数学卷·2018届四川省攀枝花十二中高二下学期3月调研数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届四川省攀枝花十二中高二下学期3月调研数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年四川省攀枝花十二中高二（下）3月调研数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．如图中的几何体是由下面哪个三角形绕直线旋转所得到的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与平面α的位置关系（　　）‎ A．b∥α B．b与α相交 C．b⊂α D．b∥α或b与α相交 ‎3．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）‎ A．四棱锥 B．圆锥 C．三棱锥 D．三棱台 ‎4．正方体的表面积是64，则正方体的体对角线的长为（　　）‎ A．4 B．3 C．4 D．16‎ ‎5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，n⊥α，则m⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β ‎6．正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，BD与B1C所成的角是（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎7．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（　　）‎ A．25π B．50π C．125π D．都不对 ‎8．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．2π+ B． C． D．4‎ ‎9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位置关系是（　　）‎ A．EF∥平面BB1D1D B．EF与平面BB1D1D相交 C．EF在平面BBD1D内 D．EF与平面BB1D1D的位置关系无法判断 ‎10．在正四棱锥V﹣ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，CD等于，则顶点A1‎ 到平面CDC1的距离为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A﹣BCD中，下列命题正确的是（　　）‎ A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）‎ ‎13．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=　　．‎ ‎14．若母线长是cm的圆锥的轴截面的面积是4cm2，则此圆锥的高是　　．‎ ‎15．一个三角形的直观图是腰长为，底为4的等腰三角形，则原三角形面积是　　．‎ ‎16．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（文科）如图，在空间四面体ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，‎ ‎（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．‎ ‎（2）求证：BC∥平面EFGH．‎ ‎18．（理科）如图，在空间四面体ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，且AD⊥BC ‎（1）求证：四边形EFGH是矩形．‎ ‎（2）求证：AD∥平面EFGH．‎ ‎19．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD．‎ ‎20．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，求证：平面B1FC∥平面EAD．‎ ‎21．如图，在四面体ABCD中，CA=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，AD的中点，‎ 求证：‎ ‎（1）直线EF∥平面BCD；‎ ‎（2）AD⊥平面EFC．‎ ‎22．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥面ABCD，点E是PD的中点．‎ ‎（1）求证：AC⊥PB；‎ ‎（2）求证：PB∥平面AEC．‎ ‎23．（文科）设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，‎ AC=BC=1，CD=，‎ 求（1）AC与平面BCD所成角的大小；‎ ‎（2）异面直线AB和CD的大小．‎ ‎24．（理科）设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，AC=BC=1，CD=，‎ 求（1）AC与平面BCD所成角的大小；‎ ‎（2）二面角A﹣BC﹣D的大小．‎ ‎25．如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE=1，BC=2，AC=CD=3‎ ‎（1）证明：EO∥平面ACD； ‎ ‎（2）证明：平面ACD⊥平面BCDE；‎ ‎（3）求三棱锥E﹣ABD的体积．