高中数学错解剖析得真知(四)

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错解剖析得真知（三十一） 第十章 导数及其应用 §10.1 导数及其运算 一、知识导学 1.瞬时变化率：设函数 在 附近有定义，当自变量在 附近改变量为 时，函数值相应地改变 ，如果当 趋近于 0 时，平均变化率 趋近于一个常数 c（也就是说 平均变化率与某个常数 c 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数 c 称为函数 在点 的瞬时 变化率。 2.导数：当 趋近于零时， 趋近于常数 c。可用符号“ ”记作：当 时， 或记作 ，符号“ ”读作“趋近于”。函数在 的瞬时变化率， 通常称作 在 处的导数，并记作 。 3.导函数：如果 在开区间 内每一点 都是可导的，则称 在区间 可导。这样，对开区间 内每 个值 ，都对应一个确定的导数 。于是，在区间 内， 构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 的导函数。记为 或 （或 ）。 4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设 ， 是可导的，则 即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。 2）函数积的求导法则：设 ， 是可导的，则 即，两个函数的积的导 数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。 3）函数的商的求导法则：设 ， 是可导的， ，则 5.复合函数的导数:设函数 在点 处有导数 ,函数 在点 的对应点 处有导数 , 则复合函数 在点 处有导数,且 . 6.几种常见函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、疑难知识导析 1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率 2.运用复合函数的求导法则 ,应注意以下几点 （1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导. (2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如 实际上应是 。 (3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如 选成 ， 计算起来就复杂了。 3.导数的几何意义与物理意义 导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物 理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。 4. 表示 处的导数，即 是函数在某一点的导数； 表示函数 在某给定区间 内的导函数，此时 是在 上 的函数，即 是在 内任一点的导数。 5.导数与连续的关系 若函数 在 处可导，则此函数在点 处连续，但逆命题不成立，即函数 在点 处连续，未必在 点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。 6.可以利用导数求曲线的切线方程 由于函数 在 处的导数，表示曲线在点 处切线的斜率，因 此，曲线 在点 处的切线方程可如下求得： （1）求出函数 在点 处的导数，即曲线 在点 处切线的斜率。 （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为： ，如果曲线 在点 的切线平行于 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为 . 三、经典例题导讲 [例 1]已知 ,则 . 错因：复合函数求导数计算不熟练,其 与 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解 为: . 正解：设 , ,则 . [例 2]已知函数 判断 f(x)在 x=1 处是否可导？ 错解： 。 分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解： ∴ f(x)在 x=1 处不可导. 注： ，指 逐渐减小趋近于 0； ，指 逐渐增大趋近于 0。 点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即 ，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此， 在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判 定这点存在导数，否则不存在导数. [例 3]求 在点 和 处的切线方程。 错因：直接将 ， 看作曲线上的点用导数求解。 分析：点 在函数的曲线上，因此过点 的切线的斜率就是 在 处的函数值； 点 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线． 解： 即过点 的切线的斜率为 4，故切线为： ． 设过点 的切线的切点为 ，则切线的斜率为 ，又 ， 故 ， 。 即切线 的斜率为 4 或 12，从而过点 的切线为： 点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标． [例 4]求证：函数 图象上的各点处切线的斜率小于 1，并求出其斜率为 0 的切线方程. 