山西省芮城市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

山西省芮城市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

数学试卷 时间：120 分钟 总分：150 分 姓名： ‎ 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）‎ ‎1. 直线 的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 直线 y+2=k（x+1）恒过点（ ）‎ A. （2，1） B. （-2，-1） C. （-1，-2） D. （1，2）‎ ‎3. 经过点且在两轴上截距相等的直线是( )‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎ ‎4. 设 A（3，2，1），B（1，0，5），C（0，2，1），AB 的中点为 M，则|CM|=（ ）‎ A. 3 B. C. D. ‎ ‎5. 已知直线 l1；2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，若 l1⊥l2，则 a 的值为（ ）.‎ A. 8 B. 2 C. - D. -2‎ ‎6. 若圆 C1：（x-1）2+（y-1）2=4 与圆 C2：x2+y2-8x-10y+m+6=0 外切，则 m=（ ）‎ A. 22 B. 18 C. 26 D.‎ ‎7. 直线 3x+4y-2=0 和直线 6x+8y+1=0 的距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 某班有学生 60 人，将这 60 名学生随机编号为号，用系统抽样的方法从中抽出 4 名学生，已知 3 号、33 号、48 号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）‎ A. 28 B. 23 C. 18 D. 13‎ 9. 已知直线 l 过圆 x2＋(y－3)2＝4 的圆心，且与直线 x＋y＋1＝0 垂直，则 l 的方程是( )‎ A. x＋y－2＝0 B. x－y＋2＝0‎ C. x＋y－3＝0 D. x－y＋3＝0‎ 10. 若执行右侧的程序框图，当输入的 x 的值为 4 时，输出的 y 的值为 2，则空白判断框中的条件可能为（ ）‎ A. x＞3‎ B. x＞4‎ C. x≤4‎ D. x≤5‎ ‎11. 圆（x-1）2+（y-2）2=1 关于直线 x-y-2=0 对称的圆的方程为（ ）‎ A. （x-4）2+（y+1）2=1 B. （x+4）2+（y+1）2=1‎ C. （x+2）2+（y+4）2=1 D. （x-2）2+（y+1）2=1‎ 12. 当点 P 在圆 上运动时，它与定点 相连，线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程是 ‎ A. B.‎ C. D.‎ 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）‎ 13. 已知 ， ，以 AB 为直径的圆的标准方程为 ．‎ 14. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．‎ 15. 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对照数据， 根据下表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=0.75x+0.35，那么表中 m= ．‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ m ‎4‎ ‎4.5‎ 16. 已知实数 x，y 满足 x2+y2=1，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）‎ 17. 某函数的解析式由如图所示的程序框图给出．‎ （1） 写出该函数的解析式；‎ （2） 若执行该程序框图，输出的结果为 9，求输入的实数 x 的值．‎ 使用年限 x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 总费用 y ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ 12. 已知直线经过点 ，且斜率为 ．‎ （1） 求直线的方程．‎ （2） 求与直线平行，且过点(2,3)的直线方程．‎ （3） 求与直线垂直，且过点(2,3)的直线方程．‎ 13. 某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况,抽查了 100 名学生,统计他们假期参加实践活动的时间, 绘成的频率分布直方图如图所示．‎ 求这 100 名学生中参加实践活动时间在小时内的人数； 估计这 100 名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数 ‎（ 1）在给出的坐标系中做出散点图；‎ （2） 求线性回归方程 = x+ 中的 、；‎ （3） 估计使用年限为 12 年时，车的使用总费用是多少？