山东省潍坊市安丘市实验中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

山东省潍坊市安丘市实验中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学期中试题 ‎1.已知角的终边经过点，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数定义，求出，即可得到的值．‎ ‎【详解】因为，，所以．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题．‎ ‎2.设两个单位向量的夹角为，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，然后用数量积的定义，将的模长和夹角代入即可求解.‎ ‎【详解】，‎ 即.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题.‎ ‎3.在中，内角所对的边分别为.若,则角的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理将边化角，可得，由可求得，根据的范围求得结果.‎ ‎【详解】由正弦定理得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题.‎ ‎4.已知D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，则xy的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件推出x+y＝1，然后利用x，y的范围，利用基本不等式求解xy的最值．‎ ‎【详解】解：D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，可得，x，，‎ 则，当且仅当时取等号，并且，函数的开口向下，‎ 对称轴为：，当或时，取最小值，xy的最小值为：．则xy的取值范围是：‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎5.已知，是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）‎ A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先整理函数的解析式为，由函数为奇函数可得，由最小正周期公式可得，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可.‎ ‎【详解】由函数的解析式可得：，‎ 函数为奇函数，则当时：.令可得.‎ 因为直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为 结合最小正周期公式可得：，解得：.‎ 故函数的解析式为：.‎ 当时，，函数在所给区间内单调递减；‎ 当时，，函数在所给区间内不具有单调性；‎ 据此可知，只有选项A的说法正确.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6.在中，，，是边的中点.为 所在平面内一点且满足，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量基本定理可知，将所求数量积化为；由模长的等量关系可知和为等腰三角形，根据三线合一的特点可将和化为和，代入可求得结果.‎ ‎【详解】为中点 ‎ ‎ 和为等腰三角形 ‎，同理可得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.‎ ‎7.在中，角，，所对的边为，，，且为锐角，若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理化简，再利用三角形面积公式，即可得到，由 ‎，求得，最后利用余弦定理即可得到答案．‎ ‎【详解】由于，有正弦定理可得： ，即 由于在中，，，所以，‎ 联立 ，解得：，‎ 由于为锐角，且，所以 所以在中，由余弦定理可得：，故（负数舍去）‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．‎ ‎8.已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，‎ 则，‎ 设，则，‎ 所以 ‎，‎ 所以当时，取得最小值为，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ 二、多选题 ‎9.已知，如下四个结论正确的是（ ）‎ A. ； B. 四边形为平行四边形；‎ C. 与夹角的余弦值为； D. ‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出向量坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断.‎ ‎【详解】由，‎ 所以，，， ,‎ 对于A，，故A错误；‎ 对于B，由，，则，‎ 即与平行且相等，故B正确； ‎ 对于C，，故C错误；‎ 对于D，，故D正确；‎ 故选：BD ‎【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题.‎ ‎10.下列各式中，值为的是（ ）‎ A. B. C. ‎ D. E. ‎ ‎【答案】BCE ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式计算可得.‎ ‎【详解】解：不符合，；‎ 符合，；‎ 符合，；‎ 不符合，；‎ 符合，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎11.已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）‎ A. 若，则一定是等边三角形 B. 若，则一定是等腰三角形 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理可得，可判断；由正弦定理可得，可判断；由正弦定理与诱导公式可得，可判断；由余弦定理可得角为锐角，角不一定是锐角，可判断.‎ ‎【详解】由，利用正弦定理可得，即，是等边三角形，正确；‎ 由正弦定理可得，或，‎ 是等腰或直角三角形，不正确；‎ 由正弦定理可得，即，‎ 则等腰三角形，正确；‎ 由正弦定理可得，角为锐角，角不一定是锐角，不正确，故选AC.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，以及三角形形状的判断，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.‎ ‎12.已知函数，则下面结论正确的是（　　）‎ A. 为偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为2 D. 在上单调递增 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将化简为，选项A，的定义域为，，故A正确。根据的周期和最值可判断B正确，C不正确。根据可判定D正确。‎ ‎【详解】，‎ 选项A，的定义域为，‎ ‎，故A正确。‎ B选项，的最小正周期为，故B正确。‎ C选项，，故C不正确。‎ D选项， 由的图像， ‎ 由图可知：在上单调递增，故D正确。‎ 故选ABD ‎【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，同时考查三角函数最值和单调区间，属于中档题。‎ 三、填空题 ‎13.在中，角所对的边分别为.