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省攀枝花十二中高二（下）3月调研数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．如图中的几何体是由下面哪个三角形绕直线旋转所得到的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】根据旋转体，可得结论．‎ ‎【解答】解：根据旋转体，可得是由绕直线旋转所得，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与平面α的位置关系（　　）‎ A．b∥α B．b与α相交 C．b⊂α D．b∥α或b与α相交 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】当b∥α时，a与b可以相交，当b与α相交时，a与b可以相交，当b⊂α时，a与b与平行或异面，不能相…‎ ‎【解答】解：∵两条相交直线a、b，a∥平面α，‎ ‎∴当b∥α时，a与b可以相交，‎ 当b与α相交时，a与b可以相交，‎ 当b⊂α时，a与b与平行或异面，不能相交．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）‎ A．四棱锥 B．圆锥 C．三棱锥 D．三棱台 ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】由三视图可知可得出该几何体是四棱锥．‎ ‎【解答】解：由主视图和侧视图为等腰三角形，俯视图为矩形，则可得出该几何体是四棱锥，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．正方体的表面积是64，则正方体的体对角线的长为（　　）‎ A．4 B．3 C．4 D．16‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】利用正方体的表面积求出棱长然后求解体对角线的长即可．‎ ‎【解答】解：正方体的表面积是64，所以应该面的面积为： =．‎ 正方体的棱长为：，‎ 则正方体的体对角线的长为： =4．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，n⊥α，则m⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交、异面，故不正确；‎ 对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故不正确；‎ 对于C，因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直，故正确；‎ 对于D，若m∥α，α⊥β，则m、β相交或平行，或m⊂β，故不正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，BD与B1C所成的角是（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】连接B1D1和D1C，由BD∥B1D1，知∠D1B1C就是异面直线DB与B1C所成角．由△D1B1C是等边三角形，知异面直线DB与B1C所成角为60°．‎ ‎【解答】解：如图，连接B1D1，则DB∥D1B1，‎ 则∠D1B1C为异面直线BD与B1C所成的角，‎ 连接D1C，在△D1B1C中，D1B1=B1C=CD1，‎ 则∠D1B1C=60°，‎ 因此异面直线BD与B1C所成的角为60°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（　　）‎ A．25π B．50π C．125π D．都不对 ‎【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．‎ ‎【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，‎ 所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，‎ 所以球的半径为：，‎ 所以这个球的表面积是： =50π．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．2π+ B． C． D．4‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个上部为圆锥、下部为圆柱的几何体，故可以分部分求出圆锥与圆柱的体积再相加求出此简单组合体的体积．‎ ‎【解答】解：所求几何体为一个圆柱体和圆锥体构成．‎ ‎ 其中圆锥的高为．其体积为=‎ ‎ 圆柱的体积为π•12•2=2π ‎ 故此简单组合体的体积V=+2π ‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位置关系是（　　）‎ A．EF∥平面BB1D1D B．EF与平面BB1D1D相交 C．EF在平面BBD1D内 D．EF与平面BB1D1D的位置关系无法判断 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】利用直线与平面平行或垂直的判定定理或者利用面面垂直或平行的性质定理进行判断．‎ ‎【解答】解：取B1C1的中点H，连结FH，EH，‎ 因为E，F分别是棱BC，C1D1的中点，‎ 所以FH∥B1D1，EH∥BB1，‎ 所以平面EFH∥面BB1D1D，‎ 因为EF⊂面EFH，‎ 所以EF∥平面BB1D1D．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．