高考数学热点题型和提分秘籍专题12任意角和弧度制及任意角的三角函数文

高考数学热点题型和提分秘籍专题12任意角和弧度制及任意角的三角函数文

专题 12 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1．了解任意角的概念 2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 热点题型一 象限角与终边相同的角 例 1、 (1)终边在直线 y＝ 3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。 (2)如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置。 【答案】（1） －5 3 π，－2 3 π，π 3 ，4 3 π （2）见解析 即π 2 ＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z)， 所以角－α的终边在第二象限。 由π＋2kπ＜α＜3π 2 ＋2kπ(k∈Z)， 得 2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)。 所以角 2α的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴。 【提分秘籍】 1．终边在某直线上角的求法步骤 (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。 (2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。 (3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。 (4)求并集化简集合。 2．确定 kα，α k (k∈N*)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出 kα或α k 的范围，然后根据 k 的可能取值讨论确定 kα 或α k 的终边所在位置。 【举一反三】 设角α是第二象限的角，且|cosα 2 |＝－cosα 2 ，则角α 2 属于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 热点题型二 扇形的弧长及面积公式 例 2、 (1)已知扇形周长为 10，面积是 4，求扇形的圆心角。 (2)已知扇形周长为 40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ 【解析】(1)设圆心角是θ，半径是 r， 【提分秘籍】 弧度制应用的关注点 1.弧度制下 l＝|α|·r，S＝1 2 lr，此时α为弧度。在角度制下，弧长 l＝nπr 180 ，扇形面积 S＝nπr2 360 ，此 时 n 为角度，它们之间有着必然的联系。 2.在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形。 【举一反三】 已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长 AB＝12 cm，求弧长 l。 【解析】设扇形的半径为 r cm，如图。 由 sin60°＝6 r ， 得 r＝4 3(cm)， ∴l＝|α|·r＝2π 3 ×4 3＝8 3 3 π(cm)。 热点题型三 三角函数的定义及其应用 例 3． (1)若角θ的终边经过点 P(－ 3，m)(m≠0)且 sinθ＝ 2 4 m，则 cosθ的值为________。 (2)顶点在原点，始边在 x 轴的正半轴上的角α，β的终边与圆心在原点的单位圆交于 A，B 两点，若α ＝30°，β＝60°，则弦 AB 的长为________。 【答案】（1）－ 6 4 （2） 6－ 2 2 【提分秘籍】三角函数定义的应用方法 (1)已知角α终边上一点 P 的坐标，可求角α的三角函数值。先求 P 到原点的距离，再用三角函数的定 义求解。 (2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点 P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方 程求参数值。 (3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐 标。 【举一反三】 已知角α的终边与单位圆的交点 P －1 2 ，y ，则 sinα·tanα＝( ) A．－ 3 3 B．± 3 3 C．－3 2 D．±3 2 【答案】C 【解析】由|OP|2＝1 4 ＋y2＝1，得 y2＝3 4 ，y＝± 3 2 。 得 y＝ 3 2 时，sinα＝ 3 2 ，tanα＝－ 3，此时，sinα·tanα＝－3 2 。 当 y＝－ 3 2 时，sinα＝－ 3 2 ，tanα＝ 3， 此时，sinα·tanα＝－3 2 ，故选 C。 1.【2017 北京】在平面直角坐标系 xOy 中，角α与角β均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若 1sin 3   ， cos( )  =___________. 【答案】 7 9  【解析】因为 和  关于 y 轴对称，所以 2 ,k k Z       ，那么 1sin sin 3    ， 2 2cos cos 3     （或 2 2cos cos 3     ）， 所以   2 2 2 7cos cos cos sin sin cos sin 2sin 1 9                   . 1.【2016 高考新课标 3 理数】在 ABC△ 中， π 4B = ， BC 边上的高等于 1 3 BC ,则 cos A=（ ） （A） 3 10 10 （B） 10 10 （C） 10 10- （D） 3 10 10- 【答案】C 2.