2021届广西柳江中学高三（11月）模拟考数学文科试题及答案解析

2021届广西柳江中学高三（11月）模拟考数学文科试题及答案解析

2021 届广西柳江中学高三（11 月）模拟考数学文科试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若 a ，b 为实数，且 4 i bii a   ，则b  （ ） A． 2 B．2 C． 4 D．4 2．函数 2 2 3y x x    定义域和值域分别为 M 、 N ，则 M N =（ ） A．[-1，3] B．[-1，4] C．[0，3] D．[0，2] 3．若某几何体的三视图 （单位：cm） 如图所示，则此几何体的体积是（ ）cm 3 4 3 2 2 正视图 侧视图 俯视图 A． B． 2 C． 3 D． 4 4．已知圆 P： 2 2 4 2 3 0x y x y     与直线3 0x my  （ mR ）相交于 A，B 两点，且 90APB  ，则 m 的值为（ ） A．0 B．4 C．0 或 4 D．0 或 4 5．已知定义在 R 上的奇函数  f x 满足      2 2f x f x f   ，则        1 2 3 2020f f f f     （ ） A．0 B．505 C．1010 D．2020 6．函数   2 1 x xf x e  的图象大致是（ ） A． B． C． D． 7．若 x，y 满足约束条件 0, + 3 0 2 0, x x y x y        ，则 2z x y  的最小值是（ ） A．0 B．3 C．4 D．6 8．已知数列 1{ } nS 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，设 2 2 log n n n Sb S   ， 1 2 3n nT b b b b    ， 则满足 6nT … 的最小正整数 n 是（ ） A．12 B．11 C．10 D．9 9．孪生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，2013 华人数学家张益唐证明了孪生 素数猜想是一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数 p ，使得 2p  是素数，素数对 ( , 2)p p  称为孪生素数对，问：如果从 30 以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪 生素数的积超过 20 的概率为（ ）． A． 2 3 B． 3 4 C． 4 5 D． 5 6 10．若 3 4cos ,sin ,2 5 2 5    则角 的终边落在直线（ ）上 A． 24 7 0x y  B． 24 7 0x y  C． 7 24 0x y  D． 7 24 0x y  11．已知函数  y f x 对任意自变量 x 都有    2f x f x  ，且函数  f x 在 1, 上单调．若 数列 na 是公差不为 0 的等差数列，且  6 2012( }f a f a ，则 na 的前 2017 项之和为（ ） A．0 B．2017 C．2016 D．4034 12．已知函数 ( ) sin(2 )f x x   ，若 ( ) ( )3f x f x   ，且 ( ) ( )2f f   ，则 ( )f x 取最大值时 x 的 值为（ ） A． ,3 k k Z   B． ,4 k k Z   C． ,6 k k Z   D． 5 ,6 k k Z    二、填空题 13．设 R ，则“ 2 2     ”是“sin 0  ”的_________条件.（在一下条件中填一个：充 分不必要，充要，必要不充分，既不充分又不必要） 14．已知非零向量 a ， b ， c 满足 1a  ， 2a b a b      ， ( ) ( ) 3c a c b      ，则 c 的最 小值是 ，最大值是 ． 15．已知， ，则 { [ (5)]}f f f 等于__________. 16．已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边 BC 上的中线 AD = 2，将△ABC 沿 AD 折成 60°的二面 角，连结 BC，则三棱锥 C - ABD 的体积为 ． 三、解答题 17．已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 21 4y x 的焦 点，它的离心率是双曲线 2 2 14 x y  的离心率的倒数. （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线l 交椭圆C 于 A 、 B 两点，交 y 轴于 M 点，若 1MA AF  ， 2MB BF  ，求证： 1 2  为定值. 18． 香䁞 的内角 ǡ香ǡ䁞 的对边分别为 ǡǡ ，已知 cos䁞 o scos , tan䁞 o s , （Ⅰ）求 香 ; （Ⅱ）若 o 䁪 ，求 香䁞 的面积. 19．