分析： 由导数的几何意义知，要证函数 的图象上各点处切线的斜率都小于 1，只要证它的导函数的函数值都 小于 1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 解：（1） ，即对函数 定义域内的任一 ，其导数值都小于 ，于是由导数的几何 意义可知，函数 图象上各点处切线的斜率都小于 1. （2）令 ，得 ，当 时， ；当 时， ， 曲线 的斜率为 0 的切线有两条，其切点分别为 与 ，切线方程分别为 或 。 点评： 在已知曲线 切线斜率为 的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是 的导数值为 时的解，即方程 的解，将方程 的解代入 就可得切点的纵坐标，求出了切点坐 标即可写出切线方程，要注意的是方程 有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条. [例 5]（02 年高考试题）已知 ，函数 ， ，设 ，记曲线 在点 处的切线为 . （1）求 的方程； （2）设 与 轴交点为 ，求证： ① ； ②若 ，则 分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 . 解：（1） 切线 的方程为 即 . （2）①依题意，切线方程中令 y=0 得， ②由①知 ， [例 6]求抛物线 上的点到直线 的最短距离. 分析：可设 为抛物线上任意一点，则可把点 到直线的距离表示为自变量 的函数，然后求函数最小值即可， 另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线 的距离即为本题所求. 解：根据题意可知，与直线 x－y－2=0 平行的抛物线 y=x2 的切线对应的切点到直线 x－y－2=0 的距离最短，设切点坐标 为（ ），那么 ,∴ ∴ 切点坐标为 ，切点到直线 x－y－2=0 的距离 ， ∴ 抛物线上的点到直线的最短距离为 . 四、典型习题导练 1.函数 在 处不可导，则过点 处，曲线 的切 线 （ ） A．必不存在 B．必定存在 C．必与 x 轴垂直 D．不同于上面结论 2. 在点 x=3 处的导数是____________. 3.已知 ，若 ，则 的值为____________. 4.已知 P（－1，1），Q（2，4）是曲线 上的两点，则与直线 平行的曲线 的切线方程是 _____________. 5.如果曲线 的某一切线与直线 平行，求切点坐标与切线方程. 6．若过两抛物线 和 的一个交点为 P 的两条切线互相垂直.求证：抛物线 过定点 ，并求出定点 的坐标. 错解剖析得真知（三十二） §10.2 导数的应用 一、 知识导学 1.可导函数的极值 （1）极值的概念 设函数 在点 附近有定义，且若对 附近的所有的点都有 （或 ），则称 为函 数的一个极大（小）值，称 为极大（小）值点. （2）求可导函数 极值的步骤: ①求导数 。求方程 的根. ②求方程 的根. ③检验 在方程 的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 在 这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数 在这个根处取得极小值. 2.函数的最大值和最小值 （1）设 是定义在区间 上的函数， 在 内有导数，求函数 在 上的最大值与最 小值，可分两步进行. ①求 在 内的极值. ②将 在各极值点的极值与 、 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. （2）若函数 在 上单调增加，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数 在 上单调递 减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值. 二、疑难知识导析 1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数 取值为 0 的点称为函数 的驻点可导函数的极值点一定是 它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数 在点 处有极小值 =0，可是这里的 根本不存在，所 以点 不是 的驻点. (1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数 的导数 ，在点 处有 ，即点 是 的驻点，但从 在 上为增函数可知，点 不是 的极值点. (2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况 一目了然. (3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义 域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此 函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）. 记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数 值就是最大（小）值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在 端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤. 