‎ ‎（最小二乘法求线性回归方程系数公式 =， = - ）．‎ ‎21. 已知△ABC 的三个顶点分别为 A(－3,0)，B(2，1)，C(－2,3)，求：‎ (1) BC 边上中线 AD 所在直线的方程；‎ (2) BC 边的垂直平分线 DE 的方程；‎ (3) ‎△ABC 的外接圆方程。‎ ‎22. 已知直线和圆 O：， 为何值时，没有公共点；‎ 为何值时，截得的弦长为 2；‎ 若直线和圆交于 A、B 两点，此时，求 m 的值．‎ ‎20. 随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年 限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购 ‎ 车一族非常关心的问题．某汽车销售公司作了一次抽 样调查，并统计得出某款车的使用年限 x 与所支出的总费用 y（万元）有如表的数据资料：‎ 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. D 2. C 3. D 4. A 5. D 6. C 7. B 8. C 9. D 10. B 11. A 12. B ‎ ‎13. （x-1）2+（y-1）2=13  ‎ ‎14. 18  ‎ ‎15. 3.9  ‎ ‎16. [，+∞）  ‎ ‎17. 解：（1）程序框图给出的函数的解析式为：． （2）若执行该程序框图，输出的结果为9，则： 当x＜1时，2-x=9，x=-7； 当x≥1时，2x+1=9，x=3， 所以x=-7或3．  ‎ ‎18. 解：（1）由点斜式可得：直线l的方程为：y-5=-（x+2）， 整理得：3x+4y-14=0; （2）设所求直线方程为：3x+4y+m=0，代入（2，3）点，6+12+m=0，解得m=-18． ∴直线方程为：3x+4y-18=0; （3）所求直线方程为：4x-3y+n=0，代入（2，3）点，8-9+n=0，解得n=1． ∴直线方程为：4x-3y+1=0．  ‎ ‎19. 解：（1）依题意，100名学生中参加实践活动的时间在6～10小时内的人数为： 100×[1-（0.04+0.12+0.05）×2]=58， 即这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时内的人数为58． （2）由频率分布直方图可以看出最高矩形横轴上的中点为7， 故这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时， 由（0.04+0.12+0.15+a+0.05）×2=1，解得a=0.14， 则， 即这100名学生参加实践活动时间的中位数为7.2小时， 这100名学生参加实践活动时间的平均数为： 0.04×2×3+0.12×2×5+0.15×2×7+0.14×2×9+0.05×2×11=7.16小时．  ‎ ‎20. 解：（1）散点图如图，由图知y与x间有线性相关关系． ； （2）∵=4，=5， xiyi=112.3，=90， ∴===1.23； ‎ ‎=-x=5-1.23×4=0.08． （3）线性回归直线方程是=1.23x+0.08， 当x=12（年）时，=1.23×12+0.08=14.84（万元）． 即估计使用12年时，支出总费用是14.84万元．  ‎ ‎21. 解：(1)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，‎ 则,‎ 所以BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，‎ 由截距式得AD所在直线方程为，‎ 即2x－3y＋6＝0;‎ ‎(2)直线BC的斜率，‎ 则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2,‎ 由(1)知，点D的坐标为(0,2),‎ 由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，‎ 即2x－y＋2＝0;‎ ‎(3)设△ABC的外接圆方程为，‎ 将A(－3,0)，B(2，1)，C(－2,3)，代入方程得,‎ 解得，‎ 所以圆的方程为.‎ ‎  ‎ ‎22. 解：（1）由已知，圆心为O（0，0），半径r=，圆心到直线2x-y+m=0的距离d==， ‎ ‎∵直线与圆无公共点，∴d＞r，即＞， ∴m＞5或m＜-5． 故当m＞5或m＜-5时，直线与圆无公共点． （2）由平面几何垂径定理知r2-d2=12，即5-=1． 得m=±2， ∴当m=±2时，直线被圆截得的弦长为2． （3）由于交点处两条半径互相垂直， ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， ∴d=r，即=•， 解得m=±． 故当m=±时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 解：直线的斜截式方程为：y=x+3，直线的斜率为：． 故选：D． 利用直线方程直接求解直线的斜率即可． 本题考查直线方程的应用，斜率的求法，考查计算能力．‎ ‎2. 解：∵直线y+2=k （x+1）， ∴由直线的点斜式方程可知直线恒过点（-1，-2）． 