已知四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1AA  底面 ABCD，且底面 ABCD 为菱形，F 为 1BB 的中 点，M 为线段 1AC 的中点， 求证:（1） MF  平面 ABCD; （2） MF  平面 1 1A ACC . 20．已知 ( ) | 3| | |f x x x a    . （1）当 4a  时，解不等式 ( ) 2f x  ； （2）若关于 x 的不等式 2( ) 3f x a a  的解集非空，求实数 a 的取值范围. 21．已知点  1 2 cos , 2 sinP    （其中  0,2  ，点 P 的轨迹记为曲线 1C ，以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 Q 在曲线 2 1: 2 cos 4 C        上． （1）求曲线 1C 的极坐标方程和曲线 2C 的直角坐标方程； （2）当 0  ， 0 2   时，求曲线 1C 与曲线 2C 的公共点的极坐标 22．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段  40,50 ， 50,60 … 90,100 后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问 题： （1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成绩的中位数. （2）从被抽取的数学成绩是 70 分以上（包括 70 分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概 率. （3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取 4 个学生，设这四个学生中数学成绩 为 80 分以上（包括80 分）的人数为 X （以该校学生的成绩的频率估计概率），求 X 的分布列和数 学期望. 23．已知函数 1( ) ln 1( )af x x ax a Rx      . (1)当 1a   时，求曲线 ( )y f x 在点 2, (2)f 处的切线方程； (2)当 1 2a  时，讨论 ( )f x 的单调性． 【答案与解析】 1．D 根据复数的乘法运算，将原式化简，再由复数相等，即可得出结果. 由 4 i bii a   得， 24 i ai bi   ，即 4 i b ai   ， 所以 4b  . 故选：D. 本题主要考查由复数相等求参数的问题，熟记复数的乘法运算法则即可，属于基础题型. 2．D 先求出函数 2 2 3y x x    的定义域和值域,得到集合 M 、 N ，再求交集即可. 解:要使函数 2 2 3y x x    有意义, 则 2 2 3 0x x    解得 1 3x   ， 故  1,3M   ； 由 2( 1) 4 [0,2]y x     ， 所以  0,2N  .故  0,2M N  . 则选:D 本题考查函数的定义域和值域的求法,考查集合的交集运算,是简单题. 3．B 试题分析：由三视图可知 ，原几何体是圆锥的一半，故 21 1 2 3 22 3V        ,选 B． 考点：由三视图求几何体的体积 4．C 首先将圆的方程化成标准式，求出圆心坐标，半径，再根据点到直线的距离公式计算可得. 解：∵P 为圆 2 2 4 2 3 0x y x y     的圆心，    2 22 1 8x y    ，  2, 1P  ， 2 2r  . 又 90APB   ，∴圆心到直线3 0x my  的距离 2 2 3 2 2 3 md m     ，解得 0m  或 4，故选： C. 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题. 5．A 根据题意，由函数奇偶性得到函数周期，进而可求出结果. 由奇函数可得  0 0f  ．由      2 2f x f x f   ， 令 2x  ，得  2 0f  ，则    2f x f x  ， 所以  f x 的图象关于 1x  对称． 又因为             2 2 2 2 4 4f x f x f x f x f x f x              ， 所以  f x 是周期为 4 的周期函数．            1 3 5 7 2017 2019 0f f f f f f       ，          2 4 6 2018 2020 0f f f f f      ， 所以        1 2 3 2020 0f f f f     ． 故选：A. 本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，属于常考题型. 6．C 根据奇偶性以及函数值正负与趋势确定选项. ∵ xR ，且 ( ) ( )f x f x  ,∴ ( )f x 是偶函数，故排除 B 项； 又∵ 1x  时， ( ) 0f x  ; x   时， ( ) 0f x  ，所以排除 A,D 项； 故选：C． 