2017-2018学年内蒙古集宁一中高二第一学期第三次月考数学（理）试题

2017-2018学年内蒙古集宁一中高二第一学期第三次月考数学（理）试题

集宁一中 2017-2018 学年高二年级第一学期 第三次月考数学试卷（ 理 ） 本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。 第 Ⅰ 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（在下列四个选项中，只有一项是最符合题意的.每小题 5 分，共 60 分） 1．“点 M 在曲线 y2＝4x 上”是“点 M 的坐标满足方程 2 x＋y＝0”的( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线 y＝1 2x＋1 平行，则它的离 心率为( ) A. 5B． 6C. 6 2 D． 5 2 3．执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的 k 值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．某校从 8 名教师中选派 4 名同时去 4 个边远地区支教(每地 1 名老师)，其中甲和乙 不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有( ) A．900 种 B．600 种 C．300 种 D．150 种 5．已知变量 X 服从正态分布 N(2,4)，下列概率与 P(X≤0)相等的是( ) A．P(X≥2) B．P(X≥4) C．P(0≤X≤4) D．1－P(X≥4) 6．设 z＝x＋y，其中实数 x，y 满足 x＋2y≥0 x－y≤0 0≤y≤k， 若 z 的最大值为 12，则 z 的最小值 为( ) A．－3 B．－6 C．3 D．6 7.一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为 的等腰三角形，则该 直三棱柱外接球的体积为（ ） A． B． C． 25 D． 25 5 8.某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取 1000 名成年人调查是否 吸烟及是否患有肺病，得到 2 2 列联表，经计算得 2 5.231K  ，已知在假设吸烟与患肺 病无关的前提条件下， 2 2( 3.841) 0.05, ( 6.635) 0.01P K P K    ，则该研究所可以（ ） A．有 95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” B．有 95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” C．有 99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”] D．有 99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” 9．将标号为 1,2,3,4 的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且 标号 1,2 的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( ) A．15 B．20 C．30 D．42 10．已知 0＜θ＜π 4 ，则双曲线 C1： x2 cos2θ － y2 sin2θ ＝1 与 C2： y2 sin2θ － x2 sin2θtan2θ ＝1 的( ) A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 11．盒中装有 6 件产品，其中 4 件一等品，2 件二等品，从中不放回地取产品，每次 1 件．取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是( ) A． 3 10 B． 3 5 C． 1 2 D． 2 5 12．抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝90°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 |MN→| |AB→| 的最大值为 ( ) A. 2 2 B． 3 2 C．1 D． 3 Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二．填空题(每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题纸上对应横线处) 13．已知 p(x)：x2＋2x－m>0，若 p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围 为________。 14．正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有个（用数字作 答）。 15. 在 46 )1()1( yx  的 展 开 式 中 ， 记 nm yx 项 的 系 数 为 ),( nmf ， 则  )3,0(2,1()1,2()0,3( ffff ） ________。 16.一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球，给出下列结论： ①从中任取 3 球，恰有一个白球的概率是 ； ②从中有放回的取球 6 次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为 ； ③现从中不放回的取球 2 次，每次任取 1 球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到 红球的概率为 ； ④从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 .其中所 有正确结论的序号是________． 三．解答题(共 6 个题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 在(2x－3y)10 的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和 (5)x 的奇次项系数和． 18.如图，已知平行四边形 ABCD 中， 2AD  ， 2CD  ， 45ADC   ，AE BC ，垂足为 E ， 沿直线 AE 将 BAE 翻折成 'B AE ，使得平面 'B AE  平面 AECD ．连接 'B D ，P 是 'B D 上 的点． (1）当 'B P PD 时，求证 CP  平面 'AB D ； (2）当 ' 2B P PD 时，求二面角 P AC D  的余弦值． 19.甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜歌名活动,在每一轮活动中, 依次播放三首乐曲,然后甲猜第一首,乙猜第二首,丙猜第三首.若有一人猜错,则活动立 即结束;若三人均猜对,则该小组进入下一轮.该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲 猜对歌名的概率是 ,乙猜对歌名的概率是 ,丙猜对歌名的概率是 .