2018-2019学年湖北省郧阳中学、恩施高中、随州二中三校高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年湖北省郧阳中学、恩施高中、随州二中三校高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 湖北省郧阳中学、恩施高中、随州二中三校2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【答案】D ‎【解析】4项工作分成3组,可得：=6，‎ 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，‎ 可得：种。‎ 故选：D.‎ ‎2．学校将位同学分别推荐到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学参加自主招生考试，则每所大学至少推荐一人的不同推荐的方法种数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分2步进行分析：①将5名同学分成3组；②将分好的3组全排列，对应3所大学，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：先将5名同学分成3组，每组至少1人，有1,1,3和1,2,2两种组合，再将3组全排列，对应到三个大学，共有：‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列、组合的应用，属于部分平均分组再分配问题．‎ ‎3．将多项式分解因式得，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将题中的条件转化为，从而能够准确的判断出5次项出现的情况，之后用二项式定理求解，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 所以展开式中的三次项系数为，‎ 所以，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题目.‎ ‎4．已知，取值如下表：‎ 从所得的散点图分析可知：与线性相关，且，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算平均数，可得样本中心点，代入线性回归方程，即可求得a的值．‎ ‎【详解】‎ 依题意,得(0+1+4+5+6+8)=4,(1.3+1.8+5.6+6.1++7.4+9.3)=5.25.‎ 又直线y=0.95x+a必过中心点(),即点(4,5.25),于是5.25=0.95×4+a,解得a=1.45.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程，利用线性回归方程恒过样本中心点是关键．‎ ‎5．给出以下四个说法：‎ ‎①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小 ‎②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好；‎ ‎③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位；‎ ‎④对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则判断“与有关系”的把握程度越大．‎ 其中正确的说法是 A．①④ B．②④ C．①③ D．②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据残差点分布和相关指数的关系判断①是否正确，根据相关指数判断②是否正确，根据回归直线的知识判断③是否正确，根据联表独立性检验的知识判断④是否正确.‎ ‎【详解】‎ 残差点分布宽度越窄，相关指数越大，故①错误.相关指数越大，拟合效果越好，故②正确.回归直线方程斜率为故解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位，即③正确.越大，有把握程度越大，故④错误.故正确的是②③，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查残差分析、相关指数、回归直线方程和独立性检验等知识，属于基础题.‎ ‎6．甲、乙两位运动员在场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为，，则下列判断正确的是（ ）‎ A．；甲比乙成绩稳定 B．：乙比甲成绩稳定 C．；甲比乙成绩稳定 D．；乙比甲成绩稳定 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 甲＝＝25，‎ 乙＝＝26，‎ 甲<乙，‎ ‎＝[(16－25)2＋(17－25)2＋(28－25)2＋(30－25)2＋(34－25)2]＝52，‎ ‎＝[(15－26)2＋(28－26)2＋(26－26)2＋(28－26)2＋(33－26)2]＝35.6，‎ ‎>，所以乙稳定，故选D.‎ 点睛：利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．‎ ‎7．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎①；②；‎ ‎③；④．‎ A．①② B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案 ‎【详解】‎ 因为P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)，所以①不正确；‎ 因为P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＜－a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＞a)‎ ‎＝P(ξ＜a)－(1－P(ξ＜a))＝2P(ξ＜a)－1，所以②正确，③不正确；‎ 因为P(|ξ|＜a)＋P(|ξ|≥a)＝1，‎ 所以P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|≥a)(a＞0)，所以④正确．‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题是一道关于正态分布的题目，解题的关键是正确理解正态分布曲线的特点，属于中档题。‎ ‎8．已知离散型随机变量的分布列如下：‎ 由此可以得到期望与方差分别为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由离散型随机变量X的分布列的性质求出x＝0.1，由此能求得结果 ‎【详解】‎ 由x＋4x＋5x＝1得x＝0.1，‎ E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4，‎ D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.44.‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，由已知先求出x的值，然后运用公式求得期望和方差，属于基础题。‎ ‎9．若，，，函数在处有极值，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对 求导 ，在x=1处有极值，等价于 ，解出 再利用均值定理即可求解ab的最大值。‎ ‎【详解】‎ 解：对 求导， ，在x=1处有极值，所以 ，又 ，当且仅当 时取等。故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的极值，均值定理求乘积的最大值，比较基础。