本题考查函数奇偶性与函数图象识别，考查基本分析判断能力，属基础题. 7．C 画出可行域，通过平移基准直线 2 0x y  到可行域边界位置，由此求得 z 的最小值. 画出可行域如下图阴影部分所示，由图可知， 过平移基准直线 2 0x y  到可行域边界  2,1A 时， 2z x y  有最小值为 2 2 1 4   . 故选：C 本小题主要考查利用线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 8．C 本题先根据等差数列的定义计算出数列 1{ } nS 的通项公式，从而可得 1 nS n  ，然后代入 2 2 log n n n Sb S   进行计算并加以转化，再运用裂项相消法进行求和，写出 nT 的表达式，然后将四个 选项的结果代入 6nT … 进行计算并比较即可得到满足 6nT … 的最小正整数 n . 由题意，可知 1 1 1 ( 1) n n nS      ，故 1 nS n  ， *n N ， 2 2 2 2 2 2 1 2log log log log ( 2) log1 2 n n n S nnb n nS n n          ， 1 2 3 4 1n n nT b b b b b b       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(log 3 log 1) (log 4 log 2) (log 5 log 3) (log 6 log 4) [log ( 1) log ( 1)]n n            2 2[log ( 2) log ]n n   2 2 2 2log ( 1) log ( 2) log 1 log 2n n      2log ( 1)( 2) 1n n    ， 6nT … ，即 2log ( 1)( 2) 1 6n n   … ， 化简整理，得 ( 1)( 2) 128n n  … ， 当 9n  时，10 11 110 128   ，故选项 D 不符合题意， 当 10n  时，11 12 132 128   ， 当 11n  时，12 13 156 128   ， 当 12n  时，13 14 182 128   ， 满足 6nT … 的最小正整数 n 是 10，选项C 正确， 故选：C 本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求和，数列与不等式综合.考查了转化与化归 思想，定义法，对数的运算，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题. 9．B 列举出 30 以内的素数组成的孪生素数对有 4 个，这对孪生素数的积超过 20 包含的基本事件有 3 个， 由此能求了这对孪生素数的积超过 20 的概率. 30 以内的素数组成的孪生素数对有（3，5），(5，7)，(11，13)，(17，19)，从 30 以内的素数组成 的孪生素数对中随机抽取—对，基本事件个数 n=4， 这对孪生素数的积超过 20 包含的基本事件有:(5，7),(11，13), (17，19），共 3 个， 所以这对孪生素数的积超过 20 的概率为 3 4p  ， 故选：B 本题主要考查了概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题. 10．B 由条件可知 2 7 24cos 2cos 1 ,sin 2sin cos2 25 2 2 25          ， 24tan 7   ．又 24tan 7 y x     ， 所以 24 7x y  ，即 24 7 0x y  . 故选：B． 11．B 因为函数  y f x 对任意自变量 x 都有    2f x f x  ，所以函数的对称轴为 1x  ，因为  6 2012( }f a f a ，所以 6 2017 2a a  ，由等差数列前 n 项和公式    1 2017 6 20122017 2017 20172 2n a a a aT       ，故选 B. 12．C 由题意可得 6x  为 f（x）的对称轴，再根据   2f f       ，由此求出 的值，写出 f（x）的 解析式，求出  f x 取最大值时 x 的值. ∵  3f x f x     对 x∈R 恒成立， ∴ 6x  为  f x 的对称轴， ∴ 2 6 2k k Z      ， ， 解得 ,6k k Z   ， ， ∵   2f f       ， ∴ 2 , 0,sin sin sin sin sin（ ）＞ （ ）， ＞ ＞          故取 ,6   ， 2 6f x sin x   （ ） （ ），则 2 2 ,6 2 6x k x k k Z        ， 取最大值 故选 C. 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题． 13．