若,，则角的大小为____________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力．由得，所以 由正弦定理得，所以A=或（舍去）、‎ ‎14.已知，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式化简已知条件，求得值，利用“‎1”‎的代换的方法将所求表达转化为只含的式子，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】由得，故.所以，分子分母同时除以得.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查“‎1”‎的代换以及齐次式的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎15.已知函数，若对任意都有（）成立，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定最小值.‎ ‎【详解】因为对任意成立，所以取最小值，取最大值；‎ 取最小值时，与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的，则，且，故.‎ ‎【点睛】任何一个函数，若有对任何定义域成立，此时必有：，.‎ ‎16.设非零向量，的夹角为，记，若，均为单位向量，且，则向量与的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到，，再根据向量点积的公式得到向量夹角即可.‎ ‎【详解】由题设知，若向量，的夹角为，则，的夹角为.由题意可得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎∵，，，，向量与的夹角为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用，以及向量夹角的求法，平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是 ‎，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ 四、解答题 ‎17.设两个非零向量与不共线，‎ ‎（1）若，，，求证：三点共线；‎ ‎（2）试确定实数，使和同向.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量的运算可得，再根据平面向量共线基本定理即可证明三点共线；‎ ‎（2）根据平面向量共线基本定理，可设，由向量相等条件可得关于和的方程组，解方程组并由的条件确定实数的值.‎ ‎【详解】（1）证明：因为，，，‎ 所以.‎ 所以共线，‎ 又因为它们有公共点，‎ 所以三点共线.‎ ‎（2）因为与同向，‎ 所以存在实数，使，‎ 即.‎ 所以.‎ 因为是不共线的两个非零向量，‎ 所以 解得或 又因为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，三点共线的向量证明方法应用，属于基础题.‎ ‎18.在中，角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，边上的中线，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）对题中等式应用正弦定理化简后即可求出角；‎ ‎（2）首先根据余弦定理和中线求出边，再根据三角形面积公式求出三角形面积即可.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴由正弦定理得：，‎ 即，‎ 又∵，∴，∴，‎ 又，所以；‎ ‎（2）由，，知，‎ 在中，由余弦定理得，‎ 解得，故，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用正弦定理余弦定理求解三角形，属于基础题.‎ ‎19.在中，角，，的对边分别为，，，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）已知，且的外接圆的半径为，若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简得到，根据余弦定理计算得到答案.‎ ‎（2）根据正弦定理得到，再利用余弦定理得到，联立方程得到，再利用余弦定理得到答案.‎ ‎【详解】（1），，‎ 由余弦定理可得，，，.‎ ‎（2），外接圆的半径为，‎ 由正弦定理可得，可得，，①‎ 由余弦定理可得：，‎ 解得：，②‎ 联立①②可得：，或，由，可得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，向量的数量积，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎20.设向量，，其中，，函数的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与轴的第一个交点为.‎ ‎（1）求函数的表达式；‎ ‎（2）在中，角，，的对边分别是，，，若，，且，求边长.‎ ‎【答案】（1）；（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），根据周期得到，代入点得到，得到解析式.‎ ‎（2）解得，根据得到，再利用余弦定理计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 由题意，，，‎ 将点代入，得，‎ 所以，又因，，‎ 即函数的表达式为.‎ ‎（2）由，即，又，，‎ 由，知，所以，‎ 由余弦定理知 ‎，所以.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的数量积，三角函数解析式，余弦定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎21.已知两个不共线的向量，满足，，.‎ ‎（1）若，求角值；‎ ‎（2）若与垂直，求的值；‎ ‎（3）当时，存在两个不同的使得成立，求正数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量平行得到，解得答案.‎ ‎（2）根据向量垂直得到，故，得到答案.‎ ‎（3）化简得到，由得，故，解得答案.‎ ‎【详解】（1），故，，‎ 故角的集合为. ‎ ‎（2）由条件知，，又与垂直，‎ 所以，所以.‎ 所以，故.‎ ‎（3）由，得，即，‎ 即，，‎ 所以.‎ 由得，又要有两解，故，‎ 即，又因为，所以.‎ 即的范围.‎ ‎【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，根据向量垂直求模，方程解的个数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力，综合应用能力.‎ ‎22.已知，，，且，其中.‎ ‎(1)若与的夹角为60°，求k的值；‎ ‎(2)记，是否存在实数k，使得对任意的恒成立?若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由两边平方得，，展开即可求出k的值；‎ ‎(2)根据，可求出，再将变形为 ‎，设，然后解不等式组，即可求出实数k的取值范围．‎ ‎【详解】(1) 由得，，因为，‎ 所以，即，解得．‎ ‎(2)由(1)可知，，所以，‎ 变形为，设，所以对任意的恒成立，即有， ，解得 ．‎ ‎【点睛】本题主要考查数量积的运算以及不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．‎