2.极大（小）值与最大（小）值的区别与联系 极值是局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的.极大（小）值不一定 是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间 内只有一个极值，那么极大值就 是最大值，极小值就是最小值. 三、经典例题导讲 [例 1]已知曲线 及点 ，求过点 的曲线 的切线方程. 错解： ， 过点 的切线斜率 ， 过点 的曲线 的切线方程为 . 错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点 凑巧在曲 线 上，求过点 的切线方程，却并非说切点就是点 ，上述解法对求过点 的切线方程和求曲线在点 处的切线方程， 认识不到位，发生了混淆. 正解：设过点 的切线与曲线 切于点 ，则过点 的曲线 的切线斜率 ，又 ， 。① 点 在曲线 上， ②，②代入①得 化简，得 ， 或 .若 ，则 ，过点 的切线方程为 ；若 ， 则 ，过点 的切线方程为 过点 的曲线 的切线方程为 或 [例 2]已知函数 在 上是减函数，求 的取值范围. 错解： 在 上是减函数， 在 上恒成立， 对一切 恒成立， ，即 ， . 正解: ， 在 上是减函数， 在 上恒成立， 且 ，即 且 ， . [例 3]当 ，证明不等式 . 证明： ， ，则 ，当 时。 在 内是增函 数， ，即 ，又 ，当 时， ， 在 内是减函 数， ，即 ，因此，当 时，不等式 成立. 点评：由题意构造出两个函数 ， .利用导数求函数的单调区间，从而导出 及 是解决本题的关键. [例 4]设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料供应站 C,现要在铁路 BC 之间某 处 D 修建一个原料中转车站,再由车站 D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那么,D 应 选在何处,才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省? 解 ： 设 BD 之间的距离为 km,则|AD|= ,|CD|= .如果公路运费为 元/km,那么铁路运费为 元/km. 故从原料供应站C途经中转站D到工厂A 所需总运费 为: + ,( ).对该式求导, 得 = + = ,令 ,即得 25 =9( ),解之得 =15, =-15(不符合实际意义,舍去).且 =15 是函数 在定义域内的唯一驻点,所以 =15 是函数 的极小值点, 而且也是函数 的最小值点.由此可知,车站 D 建于 B,C 之间并且与 B 相距 15km 处时,运费最省. 点评： 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即 使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活 中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的 复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间. [例 5]（2006 年四川）函数 ，其中 是 的导函数.（1）对满足－1 ≤ ≤1 的一切 的值，都有 ＜0，求实数 的取值范围； （2）设 ＝－ ，当实数 在什么范围内变化时，函数 ＝ 的图象与直线 ＝3 只有一个公共点. 解：（1）由题意 令 ， 对 ，恒有 ，即 ∴ 即 解得 故 时，对满足－1≤ ≤1 的一切 的值，都有 . （2） ①当 时， 的图象与直线 只有一个公共点 ②当 时，列表： 极大 极小 ∴ 又∵ 的值域是 ，且在 上单调递增 ∴当 时函数 的图象与直线 只有一个公共点. 当 时，恒有 由题意得 即 解得 综上， 的取值范围是 . [例 6]若电灯 B 可在桌面上一点 O 的垂线上移动，桌面上有与点 O 距离为 的另一点 A，问电灯与点 0 的距离怎样，可 使点 A 处有最大的照度？（ 照度与 成正比，与 成反比） 分析：如图，由光学知识，照度 与 成正比，与 成反比，即 （ 是与灯光强度有关的常数）要想点 处有最大的照度，只需求 的极值就可以了. 解：设 到 的距离为 ，则 ， 于是 ， . 当 时，即方程 的根为 （舍）与 ，在我们讨论的半闭区间 内，所以函数 在点 取极大值，也是最大值。即当电灯与 点距离为 时，点 的照度 为最大. （0， ） + - ↗ ↘ 点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得 =0 且在该点两侧， 的 符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点. 四、典型习题导练 1．已知函数 ，若 是 的一个极值点，则 值为 （ ） A．2 B.-2 C. D.4 2.已知函数 在 处有极值为 10，则 = . 3．给出下列三对函数：① ② ， ③ ， ；其中有且只有一对函数“既互为反函数，又同是各自定义域上的递增函数”， 则这样的两个函数的导函数分别是 ， . 4．已知函数 有极大值和极小值，求 的取值范围. 5．