襄阳五中 2015—2018 届高二年级 10 月月考

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襄阳五中 2015—2018 届高二年级 10 月月考 数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 设集合    2 22 0 , 2 ,A x x x B y y x x x A       ，则 A B  （ ） A． 0,2 B． 1,2 C． ( ,2] D．[0, ) 2. 已知 1e  、 2e  是夹角为 60的两个单位向量，则 1 22a e e    与 1 23 2b e e     的夹角的正弦值是（ ） A. 3 2 B. 1 2  C. 1 2 D. 3 2  3. 下列说法中不正确的是（ ） A. 对于线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ，直线必经过点 ( , )x y B. 茎叶图的优点在于它可以保存原始数据，并且可以随时记录 C. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变 D. 掷一枚均匀硬币出现正面向上的概率是 1 2 ，那么一枚硬币投掷 2 次一定出现正面 4. 定义某种运算 baS  ,运算原理如图所示,则式 子: 1 25 1 1sin ln ( ) lg1003 3 π e     的值是 ( ) A． 3 B． 2 3 C． 3 D．4 5. 设数列{ }na 是以 3 为首项，1 为公差的等差数列，{ }nb 是以 1 为 首项，2 为公比的等比数列，则 4321 aaaa bbbb  = A．15 B．72 C．63 D． 60 6. 如图，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，M 为棱 BB1 的中点， 则下列结论中错误的是（ ） A.D1O∥平面 A1BC1 B. D1O⊥平面 MAC C.异面直线 BC1 与 AC 所成的角为 60° D.MO 与底面所成角为 90° 7. 在 ABC 中 ， 已 知 1,600  bA ， 其 面 积 为 3 ， 则 CBA cba sinsinsin   为（ ） A． 33 B． 3 326 C． 2 39 D． 3 392 8. 直线 2 23 ( 3) ( 2) 4y kx x y     与圆 相交于 M，N 两点， 2 3MN  ，则 k 的取值范围是（ ） A． 3[ ,0]4  B．  3, 0,4        C． 3 3[ , ]3 3  D． 2[ ,0]3  9. 将函数 )2)(2sin()(   xxf 的图象向左平移 6  个单位长度后，所得函数 )(xg 为奇函数，则函 数 )(xf 在     2,0  上的最小值（ ） A． 2 3 B． 2 1 C． 2 1 D． 2 3 10. 函 数 9 52 4 m 1( ) ( 1) mf x m m x     是 幂 函 数 ， 对 任 意 1 2, (0, )x x   ， 且 1 2x x ， 满 足 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x   ，若 Ra b， ，且 + 0, 0a b ab  ，则 ( ) ( )f a f b 的值 （ ） A. 恒大于0 B. 恒小于 0 C. 等于 0 D. 无法判断 11. 已知 x，y 均为正数且 x+2y=xy，则（ ）. A．xy+ 有最小值 4 B．xy+ 有最小值 3 C．x+2y+ 有最小值 11 D．xy﹣7+ 有最小值 11 12. 函数 2 1( 0)( ) ( 1)( 0) x xf x f x x       若方程 axxf )( 有且只有两个不等的实数根，则实数 a 的取值范围 为 （ ） A．(-∞,0) B．[0,1) C．(-∞,1) D．[0,+∞) 二、填空题 13．直线 sin 1 0x y    （ R  ）的倾斜角范围是 14. 如图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为 15. 设实数 x，y 满足约束条件 2 0, 2 4 0, 2 3 0, x y x y y           则 y x 的最大值为 16. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， ,A B 分 别 是 x 轴 和 y 轴 上 的 动 点 ， 若 以 AB 为 直 径 的 圆 C 与 直 线 043  yx 相切，则圆C 面积的最小值为 三、解答题 17.（本小题满分 10 分） 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60， 70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求图中 a 的值； （2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； （3）若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下 表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数． 分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） x：y 1：1 2：1 3：4 4：5 18.（本小题满分 12 分） 已知两条平行直线 013:1  yxl 与 033:2  yxl （1）若直线 m 经过点  4,3 ，且被 21,ll 所截得线段长为 2 ，求直线 m 的方程； （2）若直线 n 与 21,ll 都垂直，且与坐 标轴围成三角形面积是 32 ，求直线 n 的方程。 19.（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) 2sin cos cos sin sin2f x x x x      （ 0    ）在 x  处取最小值. （1）求 的值； （2）在 ABC 中， , ,a b c 分别为角 , ,A B C 的对边， 31, 2, ( ) 2a b f A   ，求角C . 