在正四棱锥V﹣ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】连接AC，交BD于O，连接VO，先在正方形ABCD中证出对角线AC、BD互相垂直，再在三角形VBD中，根据VB=VD和O为BD中点，证出VO、BD互相垂直，最后根据直线与平面垂直的判定理证出BD⊥平面ACV，从而BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角大小为．‎ ‎【解答】解：连接AC，交BD于O，连接VO ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，O为BD的中点 又∵正四棱锥V﹣ABCD中，VB=VD ‎∴VO⊥BD ‎∵AC∩VO=O，AC、VO⊂平面ACV ‎∴BD⊥平面ACV ‎∵VA⊂平面ACV ‎∴BD⊥VA 即异面直线VA与BD所成角等于，‎ 故选D ‎　‎ ‎11．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，CD等于，则顶点A1到平面CDC1的距离为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】证明A1B1⊥平面CDC1，即可求出顶点A1到平面CDC1的距离．‎ ‎【解答】解：由题意，D是AB的中点，CD等于，AB=2，‎ ‎∵AB⊥CD，AB⊥C1C，CD∩C1C=C，‎ ‎∴AB⊥平面CDC1，‎ ‎∴A1B1⊥平面CDC1，‎ ‎∴顶点A1到平面CDC1的距离为1‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A﹣BCD中，下列命题正确的是（　　）‎ A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC ‎【考点】平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，推出AB⊥平面ADC，可得平面ABC⊥平面ADC．‎ ‎【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°‎ ‎∴BD⊥CD 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD 故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB 故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）‎ ‎13．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=　4　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，‎ ‎∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎14．若母线长是cm的圆锥的轴截面的面积是4cm2，则此圆锥的高是　2cm　．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】设圆锥的高为h，则底面半径为，利用圆锥的轴截面的面积是4cm2，得=4，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设圆锥的高为h，则底面半径为，‎ ‎∵圆锥的轴截面的面积是4cm2，‎ ‎∴=4，‎ ‎∴h=2cm，‎ 故答案为：2cm．‎ ‎　‎ ‎15．一个三角形的直观图是腰长为，底为4的等腰三角形，则原三角形面积是　8　．‎ ‎【考点】平面图形的直观图．‎ ‎【分析】斜二测画法中，原图形的面积与直观图的面积之比为2，即可求出原图形的面积．‎ ‎【解答】解：一个三角形的直观图是腰长为，底为4的等腰三角形，面积为=2‎ 由斜二测画法可得．原图形的面积与直观图的面积之比为2，原三角形的面积为8．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎16．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为　2+2　．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】几何体的主视图和侧视图是全等的等腰三角形，推知腰是正四棱锥的斜高，求出斜高，即可求出正视图的周长．‎ ‎【解答】解：由于正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，‎ 其主视图和侧视图是全等的等腰三角形；‎ 所以主视图和侧视图中的腰是正四棱锥的斜高．‎ 其长为：‎ 则正视图的周长：2+2．‎ 故答案是2+2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（文科）如图，在空间四面体ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，‎ ‎（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．‎ ‎（2）求证：BC∥平面EFGH．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）推导出EF，GH，从而EFGH，由此能证明四边形EFGH是平行四边形．‎ ‎（2）推导出EH∥BC，由此能证明BC∥平面EFGH．‎ ‎【解答】证明：（1）∵在空间四面体ABCD中，‎ E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，‎ ‎∴EF，GH，‎ ‎∴EFGH，‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形．