已知抛物线 ，过其上一点 引抛物线的切线 ，使 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求 的方程. 6．设 在 上的最大值为 ， ， （1）求 的表达式；（2）求 的最大值. §10.3 定积分与微积分基本定理 一、知识导学 1．可微：若函数 在 的增量 可以表示为 的线性函数 （ 是常数）与较 高阶的无穷小量之 和: （1）,则称函数 在点 可微，（1）中的 称为函数 在点 的微分，记作 或 .函数 在点 可微的充要条件是函数 在 可导，这时（1）式中的 等于 .若函数 在区间 上每点都可微，则称 为 上的可微函数.函数 在 上的微分记作 . 2．微积分基本定理：如果 ，且 在 上可积.则 .其中 叫做 的一个原函数. 由于 ， 也是 的原函数，其中 为常数. 二、疑难知识导析 1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤，这里包含着很重要的数学思想方法，只有对定积分 的定义过程了解了，才能掌握定积分的应用. 1）一般情况下，对于区间的分割是任意的，只要求分割的小区间的长度的最大者 趋近于 0，这样所有的小区间的 长度才能都趋近于 0，但有的时候为了解题的方便，我们选择将区间等份成 份，这样只要 2 其中的使 就可以了. 2）对每个小区间内 的选取也是任意的，在解题中也可选取区间的左端点或是右端点. 3）求极限的时候，不是 ，而是 . 2．在微积分基本定理中，原函数不是唯一的，但我们只要选取其中的一个就可以了，一般情况下选那个不带常数的。因 为 . 3．利用定积分来求面积时，特别是位于 轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分的代数和. 三 、经典例题导讲 [例 1]求曲线 与 轴在区间 上所围成阴影部分的面积 S. 错解：分两部分，在 ，在 ，因此所求面积 为 2+（-2）=0。 分析：面积应为各部分积分的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数。所以不应 该将两部分直接相加。 正解： [例 2]用微积分基本定理证明 （ ） 分析：即寻找 的原函数代入进行运算。 解；设 ，则 = = 由微积分基本定理的逆运用可知：上式 所以原式成立，即证。 注：该式可用来求分布在 轴两侧的图形的积分。 [例 3]根据等式求常数 的值。 1） 2） 分析：利用微积分基本定理，求出原函数代入 求解 解：1） 2） [例 4]某产品生产 x 个单位时的边际收入 （１） 求生产了 50 个单位时的总收入。 （２） 如果已生产了 100 个单位时，求再生产 100 个单位时的总收入。 分析：总收入为边际收入的积分和，求总收入既为求边际收入在规定时间内的定积分。由收入函数 和边际收入 的关系可得 （1）生产 50 个单位时的总收入为 = =99875 （2）已生产了 100 个单位时后，再生产 100 个单位时的总收入为 答：生 产 50 个 单 位 时 的 总 收 入 为 99875； 生 产 了 100 个 单 位 时 后 ， 再 生 产 100 个 单 位 时 的 总 收 入 为 19850. [例 5]一个带电量为 的电荷放在 轴上原点处，形成电场，求单位正电荷在电场力作用下沿 轴方向从 处移动到 处时电场力对它所作的功。 分析：变力做功的问题就是定积分问题在物理方面的应用。 解：单位正电荷放在电场中，距原点 处，电荷对它的作用力为 在单位电荷移动的过程中，电场对它的作用力为变力。则根据课本对变力做功的分析可知 答：电场力对它做的功为 。 [例 6]一质点以速度 沿直线运动。求在时间间隔 上的位移。 分析：变速求位移和变力求功一样都可以用定积分解决。 解： 答：位移为 。 四、典型习题导练 1. ( ) A. B. C. D. 2． （ ） A．0 B.2 C.-2 D.4 3． ，则 。 4．利用概念求极限： 5．求下列定积分； （1） （2） 6．写出下面函数在给定区间上的总和 及 的表达式 错解剖析得真知（三十三） 第十一章 数系的扩充与复数 §11.1 数系的扩充与复数的概念 一、知识导学 1. 复数：形如 的数（ ），复数通常有小写字母 表示，即 ,其中 叫做复数的实部、 叫 做复数的虚部， 称做虚数单位. 2. 分类：复数 ( )中，当 时，就是实数；除了实数以外的数，即当 b 时， 叫做虚数； 当 ,b 时，叫做纯虚数. 3. 复数集：全体复数所构成的集合. 4. 复数相等：如果两个复数 与 的实部与虚部分别相等，记作： = . 5. 复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴. 6. 复数的模：设 = ,则向量 的长度叫做复数 的模（或绝对值），记作 . (1) ； (2) = ； (3) ； 7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数. 二、疑难知识导析 1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小 2． 则 ，而 ，则 不一定成立，如 时 ； 3． ，而 则 不一定成立； 4．若 不一定能推出 ； 5．若 ，则 = ，但若 则上式不一定成立. 三、经典例题导讲 [例 1]两个共扼复数的差是（ ） .实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数 错解:当得到 时就错误的选 B，忽略了 b 可以为零的条件. 