【2016 高考新课标 2 理数】若 3cos( )4 5    ，则sin 2  （ ） （A） 7 25 （B） 1 5 （C） 1 5  （D） 7 25  【答案】D 【解析】 2 2 3 7cos 2 2cos 1 2 14 4 5 25                              ， 且 cos 2 cos 2 sin 24 2                    ，故选 D. 【2015 高考新课标 1，理 2】 o o o osin 20 cos10 cos160 sin10 =( ) （A） 3 2  （B） 3 2 （C） 1 2  （D） 1 2 【答案】D 【解析】原式= o o o osin 20 cos10 cos 20 sin10 = osin 30 = 1 2 ，故选 D. （2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图 11，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始 边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函 数 f(x)，则 y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为( ) 图 11 A B C D 【答案】C 1.sin(-270°)= ( ) A.-1 B.0 C. D.1 【解析】选 D. 因为-270°角的终边位于 y 轴的非负半轴上，在其上任取一点(0，y)，则 r=y，所以 sin(-270°)= ==1. 2.已知α是第四象限角，则π-α是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】选 C. 因为α，π-α的终边关于 y 轴对称，所以由题意得π-α是第三象限角. 3.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是 ( ) A. B. C.- D.- 【解析】选 B. 由题意小明需要把表调慢一个小时，逆时针旋转时针 弧度. 4.已知角α的终边上一点的坐标为 ，则角α的终边在第 象限( ) A.一 B.二 C.三 D.四 【解析】选 D. 因为 = ，所以α在第四象限. 5.下列命题中正确的是 ( ) A.若两扇形面积的比是 1∶4，则它们弧长的比是 1∶2 B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值 C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值 D.任意角的集合可与实数集 R 之间建立一一对应关系 6.若 tanα<0，且 sinα>cosα，则α在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[] 【解析】选 B. 因为 tanα<0，所以α在第二或第四象限，又 sinα>cosα，所以α在第二象限. 7.对于第四象限角的集合，下列四种表示中错误的是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C. 先选定一周，A:270°到 360°再加 360°的整数倍，B:-90°到 0°再加 360°的整数倍， D:630°到 720°再加 360°的整数倍，故 A，B，D 都正确，只有 C 错误. 8.已知角α的始边与 x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点 P 到原点的距离为 ， 若α= ，则点 P 的坐标为 ( ) A.(1， ) B.( ，1) C.( ) D.(1，1) 【解析】选 D.设点 P 的坐标为(x，y)，则由三角函数的定义得 即 故点 P 的坐标为(1，1). 9.下列终边相同的角是 ( ) A.kπ+ 与 ，k∈Z B.kπ± 与 ，k∈Z C.kπ+ 与 2kπ± ，k∈Z D.(2k+1)π与(4k±1)π，k∈Z 10.如图，设点 A 是单位圆上的一定点，动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点 P 所旋转过的 弧 AP 的长为 l，弦 AP 的长为 d，则函数 d=f(l)的图象大致为 ( ) 【解析】选 C.如图，取 AP 的中点为 D，设∠DOA=θ， 则 d=2sinθ，l=2θR=2θ， 所以 d=2sin 2 l . 11．已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为 . 【答案】 或 【解析】根据正弦线和余弦线的定义知， 当α= 和 时，其正弦线和余弦线长度相等，且符号相同. 12．若 sinθ·cosθ<0， =cosθ，则点 P 在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 13.已知角α的终边经过点 P(3a-9，a+2)，且 cosα≤0，sinα>0，则 a 的取值范围是 . 【答案】(-2，3] 【解析】由 得 所以-20 时，r=5a，sinθ+cosθ=-.[ 18.已知|cosθ|=-cosθ，且 tanθ<0，试判断 的符号. 【解析】由|cosθ|=-cosθ可得 cosθ≤0，所以角θ的终边在第二、三象限或 y 轴上或 x 轴的负半轴 上;又 tanθ<0，所以角θ的终边在第二、四象限，从而可知角θ的终边在第二象限.易知-10，sin(cosθ)<0，故 <0，即符号为负. 19.如图，动点 P，Q 从点 A(4，0)出发沿圆周运动，点 P 按逆时针方向每秒钟转 弧度，点 Q 按顺时针 方向每秒钟转 弧度，求 P，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点 P，Q 各自走过的弧长. 【解析】设 P，Q 第一次相遇时所用的时间是 t， 则 t· +t· =2π，所以 t=4(秒)，即 P，Q 第一次相遇时所用的时间为 4 秒. 设第一次相遇点的坐标为 C(xC，yC)，