．x2＋y2＝1经过伸缩变换后所得图形的焦距( )
A．2 B．2 C．4 D．6
5．的展开式中的系数为 （ ）
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80
6．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝，
从n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是 ( )
A．(k－1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2
C．(k＋1)2 D．(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
7．已知离散型随机变量X的分布列如图，则常数C为 ( )
A. B. C. 或 D.
8.在满分为15分的中招信息技术考试中，初三学生的分数，若某班共有54名学生，则这个班的学生该科考试中13分以上的人数大约为 （ ）
（附：）
A. 6 B. 7 C. 9 D. 10
9．已知直线(t为参数)与圆x2＋y2＝8相交于B、C两点，则|BC|的值为 ( )
A．2 B． C．7 D．
10．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是 ( )
11．某地举办科技博览会，有个场馆，现将个志愿者名额分配给这个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种
A． B． C． D．
12.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D
上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是 ( )
A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知是虚数单位,若,则________
14．若，则的值为____．
15. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝____
16．若函数在区间上为单调增函数，则的取值范围是__________
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
18. （本小题满分12分）为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：
支付方式
微信
支付宝
购物卡
现金
人数
200
150
150
100
现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率.
（Ⅰ）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率；
（Ⅱ）记X为三人中使用支付宝支付的人数，求X的分布列及数学期望.
19.（本小题满分12分）设a>0且a≠1，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋alnx.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率；
(2)求函数f(x)的极值点．
20．（本小题满分10分）
已知曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，求曲线C上的点到直线的最大距离.
21．（本小题满分12分）我校食堂管理人员为了解学生在校月消费情况，随机抽取了 100名学生进行调查.如图是根据调査的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.
（1）求
的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“高消费群”与性别有关？
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.005
K0
2.706
3.841
6.635
7.879
22.（本小题满分12分）已知函数
(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在的下方．
试题答案
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
BCDAC BAC BC AD
12.若f(x)＝sinx＋cosx，则f″(x)＝－sinx－cosx，
在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；
若f(x)＝lnx－2x，则f″(x)＝－，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；
若f(x)＝－x3＋2x－1，则f″(x)＝－6x，在x∈(0，)上，恒有 f″(x)<0；
若f(x)＝－xe－x，则f″(x)＝2e－x－xe－x＝(2－x)e－x.
在x∈(0，)上，恒有f″(x)>0，故选D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分）
13. 14. 15. －1 16 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、解题过程或演算步骤）
17.(1)选择(2)式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝. -----4分
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝. -----6分
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝. -----12分
18.解：(1)由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分别为，设Y为三人中使用微信支付的人数，Z为使用现金支付的人数，事件A为“三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数”，
则P(A)=P(Y=3)+P(Y=2)+P(Y=1且Z=0)
=
= ………6分
(2)由题意可知,故所求分布列为
X
0
1
2
3
P
………10分
E(X)= ………12分
19.(1)由已知得x>0.
当a＝2时，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，
所以曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为. ---------6分
(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋
＝＝.
由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a． ---------7分
①当00，函数f(x)单调递增；
当x∈(a,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
此时x＝a时f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点．--------9分
②当a>1时，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(1，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．--------11分
综上，当01时，x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．-----12分
20. 解：(1)由，消去，得
将代入得，
化简得 =0 ………5分
(2) 由，得，即
圆心到直线的距离
所以C上点到直线的最大距离为 ………10分
21.解：（1）由题意知且
解得 ---------2分
所求平均数为（元）----5分
（2）根据频率分布直方图得到如下列联表
------7分
根据上表数据代入公式可得----11分
所以没有的把握认为“高消费群”与性别有关. -----12分
22．解：(1)因为f(x)＝x2＋ln x，所以f′(x)＝2x＋.
因为x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函数，
所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2. ------6分
(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－x3＋ln x，
所以F′(x)＝x－2x2＋＝＝＝.
因为x>1，所以F′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上是减函数，
所以F(x)
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