正解：设互为共扼的两复数分别为 及 则 或 当 时， ， 为纯虚数 当 时， ， ，因此应选 D. 注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记 忆有关概念性质. [例 2]判断下列命题是否正确 (1)若 , 则 (2)若 且 ，则 (3)若 ，则 错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正 确的 (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复 数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的. (3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的 前提条件. 正解：(1)错，反例设 则 (2)错，反例设 ， ，满足 ，但 不能比较大小. (3)错， ， ，故 ， 都是虚数，不能比较大小. [例 3]实数 分别取什么值时，复数 是(1)实数； (2)虚数;(3)纯虚数. 解：实部 ，虚部 . （1）当 时， 是实数； （2）当 ，且 时， 是虚数； （3） 当 或 时是纯虚数． [例 4] 设 ，当 取何值时， (1) ; (2) . 分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可 利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值． 解：(1)由可得： 解之得 ， 即：当 时 (2)当 可得： 或 ，即 时 . [例 5] 是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点 P 和 Q，且 ，证明△OPQ 为直角三角形 （O 是坐标原点），并求两锐角的度数． 分析 本题起步的关键在于对条件 的处理．等式左边是关于 的二次齐次式，可以看作二次方程 求解，也可配方． 解：由 （ ，不为零）， 得 即向量 与向量 的夹角为 ， 在图中， ，又 ，设 ， 在△OPQ 中，由余弦定理 △OPQ 为直角三角形， ． 四、典型习题导练 1. 设复数 z 满足关系 ，那么 z 等于（ ）． A． B． C． D． 2.复数系方程 有实数根，则这个实数是 . 3. 实数 m 取何值时，复数 是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限． 4.已知 且 求复数 . 5.设复数 满足 且 在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上， 求 的值. 错解剖析得真知（三十四） §11.2 复数的运算 一、知识导学 1.复数加、减法的几何意义 (1)加法的几何意义 复数 是以 、 为两邻边的平行四边形对角线 所对应的复数. (2)复数减法的几何意义 复数 是连接向量 、 的终点，并指向被减数的向量 所对应的复数. 2. 重要结论 （1） 对复数 z 、 、 和自然数 m、n，有 ， ， (2) ， ， ， ； ， ， ， . (3) ， ， . (4)设 ， ， ， ， ， 二、疑难知识导析 1.对于 ，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据， 在解题中加以认识并逐渐体会. 2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论. 当 时，不总是成立的. (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) 三、经典例题导讲 [例 1] 满足条件 的点的轨迹是（ ） A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 错解：选 A 或 B. 错因：如果把 看作动点 Z 到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数 动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数. 正解： 点（0，2）与（-1，0）间的距离为 ， 动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选 C 评注：加强对概念的理解加深，认真审题. [例 2] 求值： 错解：原式= 错因：上面的解答错在没有真正理解 的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般 的错误.另外还可以看出对虚数单位 的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位 整数幂的运算结果的周期性. 正解：原式= = = 评注：虚数单位 整数幂的值具有以 4 为周期的特点，根据 必须按被 4 整除余数为 0、1、2、3 四种情况进 行分类讨论. [例 3]已知 ，求 的值. 分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式 ，若直接将条件代入求和公式，则显 得较为麻烦，不妨先将条件化简. 原式= 评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立. [例 4] （06 年上海春卷）已知复数 满足 为虚数单位）， ，求一个以 为根的实系 数一元二次方程. 