充分不必要 分别解不等式 2 2     和sin 0  ，利用集合的包含关系判断可得出结论. 解不等式 2 2     ，即 2 2 2       ，解得 0    ； 解不等式 sin 0  ，可得 2 2k k      ，其中 k Z .  0     2 2 ,k k k Z        ， 因此，“ 2 2     ”是“sin 0  ”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 本题考查充分不必要条件的判断，考查了集合包含关系的应用，考查计算能力与推理能力，属于基 础题. 14．1，3． 试题分析：根据题意可知， 2 2( ) ( ) 3 ( ) 3 | | 2 cos , 3c a c b c a b c c c a b c                        2| | 3cos , [ 1,1] [1,3]2 ca b c cc          ，∴ c 的最小值是1，最大值是3． 考点：平面向量数量积及其综合运用． 15． 5 先求出  5 0f  ，再求得  0 1f   以及  1 5f    ，即为 { [ (5)]}f f f 的值．           5 0, 5 0 1, { [ (5)]} 1 2 1 3 5f f f f f f f f              故答案为： 5 本题考查函数求值，考查分段函数的应用，考查学生计算能力，属于基础题． 16． . 试题分析：由题意有:AD  面 BCD, 21 1 3 2 32 2 .3 3 4 3C ABD A BCD BCDV V AD S           考点：三棱锥体积 17．(1) 2 2 15 x y  . (2)见解析. 分析：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ，抛物线方程为 2 4x y ，其焦点为 (0,1) ， 根据题意求得 1b  ，进而根据离心率求得 2 5a  ，即可得到椭圆的方程； （Ⅱ）设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 0(0, )M y ，设直线l 的方程为 ( 2)y k x  ，代入椭圆的方程，利 用韦达定理，得 1 2 1 2,x x x x ，进而得到向量的坐标，根据 1MA AF  ， 2MB BF  ，即可求解 1 2  的值. 详解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ，抛物线方程为 2 4x y ，其焦点为 0,1 ， 则椭圆C 的一个顶点为 0,1 ，即 1b  ，由 2 2 2 2 5 5 c a be a a    ， ∴ 2 5a  ，所以椭圆C 的标准方程为 2 2 15 x y  . （Ⅱ）证明：易求出椭圆C 的右焦点  2,0F ， 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  00,M y ，显然直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为  2y k x  ，代入方程 2 2 15 x y  ， 整理得 2 2 2 21 5 20 20 5 0k x k x k     ，∴ 2 1 2 2 20 1 5 kx x k    ， 2 1 2 2 20 5 1 5 kx x k   ， 又  1 1 0,MA x y y  ，  2 2 0,MB x y y  ，  1 12 ,AF x y    ，  2 22 ,BF x y   ， 而 1MA AF  ， 2MB BF  ， 即   1 1 0 1 1 10, 2 ,x y y x y     ，   2 2 0 2 2 20, 2 ,x y y x y     ， ∴ 1 1 12 x x    ， 2 2 22 x x    ，所以 1 2 1 2 1 22 2 x x x x          1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 104 2 x x x x x x x x       . 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此 类题目，通常利用 , , ,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆 （圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定 函数的性质进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能 力等. 18．（Ⅰ） ；（Ⅱ） 䁪 s . 试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理， o s昀sin ， o s昀sin䁞 将边化为角，根据同角基本关系求得 tan o s tan䁞 ，最后根据 tan香 on tan 䁞 ，根据两角和的正切公式化简；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的 结果和正弦定理求 ，最后三角形的面积公式 o s sin䁞 求解. 