甲、乙、丙猜对互不 影响. (1)求该小组未能进入第二轮的概率; (2)记乙猜对歌曲的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望. 20．已知△ABC 的两顶点坐标 A(－1，0)，B(1，0)，圆 E 是△ABC 的内切圆，在边 AC， BC，AB 上的切点分别为 P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动 点 C 的轨迹为曲线 M. (1)求曲线 M 的方程； (2)设直线 BC 与曲线 M 的另一交点为 D，当点 A 在以线段 CD 为直径的圆上时，求直线 BC 的方程． 21.人的体重是人的身体素质的重要指标之一．某校抽取了高二的部分学生，测出他们 的体重（公斤），体重在 40 公斤至 65 公斤之间，按体重进行如下分组：第 1 组[40,45)， 第 2 组[45,50)，第 3 组[50,55)，第 4 组[55,60)，第 5 组[60,65]，并制成如图所示的 频率分布直方图，已知第 1 组与第 3 组的频率之比为 1:3，第 3 组的频数为 90． （1）求该校抽取的学生总数以及第 2 组的频率； （2）用这些样本数据估计全市高二学生(学生数众多)的体重．若从全市高二学生中任 选 5 人，设 X 表示这 5 人中体重不低于 55 公斤的人数，求 X 的分布列和数学期望． 22.已知抛物线 y2＝2px(p>0)，四边形 ABCD 内接于抛物线，如图所示． (1)若直线 AB，CD，BC，AD 的斜率均存在，分别记为 k1，k2，k3，k4，求证：1 k1 ＋1 k2 ＝ 1 k3 ＋1 k4 . (2)若直线 AB、AD 的斜率互为相反数，且弦 AC⊥x 轴，求证：直线 BD 与抛物线在 点 C 处的切线平行． 高二理数答案 1----6BDBBBB 7-----12AACDDA 13.[3,8) 14.32 15.120 16.①②④ 17.210 1 29 1＋510 2 1－510 2 ； 18.（1）∵ BCAE  ，平面 AEB 平面 AECD ，∴ ECEB ' ． 如图建立空间直角坐标系． 则 )0,1,0(A ， )1,0,0(B ， )0,0,1(C ， )0,1,2(D ， )0,0,0(E ， ． )1,1,0( BA ， )0,0,2(AD ， ． ∵ ， 0 ADCP ， ∴ BACP  ， ADCP  ． 又 AABAD  ，∴ CP 平面 ADB ． 设面 PAC 的法向量为 ),,( zyxn  ，则 ． 取 1 yx ， 3z ，则 )3,1,1( n ， 又平面 DAC 的法向量为 )1,0,0(m ，∴ ． ∴二面角 DACP  的余弦值 ． 19 解 (1)设“该小组未能进入第二轮”为事件 A,其对立事件为 , 则 P(A)=1-P( )=1- . (2)由题意可得ξ的可能取值为 0,1,2,3. P(ξ=0)= , P(ξ=1)= , P(ξ=3)= , P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)= . 故ξ的分布列为 ξ 012 3 P ∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× . 20 解：(1)由题意知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，所 以曲线 M 是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(挖去与 x 轴的交点)． 设曲线 M：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0，y≠0)， 则 a2＝4，b2＝a2－ |AB| 2 2 ＝3， 所以曲线 M 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1(y≠0)． (2)连接 AD，注意到直线 BC 的斜率不为 0，且过定点 B(1，0)， 设 lBC：x＝my＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由 x＝my＋1 3x2＋4y2＝12 消去 x 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 由根与系数的关系，得 y1＋y2＝－ 6m 3m2＋4 [] y1y2＝－ 9 3m2＋4 ， 因为AC→＝(my1＋2，y1)，AD→ ＝(my2＋2，y2)，所以AC→·AD→ ＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2 ＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝－9（m2＋1） 3m2＋4 － 12m2 3m2＋4 ＋4＝7－9m2 3m2＋4 . 注意到点 A 在以 CD 为直径的圆上， 所以AC→·AD→ ＝0，即 m＝± 7 3 ， 所以直线 BC 的方程为 3x＋ 7y－3＝0 或 3x－ 7y－3＝0. 21.（Ⅰ）设该校抽查的学生总人数为 n，第 2 组、第 3 组的频率分别为 2p ， 3p ， 则 3 0.025 3 5 0.375p     ，所以 3 90 240n p   ，·········································3 分 由 2 0.375 (0.025 0.013 0.037) 5 1p       ，解得 2 0.25p  ， 所以该校抽查的学生总人数为 240 人，从左到右第 2 组的频率为 0.25．····6 分 22.(2016·安徽安庆模拟)已知抛物线 y2＝2px(p>0)，四边形 ABCD 内接于抛物线，如 图所示． (1)若直线 AB，CD，BC，AD 的斜率均存在，分别记为 k1，k2，k3，k4，求证：1 k1 ＋ 1 k2 ＝1 k3 ＋1 k4 . (2)若直线 AB、AD 的斜率互为相反数，且弦 AC⊥x 轴，求证：直线 BD 与抛物线在 点 C 处的切线平行． 证明：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)． ∴k1＝y1－y2 x1－x2 ，∵y21＝2px1，y22＝2px2， ∴k1＝ 2p y1＋y2 . 同理：k2＝ 2p y3＋y4 ，故1 k1 ＋1 k2 ＝y1＋y2＋y3＋y4 2p ， 同理：1 k3 ＋1 k4 ＝y1＋y2＋y3＋y4 2p ，从而得证． (2)由 AC⊥x 轴，有 x1＝x3，y1＝－y3，设以 C 为切点的切线斜率为 k，则切线方程 为 y＋y1＝k(x－x1)，代入 y2＝2px，得 k2x2－2(k2x1＋ky1＋p)x＋(kx1＋y1)2＝0. ∴Δ＝4(k2x1＋ky1＋p)2－4k2(kx1＋y1)2＝0， 得 k2x1＋ky1＋p 2 ＝0，而 y21＝2px1， ∴k＝－p y1 . 由直线 AB、AD 的斜率互为相反数，知 2p y1＋y2 ＋ 2p y1＋y4 ＝0. ∴2y1＋y2＋y4＝0， ∴kBD＝ 2p y2＋y4 ＝ 2p －2y1 ＝－p y1 ， ∴kBD＝k. ∴直线 BD 与抛物线在点 C 处的切线平行．