‎ ‎（2）∵E，H分别是AB、AC的中点，‎ ‎∴EH∥BC，‎ ‎∵EH⊂平面EFGH，BC⊄平面EFGH，‎ ‎∴BC∥平面EFGH．‎ ‎　‎ ‎18．（理科）如图，在空间四面体ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，且AD⊥BC ‎（1）求证：四边形EFGH是矩形．‎ ‎（2）求证：AD∥平面EFGH．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）推导出EF，GH，从而EFGH，由此能证明四边形EFGH是平行四边形，再由AD⊥BC，得EF⊥GF，从而四边形EFGH是矩形．‎ ‎（2）推导出EF∥AD，由此能证明BC∥平面EFGH．‎ ‎【解答】证明：（1）∵在空间四面体ABCD中，‎ E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，‎ ‎∴EF，GH，‎ ‎∴EFGH，‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形，‎ ‎∵E，F分别是AB，DB的中点，∴EF∥AD，‎ ‎∵G，F分别是DC，DB的中点，∴GF∥BC，‎ ‎∵AD⊥BC，∴EF⊥GF，‎ ‎∴四边形EFGH是矩形．‎ ‎（2）∵E，F分别是AB，DB的中点，∴EF∥AD，‎ ‎∵EF⊂平面EFGH，AD⊄平面EFGH，‎ ‎∴AD∥平面EFGH．‎ ‎　‎ ‎19．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD．‎ ‎【考点】平面与平面平行的判定．‎ ‎【分析】利用三角形的中位线性质及公理4，证明PN∥BD，证得PN∥面A1DB．同理可证MN∥面A1DB，再由PN 和MN 是平面MNP内的两条相交直线，利用平面和平面平行的判定定理证得结论成立．‎ ‎【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D的中点，连接B1D1，B1C，‎ ‎∵PN∥B1D1，BD∥B1D1 ，∴PN∥BD．‎ 而BD⊂面A1BD，PN⊄面A1DB，∴PN∥面A1DB．‎ 同理可证 MN∥面A1DB．‎ 再由PN 和MN 是平面MNP内的两条相交直线可得平面MNP∥平面A1BD．‎ ‎　‎ ‎20．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，求证：平面B1FC∥平面EAD．‎ ‎【考点】平面与平面平行的判定．‎ ‎【分析】由已知四边形AFB1E是平行四边形，从而AE∥平面B1FC，由三角形中位线定理得DE∥B1C，从而DE∥平面B1FC，由此能证明平面B1FC∥平面EAD．‎ ‎【解答】证明：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，‎ ‎∴AF∥B1E，AF=B1E，‎ ‎∴四边形AFB1E是平行四边形，‎ ‎∴AE∥FB1，‎ 又∵AE⊄面B1FC，FB1⊂面B1FC，∴AE∥平面B1FC，‎ ‎∵D，E分别是BC，BB1中点，∴DE∥B1C，‎ ‎∵DE⊄面B1FC，B1C⊂面B1FC，‎ ‎∴DE∥平面B1FC，∵AE⊂EAD，DE⊂平面EAD，且AE∩DE=E，‎ ‎∴平面B1FC∥平面EAD．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在四面体ABCD中，CA=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，AD的中点，‎ 求证：‎ ‎（1）直线EF∥平面BCD；‎ ‎（2）AD⊥平面EFC．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）利用中位线定理证明EF∥BD，即可证明EF∥平面BCD；‎ ‎（2）证明AD⊥CF，AD⊥EF，即可证明AD⊥平面EFC．‎ ‎【解答】证明：（1）∵E、F分别为AB、AD的中点，‎ ‎∴EF为△ABD的中位线，‎ ‎∴EF∥BD，‎ 又∵EF在平面BCD外，‎ BD在平面BCD内，‎ ‎∴EF∥平面BCD．‎ ‎（2）∵CA=CD，F是AD的中点，‎ ‎∴AD⊥CF，‎ ‎∵AD⊥BD，EF∥BD，‎ ‎∴AD⊥EF，‎ ‎∵CF∩EF=F，‎ ‎∴AD⊥平面EFC．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥面ABCD，点E是PD的中点．‎ ‎（1）求证：AC⊥PB；‎ ‎（2）求证：PB∥平面AEC．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）欲证AC⊥PB，可先证AC⊥面PAB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与面PAB内两相交直线垂直，根据PA⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，可得PA⊥AC，又因AB⊥AC，PA∩AC=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，满足定理所需条件；‎ ‎（2）欲证PB∥面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与面AEC内一直线平行即可，连接BD交AC于点O，并连接EO，根据中位线可知EO∥PB，PB⊄面AEC，EO⊂面AEC满足定理所需条件．