‎ ‎10．函数的大致图象为　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的奇偶性和图象的对称关系，结合的符号，进行排除即可．‎ ‎【详解】‎ 解：，则函数是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C，，排除B，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及函数值的符号是否对应，利用排除法是解决本题的关键．‎ ‎11．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由坐标结构特点想到构造函数并得到其单调性，再对两边同乘，得到 ‎，结合单调性可得不等式，解出答案.‎ ‎【详解】‎ 解：构造函数 则 所以在上单调递减 又因为 所以 所以 解得或（舍）‎ 所以不等式的解集是 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用抽象函数单调性解函数不等式，观察条件结构特点巧妙构造函数是解决本题的关键.‎ ‎12．设函数，函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的导函数，并根据导函数的符号确定函数的值域；根据任意的，总存在，使得成立这一条件，可确定m的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 对函数求导，得 ‎ 令，得 ‎ 且当 时，；当 时，‎ 所以 在 处取得最小值 ，且 ‎ 所以的值域为 ‎ 因为对任意的，总存在，使得 所以 ‎ 当时，为单调递增函数 所以，代入得 ‎ 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了导数在求参数取值范围中的综合应用，全称命题、特称命题的综合应用，属于难题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．现有甲、乙、丙、丁名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙 两人恰好参加同一项活动的概率为________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，‎ 基本事件的总数为，‎ 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,‎ 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎14．已知，设，则________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把等式两边同时对x求导数，再令 ，可得的值．‎ ‎【详解】‎ 解：已知 ，设 ，‎ 把等式两边同时对x求导数，可得 ，‎ 再令，可得，‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求函数的导数，二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和即可求出答案，属于基础题．‎ ‎15．从标有，，，，的五张卡中，依次抽出张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A），P（AB），利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率．‎ ‎【详解】‎ 解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，‎ 设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，‎ 则P（A），P（AB），‎ 则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：‎ P（A|B）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力．‎ ‎16．已知函数，在下列命题中，其中正确命题的序号是_________.‎ ‎（1）曲线必存在一条与轴平行的切线；‎ ‎（2）函数有且仅有一个极大值，没有极小值；‎ ‎（3）若方程有两个不同的实根，则的取值范围是；‎ ‎（4）对任意的,不等式恒成立；‎ ‎（5）若，则,可以使不等式的解集恰为；‎ ‎【答案】（1）（2）（4）（5）‎ ‎【解析】∵可得,令=0只有一根, ∴（1）对 令得， 在递增，同理在(1,+∞)上递减，∴只有一个极大值，无极小值故（2）对；‎ ‎∵时0, ∴方程有两个不同的实根时故（3）错 由的单调性可知的最大值为=，∴故（4）对 由的图像可知若，则,可以使不等式的解集恰为 故（5）对 点睛：本题是导数部分的综合题，主要考查函数的单调性，极值，函数图像，要注意图像的趋势，不等式的恒成立问题，不等式的解集问题都可以由图像得出 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知的展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大．‎ ‎（1）求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（2）求展开式中系数最大的项.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）本题考察的是二项式定理的相关知识点，要求二项式系数最大项，首先要确定的值，然后就能确定展开式中二项式系数最大的项。易错点主要在分不清各项系数之和与二项式系数之和的差别。‎ ‎（2）本题考察的是求展开式中的系数最大项，设第 项系数最大，只需建立两个不等式，求出的取值范围，再根据就可以求出的值，最后根据二项式定理展开式的公式即可写出相应的系数最大的项。‎ 试题解析：由题意，‎ ‎，‎ ‎（1）展开式中二项式系数最大的项是，；‎ ‎（2）由解得为所求的系数最大的项。‎ 考点：（1）二项式定理（2）二项式系数的性质 ‎18．《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3％、7％、16％、24％、24％、16％、7％、3％．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]、[81，90]、[71，80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N（60，169）．‎ ‎（Ⅰ）求物理原始成绩在区间（47，86）的人数；‎ ‎（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎（附：若随机变量ξ～N（μ，），则P（μ-σ＜ξ＜μ+σ）=0.682，P（μ-2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.954，P（μ-3σ＜ξ＜μ+3σ）=0.997）‎ ‎【答案】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间分为和两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为，且，由此可得的分布列和数学期望．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为物理原始成绩，‎ 所以 ‎．‎ 所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．