解法一： ， . 若实系数一元二次方程有虚根 ，则必有共轭虚根 . ， 所求的一个一元二次方程可以是 . 解法二：设 ， 得 ， 以下解法同解法一. [例 5] 解析 四、典型习题导练 1．（06 年四川卷）非空集合 关于运算 满足：（1）对任意 ，都有 ； （2）存在 ，使得对一切 ，都有 ，则称 关于运算 为“融洽集”；现给出下列集合和 运算： ① ② ③ ④ ⑤ 其中 关于运算 为“融洽集”__________;（写出所有“融洽集”的序号） 2. 3．计算 4.计算 5．解下列方程： (1) ； (2) . 错解剖析得真知（三十五） 第十二章 统计 12．1 抽样方法 一、知识导学 1．抽签法： （1）将总体中的所有个体编号（号码可以从 1 到 N）； （2）将 1 到 N 这 N 个号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作）； （3）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀； （4）从箱中每次抽出 1 个号签，并记录其编号，连续抽取 k 次； （5）从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出. 2．随机数表法： （1）对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致）； （2）在随机数表中任选一个数作为开始； （3）从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的数码若不在编号中，则跳过；若在编号中，则取出；如果得到的号码 前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满为止； （4） 根据选定的号码抽取样本. 3．系统抽样（等距抽样）： （1）采用随机的方式将总体中的个体编号； （2）将整个的编号按一定的间隔（设为 k）分段，当 （N 为总体中的个体数，n 为样本容量）是整数时， ； 当 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数 N 能被 n 整除，这时 ，并将剩下的总 体重新编号； （3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号 ； （4）将编号为 的个体抽出. 4．分层抽样： （1）将总体按一定标准分层； （2）计算各层的个体数与总体的个数的比； （3）按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量； （4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）. 二、疑难知识导析 1．简单随机抽样是从总体中逐个不放回地抽取. 2．简单随机抽样和系统抽样都是一种等概率抽样，即每个个体被抽到的可能性都是相同的. 3．简单随机抽样适用于总体中个体较少的情况；系统抽样适用于总体中个体数较多的情形；分层抽样用于总体由几个差 异明显的部分组成的情况. 4． 分层抽样时，在每一层内进行抽样时可根据具体情况，采用简单随机抽样或系统抽样. 5． 在使用分层抽样时，在每一层内抽样的比例相同. 三、经典例题导讲 [例 1]某工厂生产 A,B,C,D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2：3：5：1，现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 型号有 16 件，那么此样本容量 n 是多少？ 错解：样本容量 16 =2（件） 错因：混淆了 A 型号产品与样本容量的比例关系. 正解：在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的，所以，样本容量为 答：此样本容量为 88 件. [例 2]从 1002 名学生中选取 100 名进行抽样检查.请用系统抽样法设计一种方案，叙述其步骤. 解：（1）将 1002 名学生进行编号，号码分别为 1，2，……，1002； （2）用随机数表法剔除 2 个个体，并将剩下的学生重新编号，号码分别为 1，2，……1000； （3）将 1000 个号码平均分成 100 组，并在第一组 1，2，……，10 中用简单随机抽样法确定一个号码（如 ）； （2） 将号码为 的个体抽出. [例 3]某学校有 2005 名学生，从中选取 20 人参加学生代表大会，采用简单随机抽样方法进行抽样，是用抽签法还是随机 数表法？如何具体实施？ 分析：由于学生人数较大，制作号签比较麻烦，所以决定用随机数表法 解：采用随机数表法 实施步骤： （1） 对 2005 名同学进行编号，0000-2004 （2） 在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如 21 行 45 列的数字 9 开始的 4 位：9706；依次向下读数，5595， 4904,………，如到最后一行，转向左边的四位数字号码，并向上读，凡不在 0000-2004 范围内的，则跳过，遇到 已读过的数也跳过，最后得到号码为：0011，0570，1449，1072，1338，0076，1281，1866，1349，0864，0842， 0161，1839，0895，1326，1454，0911，1642，0598，1855 的学生组成容量为 20 的样本. [例 4]某工厂有 3 条生产同一产品的流水线，每天生产的产品件数分别是 3000 件，4000 件，8000 件.