‎ ‎【解答】证明：（1）∵PA⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴PA⊥AC 又∵AB⊥AC，PA∩AC=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB ‎∴AC⊥面PAB∴AC⊥PB ‎（2）连接BD交AC于点O，并连接EO，‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形 ‎∴O为BD的中点又∵E为PD的中点 ‎∴在△PDB中EO为中位线，EO∥PB ‎∵PB⊄面AEC，EO⊂面AEC∴PB∥面AEC．‎ ‎　‎ ‎23．（文科）设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，‎ AC=BC=1，CD=，‎ 求（1）AC与平面BCD所成角的大小；‎ ‎（2）异面直线AB和CD的大小．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（1）因为A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，所以OA是三棱锥的高，在直角三角形AOC中可计算AO，再由OA⊥平面BCD，知∠ACO是AC与平面BCD所成角，由此能求出AC与平面BCD所成角的大小．‎ ‎（2）取BC中点F，AC中点E，利用三角形中位线定理证明∠EFO即为异面直线AB和CD所成的角，再在△EFO中分别计算三边的长，利用解直角三角形知识即可求得此角．‎ ‎【解答】解：（1）∵A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，‎ ‎∴OA是三棱锥的高 ‎∵BC=1，CD=．‎ ‎∴OC=OB=OD=，OA==，‎ ‎∵OA⊥平面BCD，∴∠ACO是AC与平面BCD所成角，‎ ‎∵tan∠ACO===，∴∠ACO=30°，‎ ‎∴AC与平面BCD所成角为30°．‎ ‎（2）如图，取BC中点F，AC中点E，连接EF，OE，OF ‎∵EF∥AB，OF∥CD ‎∴∠EFO即为异面直线AB和CD所成的角 在△EFO中，EF====，‎ OF=，OE===，‎ ‎∴∠FEO=90°，∠EFO=45°‎ ‎∴异面直线AB和CD所成的角的大小为45°．‎ ‎　‎ ‎24．（理科）设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，AC=BC=1，CD=，‎ 求（1）AC与平面BCD所成角的大小；‎ ‎（2）二面角A﹣BC﹣D的大小．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（1）由已知得BD=，OB=OC=OD=，AO⊥平面BCD，AC与平面BCD所成角为∠ACO，由此能求出AC与平面BCD所成角的大小为30°．‎ ‎（2）由已知得AO=，AB=AC=1=BC，取BC中点E，则∠AEO是二面角A﹣BC﹣D的平面角，由此能求出二面角A﹣BC﹣D的正切值．‎ ‎【解答】解：（1）如图，∵Rt△BCD中，BC=1，CD=，‎ ‎∴BD=，‎ ‎∵O是Rt△BCD斜边中点，∴OB=OC=OD=，‎ ‎∵A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，‎ ‎∴AO⊥平面BCD，‎ ‎∴AC与平面BCD所成角为∠ACO，‎ ‎∵cos=，∴∠ACO=30°，‎ ‎∴AC与平面BCD所成角的大小为30°．‎ ‎（2）由（1）得AO=，AB=AC=1=BC，∴△ABC是正三角形 取BC中点E，则AE⊥BC，OE⊥BC，‎ AE=，OE=DC=，‎ 则∠AEO是二面角A﹣BC﹣D的平面角，tan∠AEO=．‎ ‎∴二面角A﹣BC﹣D的大小为arctan．‎ ‎　‎ ‎25．如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE=1，BC=2，AC=CD=3‎ ‎（1）证明：EO∥平面ACD； ‎ ‎（2）证明：平面ACD⊥平面BCDE；‎ ‎（3）求三棱锥E﹣ABD的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）如图，取BC的中点M，连接OM、ME．在三角形ABC中，利用中位线定理得到OM∥AC，再证出四边形MCDE是平行四边形，结合面面平行的判定得到面EMO∥面ACD，最后利用面面平行的性质即可得出结论；‎ ‎（2）根据AB是圆的直径，C点在圆上，得到直径所结的圆周角是直角，又平面BDCE⊥平面ABC，从而有AC⊥平面BDCE，最后利用面面垂直的判定即可得出平面ACD⊥平面BCDE；‎ ‎（3）由（2）知AC⊥平面ABDE，可得AC是三棱锥A﹣BDE的高线，再将三棱锥E﹣ABD的体积转化为三棱锥A﹣BDE的体积求解即可．‎ ‎【解答】（1）证明：如图，取BC的中点M，连接OM、ME．‎ 在三角形ABC中，O是AB的中点，M是BC的中点，‎ ‎∴OM∥AC，‎ 在直角梯形BCDE中，DE∥BC，且DE=CM，‎ ‎∴四边形MCDE是平行四边形，∴EM∥CD，‎ ‎∴面EMO∥面ACD，‎ 又∵EO⊂面EMO，‎ ‎∴EO∥面ACD；‎ ‎（2）证明：∵AB是圆的直径，C点在圆上，‎ ‎∴AC⊥BC，又∵平面BDCE⊥平面ABC，平面BDCE∩平面ABC=BC，‎ ‎∴AC⊥平面BDCE，∵AC⊂平面ACD，‎ ‎∴平面ACD⊥平面BCDE；‎ ‎（3）解：由（2）知AC⊥平面ABDE，可得AC是三棱锥A﹣BDE的高线，‎ ‎∵Rt△BDE中，S△BDE=DE×CD=×1×3=．‎ ‎∴VE﹣ABD=VA﹣BDE=×S△BDE×AC=××3=．‎