2018-2019学年江西省赣州教育发展联盟高二上学期12月联考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年江西省赣州教育发展联盟高二上学期12月联考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 江西省赣州教育发展联盟2018-2019学年高二上学期12月联考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．数列的一个通项公式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别观察各项的符号、绝对值即可得出．‎ ‎【详解】‎ 数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式． 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．‎ ‎2．已知直线经过点，且斜率为4，则的值为（ ）‎ A．-6 B． C． D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】 , 且斜率为 ，则 ，解得 ，故选D.‎ ‎3．命题“若，则且”的逆否命题是（ ）‎ A．若或，则 B．若，则或 C．若且，则 D．若，则且 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 命题的逆否命题为：“若或，则”，故选A.‎ ‎4．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐一判定，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，在A中，若A.，，则与相交，平行或在平面内，所以不正确；‎ 在B中，若，，根据垂直于同一条直线的两平面是平行的，所以是正确；‎ 在C中， 若，，则与相交、平行，所以不正确；‎ 在D中，若，，则与相交、平行，所以不正确，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面位置关系的判定与应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答此类问题的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化思想的应用，属于中档试题.‎ ‎5．某汽车的使用年数与所支出的维修费用的统计数据如表：‎ ‎ 使用年数（单位：年）‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 维修总费用（单位：万元）‎ ‎ 0.5‎ ‎1.2‎ ‎ 2.2‎ ‎ 3.3‎ ‎ 4.5‎ 根据上表可得关于的线性回归方程= ，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用（　　）‎ A．11年 B．10年 C．9年 D．8年 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，求出回归系数，写出回归直线的方程，据此模型预测该汽车最多可使用的年限.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据表中的数据，可得，‎ 代入回归直线的方程，即，解得，‎ 所以回归直线的方程为，‎ 令，解得，‎ 据此模型预测该汽车最多可使用11年，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性回归直线的特征，及其回归直线方程的应用问题，其中解答中根回归直线的方程的特征，求得回归直线方程是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6．已知向量，，且，则的值为（ ）‎ A．－14 B．10 C．12 D．14‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间向量的数量积的公式，以及向量的垂直的性质，得到关于的方程，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，向量，，且，‎ 则，解得，故选C.‎ 则的值为（ ）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间向量的数量积的运算以及向量垂直的性质的应用，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式和向量垂直的性质是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.‎ 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 视频 ‎8．在正方体中，为线段的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，设正方体的棱长为2，以D为原点，分别以分别为轴建立空间直角坐标系，求的，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设正方体的棱长为2，以D为原点，分别以分别为轴建立空间直角坐标系，则，‎ 则，则，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中根几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，转化为利用向量所成的角求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用.‎ ‎9．已知实数a、b满足， 则使的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形，结合图形，求出对应的区域的面积，利用面积比即可求解.‎ ‎【详解】‎ 根据题意画出图形，如图所示，‎ 由实数a、b满足，则圆的面积，‎ 又由阴影部分的面积为，‎ 所以使的概率为，故选A.‎ ‎ 【点睛】‎ 本题主要考查了几何概型及其概率的计算，其中解答中根据题意，画出相应图形，求解出图形的面积和阴影部分的面积，根据面积比求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎10．已知，且，则的最小值为（ ）‎ A．12 B．10 C．9 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“1”的代换，化简表达式，利用基本不等式转化为求解最小值，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，，且，‎ 则 当且仅当，即，时等号成立，‎ 所以最小值为9，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了应用基本不等式求最小值问题，其中解答中利用“1”的代换，构造基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎11．