故选：C． 直接由直线的点斜式方程可得． 本题考查直线恒过定点问题，利用点斜式方程是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎3. 【分析】‎ 本题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，进而即可求得结果．‎ ‎【解答】‎ 解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为 0时，设该直线的方程为x+y=a， 把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx， 把（1，1）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为y=x． 综上所求直线的方程为x+y=2或x-y=0． 故选D.    ‎ ‎4. ‎ ‎【分析】 本题考查了中点坐标公式和两点间的距离公式，利用中点坐标公式和两点间的距离公式即可得出，属于基础题． 【解答】 解：设线段AB中点M（x，y，z），则=2，=1，=3， ∴M（2，1，3）． 则|CM|==3． 故选A．‎ ‎5. 【分析】 本题考查直线垂直的条件应用，属于基础题． ​由直线方程分别求出l1、l2的斜率，再由l1⊥l2得斜率之积为-1，列出方程并求出a的值． 【解答】 ​解：由题意得，l1：2x+y-2=0， l2：ax+4y+1=0， 则直线l1的斜率是-2，l2的斜率是-， ∵l1⊥l2， ​∴（-）×（-2）=-1，解得a=-2， 故选：D．‎ ‎6. 【分析】 本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的充要条件是：两圆圆心距等于两圆的半径之和． 先求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的圆心距等于两圆的半径之和，列方程解m的值． 【解答】‎ 解：圆化简得, 由圆的方程得C1（1，1），C2（4，5），半径分别为2和， ∵两圆外切，∴=+2，解得m=26． 故选C.‎ ‎7. 【分析】 本题考查了两平行直线间的距离，属于基础题. 直线6x+8y-4=0和直线6x+8y+1=0，代入两平行线间的距离公式，即可得到答案． 先把两平行直线的对应变量的系数化为相同的，再利用两平行线间的距离公式求出两平行线间的距离． 【解答】 解：由题意可得：3x+4y-2=0和直线6x+8y+1=0， 即直线6x+8y-4=0和直线6x+8y+1=0， 结合两平行线间的距离公式得： 两条直线的距离是d==， 故选：B．‎ ‎8. 【分析】 本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题． 根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4‎ 个个体的编号成等差数列，故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号． 【解答】 解：抽样间隔为48-33=15，故另一个学生的编号为3+15=18. 故选C．‎ ‎9. 解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1， 故l的方程是y -3=x-0，即x-y+3=0， 故选：D． 由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程． 本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．‎ ‎10. 【分析】 本题考查程序框图的应用，考查计算能力，属于基础题． 方法一：由题意可知：输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，则判断框中的条件是x＞4， 方法二：采用排除法，分别进行模拟运算，即可求得答案． 【解答】 解：方法一：当x=4，输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4， 故选B． 方法二：若空白判断框中的条件x＞3，输入x=4，满足4＞3，输出y=4+2=6，不满足，故A错误， 若空白判断框中的条件x＞4，输入x=4，满足4=4，不满足x＞3，输出y=y=log24=2，故B正确； 若空白判断框中的条件x≤4，输入x=4，满足4=4，满足x≤4，输出y=4+2=6，不满足，故C错误， 若空白判断框中的条件x≤5，输入x=4，满足4≤5，满足x≤5，输出y=4+2=6，不满足，故D错误， 故选B．‎ ‎11. 【分析】 本题主要考查求一个圆关于一条直线的对称的圆的方程的方法，关键是求出对称圆的圆心坐标，属于基础题． 【解答】 ​解：由于圆心（1，2）关于直线x-y-2=0对称的点的坐标为（4，-1），半径为1，‎ 故圆（x-1）2+（y-2）2=1关于直线x-y-2=0对称的圆的方程为（x-4）2+（y+1）2=1. 故选A． ‎ ‎12. 【分析】 本题给出定点与定圆，求圆上动点与定点连线中点的轨迹方程，考查了圆的方程与动点轨迹方程求法等知识，难度一般． 