试题解析：（Ⅰ）由题设条件及正弦定理，得 sincos䁞 o ssin䁞cos , tan o s tan䁞 ; tan䁞 o s , tan o , tan香 o tan n 䁞 on tan 䁞 on tantan䁞 ntantan䁞 on , 香 ǡ 香 o . （Ⅱ）在 香䁞 中，由 tan o ， tan䁞 o s 得 sin o ， sin䁞 o 䁪 䁪 ， 由正弦定理，得 o 䁪 sin ，解得 o 䁪 ， 香䁞 o s sin䁞 o s 䁪 䁪 䁪 䁪 o 䁪 s . 19．(1) 证明见解析(2) 证明见解析 (1) 取 AC 的中点 O,再证明 MF BO∥ 即可. (2)利用等腰三角形与菱形的性质证明 1MF AC 与 MF AC 即可. 证明:（1）取 AC 的中点 O,连接 MO, 因为 M,O 分别为 1AC ,AC 的中点, 所以 1 1 2MO CC∥ 又 F 为 1BB 的中点, 所以 1 1 2BF CC∥ . 所以 MO BF∥ . 所以四边形 MOBF 为平行四边形. 所以 MF BO∥ ,又 MF  平面 ABCD, BO  平面 ABCD, 所以 MF  平面 ABCD. （2）因为 F 为 1BB 的中点,易得 1AF C F , 又 M 为 1AC 的中点,所以 1.MF AC 又四边形 ABCD 为菱形,所以 BO AC . 又 MF BO∥ ,所以 MF AC . 又 1AC AC A ,所以 MF  平面 1 1A ACC . 本题主要考查了线面平行与线面垂直的判定与性质,属于中等题型. 20．（1） 5 9,2 2      ；（2） ( , 1] [3, )    （1）由 4a  可得| 3| | 4 |x x   ，去绝对值，分类讨论解不等式，求并集，可得所求解集； （2）由题意可得 2( ) 3f x a a  有解，运用绝对值不等式的性质可得此不等式左边的最小值，解 a 的 不等式可得所求范围. (1) 当 4a  时, ( ) | 3| | 4|f x x x    2 7, 4 1,3 4 7 2 , 3 x x x x x         , 故 ( ) 2f x  等价于 2 7 2 4 x x     或 1 2 3 4x     或 7 2 2 3 x x     . 解得： 94 2x  或 3 4x  或 5 32 x  . 综上所述：不等式 ( ) 2f x  的解集为: 5 9,2 2      . (2) 不等式 2( ) 3f x a a  的解集非空, x R  使得 2| 3| | | 3x x a a a     成立， 而| 3| | | | ( 3) ( ) | | 3|x x a x x a a         ， 故 2| 3| 3a a a   ， 即 2 23 3 3a a a a a     ，即 2 2 2 3 0 4 3 0 a a a a         ， 解得 3 1 3  1 a a a       或 或 ， 故 a 的取值范围为 ( , 1] [3, )    本题考查分类讨论解绝对值不等式以及不等式能成立求参数的问题，考查学生分类讨论的思想，属 于中档题. 21．(1) 2 2 cos 1 0     , 1 0x y   (2) 31, 2      (1) 由点  1 2 cos , 2 sinP    （其中  0,2  ,可知点 P 的轨迹曲线 1C 的参数方程为： 1 2 cos 2 sin x y        ,化为直角坐标方程,再利用互化公式即可化为极坐标方程, Q 的曲线方程为 2 1: 2 cos 4 C        ,化简得 22 ( cos sin ) 12       ,利用互化公式即可得出结果. (2) 直线方程与圆的方程联立解得直角坐标再化为极坐标即可得出. （1）点  1 2 cos , 2 sinP    （其中  0,2  ,可知点 P 的轨迹曲线 1C 的参数方程为： 1 2 cos 2 sin x y        ,化为直角坐标方程为: 2 2( 1) 2x y   . 展开为 2 2 2 1 0x y x    ,化为极坐标方程： 2 2 cos 1 0     Q 的曲线方程为 2 1: 2 cos 4 C        ,化简得 22 ( cos sin ) 12       ,化为直角坐标方 程: 1 0x y   （2）联立 2 2 1 0 2 1 0 x y x y x         化为 0x  ,解得 0 1 x y     ,可得交点 (0, 1) ,化为极坐标 31, 2      本题考查参数方程和直角坐标方程的互化,考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,考查直线和圆的 交点问题,属于中档题. 22．（1） 73.33分.