已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）‎ A．数列的前项和为 B．数列的通项公式为 C．数列为递增数列 D．数列为递增数列 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据数列的递推公式，求得是以4首项，以 为公差的对称数列，即可得到判断，得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知数列的前项和为，且满足，‎ 则，又由，所以，‎ 所以数列 是以4首项，以4为公差的对称数列，所以数列为递增数列，‎ 所以，则，‎ 又由当时，，又由，‎ 所以数列的通项公式为 ，‎ 综上所述只有D项是正确的，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的递推公式和等差数列的通项和前n项和的应用问题，其中解答中熟记等差数列的通项公式和数列的前n项和之间的关系式，以及数列的函数特征是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用，属于中档试题.‎ ‎12．已知异面直线，所成的角为，直线与，均垂直，且垂足分别为，‎ ‎，若动点在直线上运动，动点在直线上运动，，则线段的中点的轨迹所围成的平面区域的面积是( )‎ A．9 B．18 C．36 D．72‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过AB的中点作AB的垂面，将空间距离转化为到平面的距离，求出M的轨迹方程，进而求得轨迹图形的面积，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设AB的中点为，过作AB的垂面，则PQ的中点M必在平面内，‎ 设PA，QB在平面内的射影为在上的射影为，‎ 则，且，‎ 以为原点，以为坐标轴在平面内建立平面直角坐标系，‎ 设，则，所以，即，‎ 即点M的轨迹为菱形，且菱形轨迹所围成的区域的面积为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了轨迹方程的求解，以及空间点、线、面的位置关系的判定与应用，其中解答中根据线面位置关系，建立适当的平面直角坐标系，求解点M的轨迹方程是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎13．已知△ABC的周长为，且 ‎ ‎（1）求边AB的长；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，求角C的度数.‎ ‎【答案】（1）1；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎⑴．由题意，及正弦定理，得，‎ ‎，‎ 两式相减，得．‎ ‎⑵．由的面积，得，‎ 由余弦定理，得 ‎，‎ 所以．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎14．若实数满足则的最大值是__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】满足题中约束条件的可行域如图所示，要求的最大值即求t=x+2y>0的最大值，由t=x+2y，得，即求函数在y轴上的截距的最大值，数形结合可知当直线平行移动到点A（0，1）时，截距最大，此时tmax=2，因此zmax=log22=1.‎ 故答案为： 1．‎ ‎15．点在圆的外部，则的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心坐标，利用点与圆心的距离和圆的半径的关系，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程，得，‎ 则表示圆心，半径为，且，‎ 若点在圆的外部，则，‎ 即且，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的标准方程，以及点与圆的位置关系的判定与应用，其中解答中求出的标准方程，得到圆心坐标和半径，再利用相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16．给出下列命题：‎ ‎①已知集合，则“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎②“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎③“函数的最小正周期为”是“”的充要条件；‎ ‎④“平面向量与的夹角是钝角”的要条件是“”.‎ 其中正确命题的序号是 .（把所有正确命题的序号都写上）‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ 试题分析：①因为“”可以推出“”，但“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故①正确；②“”不能推出 “”，但“”可以推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件，故②正确；③因为，所以若其最小正周期为，则，因此“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量与的夹角是钝角”可以推出“”，但“”，平面向量与的夹角是钝角或平角，所以“”是“平面向量与的夹角是钝角”必要不充分条件，故④错误，正确答案为①②.‎ 考点：充要条件.‎ ‎17．在中，为中点，则的取值范围为_______。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，设，则，且，又由正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，进而可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 在中，设，则，且 ‎ 又由正弦定理，得，‎ 所以 ‎ ‎，‎ 又由，则，所以，‎ 所以，‎ 即的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理和三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，再利用三角函数点图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎18．如图，在四棱锥P - ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，，AD⊥CD，E为棱PD上一点，且.‎ ‎（1）求证：CD⊥AE；‎ ‎（2）求证：面.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意底面，证得，又由，利用线面垂直判定定理，证得平面,即可得到. ‎ ‎（2）连接、交于，连接，根据比例式，得到,再由线面平行的判定定理，即可证得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：底面且底面 又且 平面, 平面 ‎.