‎ ‎（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．‎ 所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，‎ 所以 ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ．‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以数学期望．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．‎ ‎（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．‎ ‎19．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成，，，，，六组，并作出频率分布直方图(如图)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．‎ ‎ (1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？‎ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 ‎60‎ 女 ‎110‎ 合计 ‎(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意得“课外体育达标”人数为，列出的列联表，计算得出的值，即可作出判断；‎ ‎ (2)由分层抽样在“课外体育达标”和“课外体育不达标”的学生中抽取的人数，得到的所有可能取值，求得每个随机变量对应的概率，得出分布列，利用公式求解。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意得“课外体育达标”人数为，‎ 则“课外体育不达标”人数为150，所以列联表如下：‎ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 女 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 所以.‎ 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关．‎ ‎(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：的所有可能取值为1,2,3，‎ ‎；；.‎ 故X的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故的数学期望为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立性检验，以及离散型随机变量的分布列及期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.‎ ‎20．图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M．已知HM = 5 m，BC = 10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH = ．‎ ‎（1）求屋顶面积S关于的函数关系式； ‎ ‎（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其 高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？ ‎ ‎【答案】（1）；（2）当为时该别墅总造价最低 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题知FH⊥HM，在Rt△FHM中，所以，得△FBC的面积，从而得到屋顶面积；（2）别墅总造价为=令，求导求最值即可 ‎【详解】‎ ‎（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，‎ 又因为HM Ì平面ABCD，得FH⊥HM． ‎ 在Rt△FHM中，HM = 5，，所以． ‎ 因此△FBC的面积为．‎ 从而屋顶面积 ．‎ 所以S关于的函数关系式为()．‎ ‎（2）在Rt△FHM中，，所以主体高度为． ‎ 所以别墅总造价为 ‎ ‎ 记，，‎ 所以，‎ 令，得，又，所以．‎ 列表：‎ - ‎0‎ + 所以当时，有最小值．‎ 答：当为时该别墅总造价最低．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的实际应用问题，将空间问题平面化，准确将S表示为函数是关键，求最值要准确，是中档题 ‎21．设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴 ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数极值． ‎ ‎【答案】：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）极小值 ‎【解析】：（Ⅰ）因 ，故 由于曲线 在点 处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即 ，从而 ，解得 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎ 令，解得（因 不在定义域内，舍去）当 时， 故 在上为减函数；当 时， 故 在上为增函数，故在 ‎ 处取得极小值 ‎ ‎【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力 ‎22．已知函数，．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）设函数在处的切线方程为，若函数是上的单调增函数，求的值；‎ ‎（3）是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由．‎ ‎【答案】（1）的极大值为；极小值为；（2）；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），列极值表，即可求得的极值；（2）设切线方程为，从而，记，即求在上恒成立，将变形为恒成立，由基本不等式成立求得；（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，分别写出 处的切线方程，由为同一直线得整理得消去得，，令构造函数，求导求得，推出矛盾，说明假设不成立，则不存在 ‎【详解】‎ ‎（1） 当时，函数的定义域为．‎ 则，令 得，或．列表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ - ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数的极大值为；极小值为．‎ ‎（2）依题意，切线方程为，‎ 从而，‎ 记，‎ 则在上为单调增函数，‎ 所以在上恒成立，‎ 即在上恒成立． ‎ 变形得在上恒成立 ，‎ 因为（当且仅当时，等号成立），‎ 所以，从而，所以． ‎ ‎（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，，不妨，则处切线的方程为：，‎ 处切线的方程为：．‎ 因为，为同一直线，所以即 整理得， 消去得，． ‎ 令，由与，得，‎ 记，则，‎ 所以为上的单调减函数，所以．‎ 从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数与函数的单调性与极值，切线问题，转化与化归能力，准确计算是关键，第三问转化为函数与方程的关系是难点，是较难的题目.‎