20.（本小题满分 12 分） 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， AB  平面 PAD ， //AB CD ， PD AD ， E 是 PB 的中点， F 是CD 上的点且 1 2DF AB ， PH 为△ PAD 中 AD 边上的高. （1）证明： PH 平面 ABCD ； （2）若 1PH  ， 2AD  ， 1FC  ，求三棱锥 E BCF 的体积； （3）证明： EF  平面 PAB . 21.（本小题满分 12 分） 已知数列{ }na 的各项均为正数，其前 n 项和为 nS ，且 2 1n na S  ， *n N ，数列 1 2 1 3 2 1, , ,..., ( 2)n nb b b b b b b n    是首项和公比均为 1 2 的等比数列。 （1）求证数列{ }nS 是等差数列； （2）若 n n nc a b ，求数列 }{ nc 的前 n 项和 nT 。 22.（本小题满分 12 分） 如图，已知定圆 2 2: ( 3) 4C x y   ，定直线 :m 3 6 0x y   ，过 ( 1,0)A  的一条动直线l 与直线 m 相交于 N , 与圆C 相交于 P ,Q 两点， M 是 PQ 中点. （1）当 2 3PQ  时，求直线l 的方程； （2）设 t  AM AN  ,试问t 是否为定值,若为定 值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由. 襄阳五中 2015—2018 届高二年级 10 月月考数学参考答案（文） 选择题：BADAD DDAAA CC 二填空题：13 3[ ]4 4  ， 14. 40 3 15. 2 3 16.  5 2 三解答题 17.答案（1） 005.0a （2 分） （2）73 分（4 分） （3）10（4 分） 18.(1)解：l1、l2 之间的距离 2 2 | 3 1| 1 ( 3) ( 1) d     设直线 m 与 l1 所成锐角为 ，则 1sin 2   ，∴ 30   ， 直线 m 的倾斜角为 90°或 30° 所以，直线 m 的方程为 3x  或 34 ( 3)3y x   即 3x  或 3 33y x  ． (2)解：直线 l1 的斜率是 1 3k  ∵ n l ∴直线 n 的斜率是 3 3k   设直线 n 的方程为 3 3y x b   令 0y  得 3x b 令 0x  得 y b ∴ 1 | 3 | | | 2 32 b b  ∴ 2b   ∴直线 n 的方程为 3 23y x   或 3 23y x   ． 19. .(1) 1 cos( ) 2sin cos sin sin sin( )2f x x x x x         ∵ 当 x  时， ( )f x 取得最小值 ∴ sin( ) 1    即sin 1  又∵ 0    ， ∴ 2   (2) 由(1)知 ( ) cosf x x ∵ 3( ) cos 2f A A  ，且 A 为 ABC 的内角 ∴ 6A  由正弦定理得 sin 2sin 2 b AB a   知 4B  或 3 4B  当 4B  时， 7 12C A B     ，当 3 4B  时， 12C A B     综上所述， 7 12C  或 12C  20. 21 （2）∵ 1 ( 1)nS S n n    ，∴ 2 nS n ， 2 1na n  ； ∵ 1 2 1 3 2 1 1( ) ( ) ... ( ) 1 2n n n nb b b b b b b b           ， ∴ 1 2 1(2 1)(1 ) (2 1)2 2n n n nc n n       ，先求数列 2 1{ }2n n  的前 n 项和 nA ， ∵ 2 3 4 1 3 5 7 2 1...2 2 2 2 2n n nA       ， 2 3 4 1 1 1 3 5 2 3 2 1...2 2 2 2 2 2n n n n nA         ， ∴ 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1...2 2 2 2 2 2 2 2n n n n nA           ， 1 1 3 2 3 2 2 2n n nA    ，所以 2 33 2n n nA   ，∴ 2 2 33 2n n nT n    。 22.当直线l 与 x 轴垂直时,易知 P，Q 的坐标为 ( 1,3 3)  ，( 1,3 3)  ，所以 2 3PQ  ，故 1x   符 合题意; 当直线与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 ( 1)y k x  ,由于 2 3PQ  ,所以 1CM  ，由 2 3 1 1 kCM k     ,解得 4 3k  . 故直线l 的方程为 1x   或 4 3 4 0x y   . (2) 当 l 与 x 轴 垂 直 时 , 由 （ 1 ） 得 ( 1,3)M  , 5( 1, )3N   , 又 ( 1,0)A  , 则 (0,3)AM  , 5(0, )3AN   5AM AN    ,即 5t   当 l 的斜率 存在时, 设 P 1 1( , )x y ，Q 2 2( , )x y ，直线 l 的方程 为 ( 1)y k x  ,代入圆 的方程 得 2 2 2 2(1 ) (2 6 ) 6 5 0k x k k x k k       则 2 1 2 2 3 2 1M x x k kx k      ， My  ( Mk x 1) 2 2 3 1 k k k   ， 即 2 2 2 2 3 3( , )1 1 k k k kM k k      ， 2 2 2 3 1 3( , )1 1 k k kAM k k      ， 又由 ( 1) 3 6 0 y k x x y       ，得 3 6 5( , )1 3 1 3 k kN k k      ，则 5 5( , )1 3 1 3 kAN k k      故t  2 2 2 2 2 15 5 5 (3 ) 5(1 3 )(1 ) 5(1 )(1 3 ) (1 )(1 3 ) (1 )(1 3 ) k k k k k kAM AN k k k k k k                    综上，t 的值为定值-5