‎ 连接、交于，连接.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,又面 面 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与平面垂直和直线与平面平行的判定及应用，其中解答中熟记线面垂直和线面平行的判定，合理添加相应的辅助线是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎19．一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如下表：‎ 网购金额(单位：千元)‎ 频数 频率 网购金额(单位：千元)‎ 频数 频率 ‎[0,0.5)‎ ‎3‎ ‎0.05‎ ‎[1.5,2)‎ ‎15‎ ‎0.25‎ ‎[0.5,1)‎ ‎[2,2.5)‎ ‎18‎ ‎0.30‎ ‎[1,1.5)‎ ‎9‎ ‎0.15‎ ‎[2.5,3]‎ 若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”，已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2:3.‎ ‎（1）确定，，，的值，并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）①.试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；‎ ‎②.若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”..‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意，根据频率分布直方表中的数据，列出方程，求得，，进而求得的值，即可求解；‎ ‎ (2)①由平均数的计算公式和中位数公式，即可求得这60名网友的网购金额的平均数为和中位数；‎ ‎②根据数据平均数，中位数，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意，得 ，化简，得，‎ 解得,∴. ‎ 补全的频率分布直方图如图所示：‎ ‎(2)①设这60名网友的网购金额的平均数为.‎ 则 (千元)‎ 又∵.‎ ‎∴这60名网友的网购金额的中位数为(千元)， ‎ ‎②∵平均数 ，中位数，‎ ‎∴根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及用样本估计总体的数据的计算，其中熟记频率分布直方图和数据的计算公式，准确计算、比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20．如图，在多面体中，是正方形，，，，点 为棱的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若平面，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于，连接，分别证得和，再利用面面平行的判定定理，即可得到平面平面.‎ ‎（2）以为空间坐标系原点，分别为轴，建立空间直角坐标，设平面和平面的一个法向量为，利用向量所成的角，即可求解二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接交于，连接.‎ 为正方形是的中点.‎ 又是的中点在中，‎ 又且 四边形是平行四边形 ‎ 平面平面.‎ ‎（2）以为空间坐标系原点，分别为轴，建立空间直角坐标 ‎.‎ 设平面的一个法向量为 令.‎ 同理求得平面的一个法向量 ‎. ‎ 由观察知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何中的面面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎21．已知是等比数列的前项和，其中，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的最大项和最小项。‎ ‎【答案】（1）； （2）；。.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，根据等比数列的通项公式，化简得，分类讨论，即可求解公比，进而的数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）求得，当为正奇数时，得到在正奇数集上单调递减，进而求得，当为正偶数集时，求得在正偶数集上单调递增，求得，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当时，解得，又 ‎ ，‎ 当 时，，又，， ，‎ ‎（2）由（1）和知，，‎ 当为正奇数时，‎ 又 所以在正奇数集上单调递减，∴，且，‎ ‎（利用指数函数说明单调性亦可）‎ 当为正偶数集时，‎ 又 所以在正偶数集上单调递增，∴，且，‎ 综上：；.‎ ‎【点睛】‎ 在解决等差、等比数列的运算与应用问题，解答此类问题,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组求诶；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ ‎22．已知圆，直线.‎ ‎（1）求直线所过定点的坐标；‎ ‎（2）求直线被圆所截得的弦长最短时的值及最短弦长.‎ ‎（3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为1，求点的横坐标的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；(2) （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题，将直线的方程整理为：，联立方程，即可求解定点的坐标.‎ ‎（2）当时，根据圆的性质，求得，到圆心到直线的距离为，利用弦长公式，求解弦长； ‎ ‎（3）由（2）知点在直线上，故设，依题以点为圆心，1为半径的圆与圆C相交，分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将直线的方程整理为：‎ ‎ 令解得定点.‎ ‎（2）当时，直线被圆所截得的弦长最短.‎ ‎ ，解得 圆心到直线的距离为 最短弦长为：. ‎ ‎（3）由（2）知点在直线上，故设.‎ 依题以点为圆心，1为半径的圆与圆C相交.‎ 当圆与圆相内切时，‎ ‎，解得，‎ 当圆与圆相外切时，‎ 解得，‎ 由题意得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线过定点问题，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定与应用，合理利用圆的弦长公式和直线与圆的位置关系列出方程是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