若要用分层抽样的方 法从中抽取一个容量为 150 件产品的样本，应该如何抽样？ 解：总体中的个体数 N=3000+4000+8000=15000 样本容量 n=150 抽样比例为 所以应该在第一条流水线生产的产品中随机抽取 3000 =30 件产品 在第二条流水线生产的产品中随机抽取：4000 =40 件产品 在第三条流水线生产的产品中随机抽取：5000 =50 件产品 这里因为每条流水线所生产的产品数都较多，所以，在每条流水线的产品中抽取样品时，宜采用系统抽样方法。 四、典型习题导练 1．为了解某班 50 名同学的会考及格率，从中抽取 10 名进行考查分析，则在这次考查中，考查的总体内个体总数为 样 本容量为 . 2．采用系统抽样从含有 2000 个个体的总体（编号为 0000，0001，……，1999）中抽取一个容量为 100 的样本，则第一 段的编号为 若在第一段中用简单随机抽样得到起始个体编号为 0013，则前 6 个入样编号为 . 3．某市为了了解职工的家庭生活状况，先将职工所在的国民经济行业分成 13 类，然后每个行业抽 的职工家庭进行 调查，这种抽样方法是 . 4．用分层抽样的方法在一个企业中抽取一个样本容量为 50 的样本，其中在管理营销部门抽了 15 人，技术部门 10 人， 其余在生产工人中抽取，已知该企业有生产工人 375 人，那么这个企业共有多少职工？ 5．采用简单随机抽样从含有 5 个人的身高的总体 中抽取一个容量为 2 的样本，写出全部样本，并 计算各个样本的平均值，各样本平均值的平均值. 12.2 频率分布直方图、折线图与茎叶图 一、知识导学 1．频率分布表：反映总体频率分布的表格. 2．一般地，编制频率分布表的步骤如下：（1）求全距，决定组数和组距，组距= ；（2）分组，通常对组内数值 所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表. 3． 频率（分布）直方图：利用直方图反映样本的频率分布规律. 4． 一般地，作频率分布直方图的方法为：（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；（2）以此线段为底 作矩形，它的高等于该组的 ，这样得出一系列的矩形；（3）每个矩形的面积恰好是该组上的频率. 5． 频率折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得到一条折线，称这条折线为 本组数据的频率折线图. 6． 制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从 小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出. 二、疑难知识导析 1． 在编制频率分布表时，要选择适当的组距和起始点才可以使频率分布表更好地反映数据的分布情况. 2． 在编制频率分布表时，如果取全距时不利于分组（如不能被组数整除），可适当增大全距，如在左右两端各增加适 当范围（尽量使两端增加的量相同）. 3． 频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则这条折线 将趋于一条曲线，我们称这一曲线为总体分布的密度曲线. 4． 茎叶图对于分布在 0~99 的容量较小的数据比较合适，此时，茎叶图比直方图更详尽地表示原始数据的信息. 5． 在茎叶图中，茎也可以放两位，后面位数多可以四舍五入后再制图. 三、典型例题导讲 [例 1]（06 全国卷）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图 （如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000 人用再用分层抽样方法抽出 100 人作 进一步调查，则在 （元）月收入段应抽出 人. 解析:由直方图可得 （元）月收入段共有 人， 按分层抽样应抽出 人.故答案 25 点评：频率分布直方图中，关健要理解图中数据的意义，特别是图中每个小矩形的面积才是这一组距内个体的频率. [例 2]从有甲乙两台机器生产的零件中各随机抽取 15 个进行检验，相关指标的检验结果为： 甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512 乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514 画出上述数据的茎叶图 错解： 错因：对于两位数是将两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺 序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出，对于三位数字，应该把前两位数字作为茎， 最后一位数字作为叶，然后从图中观察数据的分布情况，而不是仍考虑两位数，尽管此题的效果一样. 正解：用前两位数作为茎，茎叶图为 从图中可以看出，甲机床生产的零件的指标分布大致对称，平均分在 520 左右，中位数和众数都是 522，乙机床生产 的零件的指标分布也大致对称，平均分也在 520 左右，中位数和众数分别是 520 和 516，总的看，甲的指标略大一些. [例 3]在绘制频率分布直方图的第三个矩形时，矩形高度 ① 与这个矩形的宽度（组距）有关； ② 与样本容量 n 无关； ③ 与第三个分组的频数有关； ④ 与直方图的起始点无关. 