（2） 29 70P  .（3）见解析. 试题分析：⑴通过各组的频率和等于1，求出第四组的频率，考查直方图，求出中位数即可；    2 * GB2  ⑵ 分别求出 70,80 ， 80,90 ， 90,100 的人数是18，15，3，然后利用古典概 型概率求解即可；⑶判断概率类型  4 0.3X B ， ，即可写出 X 的分布列和数学期望 解析：（1）因为各组的频率和等于 1，故第四组的频率： 4 1 (0.025 0.15*2 0.01f     0.005)*10 0.3  . 直方图如图所示. 中位数是 0.170 10 73.330.3cx     ， 估计这次考试的中位数是 73.33分. （2） 70,80 ， 80,90 ， 90,100 的人数是18，15，3，所以从成绩是 70 分以上（包括 70 分） 的学生中选两人，他们在同一分数段的概率： 2 2 2 18 15 3 2 36 29 70 C C CP C    . （3）因为  4,0.3X B ，   4 4 0.3 0.7k k kp X k C    ， 0,1,2,3,4k  ， 所以其分布列为： X 0 1 2 3 4  P X k 0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081 数学期望为 4 0.3 1.2EX np    . 23．(1) ln 2 0x y   ; (2) 当 0a  时，函数 ( )f x 在(0,1)上单调递减，(1,＋∞)上单调递增； 当 1 2a  时， ( )f x 在(0，＋∞)上单调递减； 当 10 2a  时， ( )f x 在(0,1)上单调递减， 1(1, 1)a  上单调递增， 在 1( 1, )a   上单调递减． (1)当 1a   时，求出 (2), '(2)f f ，根据点斜式即可求出切线方程；(2)求 '( )f x ,通分可知分母恒 大于 0，只需对分子进行分情况讨论，所以构造 2( ) 1g x ax x a    ，由于 2x 的系数为 a ，所以 先以 0, 0a a  讨论，当 0a  时， ( )g x 为二次函数且两根为 1， 1 1a  ，所以以 1， 1 1a  的大小 关系分情况讨论即可. (1) 1a   时， 2( ) ln 1, (0, )f x x x xx       , 2 1 2'( ) 1f x x x    , 因此 '(2) 1,f  即曲线 ( )y f x 在点 2, (2)f 处的切线斜率为 1. 又 (2) ln 2 2f   ，所以曲线 ( )y f x 在点 2, (2)f 处的切线方程为 (ln 2 2) 2y x    ，即 ln 2 0x y   . (2)因为 1( ) ln 1, (0, )af x x ax xx       ， 所以 2 2 2 1 1 1'( ) a ax x af x ax x x         ． 令 2( ) 1g x ax x a    ， ①当 0a  时， ( ) 1 , (0, )g x x x    ， 当 (0,1)x 时， ( ) 0, '( ) 0, ( )g x f x f x  单调递减； 当 (1, )x  时， ( ) 0, '( ) 0, ( )g x f x f x  单调递增； ②当 0a  时， 1( ) ( 1)( ( 1)), (0, )g x a x x xa       , (i)当 1 2a  时， ( ) 0g x  恒成立， '( ) 0, ( )f x f x 在(0，＋∞)上单调递减； (ii)当 10 2a  时， 1 1 1 0,a    (0,1)x 时， ( ) 0, '( ) 0, ( )g x f x f x  单调递减； 1(1, 1)x a   时， ( ) 0, '( ) 0, ( )g x f x f x  单调递增； 1( 1, )x a    时， ( ) 0, '( ) 0, ( )g x f x f x  单调递减； ③当 0a  时，由 1 1 0a   ， (0,1)x 时， ( ) 0, '( ) 0, ( )g x f x f x  单调递减； (1, )x  时， ( ) 0, '( ) 0, ( )g x f x f x  单调递增. 综上所述： 当 0a  时，函数 ( )f x 在(0,1)上单调递减，(1,＋∞)上单调递增； 当 1 2a  时， ( )f x 在(0，＋∞)上单调递减； 当 10 2a  时， ( )f x 在(0,1)上单调递减， 1(1, 1)a  上单调递增， 在 1( 1, )a   上单调递减． 利用导数判断函数单调性的常用步骤：①确定函数 ( )y f x 的定义域； ②求导数 '( )f x 并化简，令 '( ) 0f x  ，解此方程，求出在定义域内的一切实根； ③用求得的根划分定义区间，确定 '( )f x 在各个开区间内的符号； ④确定 '( )f x 在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．