设动点P（x0，y0），PQ的中点为M（x，y），由中点坐标公式解出x0=2x-3，y0=2y，将点P（2x-3，2y）代入已知圆的方程，化简即可得到所求中点的轨迹方程． ​【解答】 解：设动点P（x0，y0），PQ的中点为M（x，y）， 可得x=（3+x0），y=y0， 解出x0=2x-3，y0=2y， ∵点P（x0，y0）即P（2x-3，2y）在圆x2+y2=1上运动， ∴（2x-3）2+（2y）2=1，化简得（2x-3）2+4y2=1‎ ‎，即为所求动点轨迹方程． 故选B．‎ ‎13. 【分析】 本题考查了中点坐标公式，两点间的距离公式以及圆的标准方程，解答本题的关键是灵活运用已知条件确定圆心坐标及圆的半径． 【解答】 ​解：设圆心为C， ​∵A（-1，4），B（3，-2）， ∴圆心C的坐标为（1，1）， ∴|AC|==，即圆的半径r=， 则以线段AB为直径的圆的方程是（x-1）2+（y-1）2=13． 故答案为（x-1）2+（y-1）2=13．‎ ‎14. 【分析】 本题的考察了分层抽样，分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目． 【解答】 解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60件进行检验， ​抽样比例为=， 则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件. 故答案为18.‎ ‎15. 【分析】 本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题目． ​根据表中数据，计算、，由线性回归方程过样本中心点（，），代入求出m的值． 【解答】‎ 解：根据表中数据，计算 =×（3+4+5+6）=4.5， =×（2.5+m+4+4.5）=， 又线性回归方程=0.75x+0.35过样本中心点（，）， ∴=0.75×4.5+0.35， 解得m=3.9． 故答案为3.9． ‎ ‎16. 【分析】 本题考查了已知两点坐标求斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式取值的等价转化的思想，属于中档题． 由题意，借助已知动点在单位圆上，而所求代数式可以看成在单位圆上的动点P与定点A 构成的斜率，进而求解． 【解答】 解：由题意作出如下图形： 令k=，则k可看作圆x2+y2=1上的动点P到定点A（-1，-2）的连线的斜率， 设直线方程为：y+2=k（x+1）， 化为直线一般式为：kx-y+k-2=0， 当直线与圆相切时，=1， ∴k=. 由于点A的横坐标与单位圆在x轴的交点横坐标一样， 此时过点A与单位圆相切的直线的倾斜角为90°，所以斜率无最大值． 综合可得，的取值范围是[，+∞）． 故答案为[，+∞）．‎ ‎17. （1）根据已知中程序框图的分支条件及各分支上对应的操作，可得分段函数f（x）的解析式； （2）分类讨论输出的结果为3时，输入的x值，最后综合讨论结果，可得答案． 本题考查的知识点是选择结构，分段函数，其中根据已知求出函数f（x）的解析式是解答的关键．‎ ‎18. 本题考查了直线的点斜式、平行与垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （1）由点斜式可得直线l的方程; （2）设所求直线方程为：3x+4y+m=0，代入（2，3）点，即可求解; （3）所求直线方程为：4x-3y+n=0，代入（2，3）点，即可求解．‎ ‎19. 本题考查频率分布直方图的应用，考查频数、中位数、众数、平均数等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题． （1）利用频率分布直方图能求出100名学生中参加实践活动的时间在6～10小时内的人数． （2）由频率分布直方图可以看出最高矩形横轴上的中点为7，由此能求出这100‎ 名学生参加实践活动时间的众数的估计值；由（0.04+0.12+0.15+a+0.05）×2=1，求出a=0.14，由此利用频率分布直方图能求出这100名学生参加实践活动时间的中位数和平均数．‎ ‎20. 本题考查了线性回归直线方程的求法及利用回归方程估计预报变量，解答此类问题的关键是利用公式求回归方程的系数，计算要细心． ​（1）利用描点法作出散点图； （2）把数据代入公式，利用最小二乘法求回归方程的系数，可得回归直线方程； （3）把x=12代入回归方程得y值，即为预报变量．‎ ‎21.  本题考查直线方程的求解及圆的一般方程,同时考查两直线垂直的条件，属于中档题.‎ ‎(1)求出D的坐标,然后利用截距式方程求解即可;‎ ‎(2)求出DE的斜率,然后利用斜截式方程求解即可;‎ ‎(3)设圆的一般式方程,然后将三点坐标代入求解即可.‎ ‎22. 本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． （1）求出圆心到直线2x-y+m=0的距离，利用直线与圆无公共点，可得d＞r，即可得出结论； （2）由平面几何垂径定理知r2-d2=12，即可得出结论； （3）由于交点处两条半径互相垂直，弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，即可得出结论．‎ ‎ ‎