以上结论中正确的共有（） A．0 个 B.1 个 C. 2 个 D.3 个 错解：D. 错因：起始点与组距均影响第三组的频数，所以矩形高度与以上各因素均有关，①③正确，正解：C. [例 4]根据中国银行的外汇牌价，2005 年第一季度的 60 个工作日中，欧元的现汇买入价（100 欧元的外汇可兑换的人民 币）的分组与各组频数如下：〔1050，1060〕：1，〔1060，1070〕：7，〔1070，1080〕：20，〔1080，1090〕：11， 〔1090，1100〕：13，〔1100，1110〕：6，〔1110，1120〕：2. （1）列出欧元的现汇买入价的频率分布表；（2）估计欧元的现汇买入价在区间 1065~1105 内的频率；（3）如果欧元的 现汇买入价不超过 x 的频率的估计值为 0.95，求此 x 解：（1）欧元的现汇买入价的频率分布表为： 分组 频数 频率 ［1050，1060﹚ 1 0.017 ［1060，1070﹚ 7 0.117 ［1070，1080﹚ 20 0.333 ［1080，1090﹚ 11 0.183 ［1090，1100﹚ 13 0.217 ［1100，1110﹚ 6 0.100 ［1110，1120﹚ 2 0.033 合计 60 1.000 （2）欧元现汇买入价在区间 1065~1105 内的频率的估计值为 （3）因为 0.017+0.117+0.333+0.183+0.217=0.867〈0.95，0.017+……+0.217+0.100=0.967〉0.95，所以 在［1100，1110］ 内，且满足 0.867+0.100 即欧元现汇买入价不超过 1108.3 的频率的估计为 0.95 [例 5]初一年级某班期中考试的数学成绩统计如下： 分 数 段 100 90—99 80--89 70--79 60--69 0--59 人数 2 6 12 21 7 2 如果 80 分以上（包括 80 分）定为成绩优秀，60 分以上（包括 60 分）定为成绩及格.那么，在这个班级的这次成绩 统计中，成绩不及格的频率是多少？成绩及格的频率是多少？成绩优秀的频率是多少？ 解：被统计的对象（参加这次考试的本班学生）共有 2+6+12+21+7+2=50 个.60 分以上的有 48 个，80 分以上的有 20 个，所以成绩不及格的频率是 ，成绩及格的频率是 ，成绩优秀的频率是 . 说明 要计算一组数据中某个对象的频率，要先计算数据的总的个数，再计算符合这个对象要求的数据的个数.某个对 象可以是一个确定的数据，也可以是在某一范围内数据的总数. [例 6]在英语单词 frequency 和英语词组 relative frequency 中，频数最大的各是哪个字母？它们的频数和频率各是多少？ 解：在 frequency 和英语词组 relative frequency 中，频数最大的字母都是 e，在单词 frequency 中，e 的频数是 2，频 率是 ；在词组 relative frequency 中，e 的频数是 4，频率是 . 点评：在两组数据中，同一个对象的频数相等，但频率不一定相等，频数大，不一定频率大.在同一组数据中，某两个对 象的频数相等，频率也相等；频数大，频率也大. 四、典型习题导练 1．（06 年重庆卷）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 100 名年龄为 岁的男生体重 ， 得到频率分布直方图如下： 根据上图可得这 100 名学生中体重在 的学生人数是（ ）. A． 20 B.30 C.40 D. 50 2． 一个容量为 800 的样本，某组的频率为 6.25%，则这一组的频数是 3． 某校随机抽取了 20 名学生，测量得到的视力数据如下：4.7，4.2，5.0，4.1，4.0，4.9，5.1，4.5，4.8，5.2，5.0，4.0， 4.5，4.8，4.7，4.8，4.6，4.9，5.3，4.0 （1） 列出频率分布表（共分 5 组） （2） 估计该校学生的近视率（视力低于 4.9） 4． 用一个容量为 200 的样本制作频率分布直方图时，共分 13 组，组距为 6，起始点为 10，第 4 组的频数为 25，则直方 图中第 4 个小矩形的宽和高分别是多少？ 5． 200 名学生某次考试的成绩的分组及各组频率如下表： 分组 频数 2 11 30 52 85 20 则及格率，优秀率（ ）的估计分别是 6．某地随机检查了 140 名成年男性红细胞（ L），数据的分组及频率如下表： 分组 频数 频率 分组 频数 频率 2 17 6 13 11 4 25 2 32 1 27 合计 140 （1）完成上面的频率分布表 （2）根据上面的图表，估计成年男性红细胞数在正常值（4.0~5.5）内的百分比 7．名著《简爱》的中英文版本中，第一节部分内容每句句子所含单词（字）数如下：英文句子所含单词数 10，52，56， 40，79，9，23，11，10，21，30，31；中文句子所含字数 11，79，7，20，63，33，45，36，87，9，11，37，17，18， 71，75，51. （1）作出这些数据的茎叶图； （2）比较茎叶图，你能得到什么结论？ 错解剖析得真知（三十六） 12．3 平均数、方差与标准差 一、知识导学 1．n 个数据 ， ，……. 的平均数或平均值一般记为 = . 2．一般地，若取值 的频率分别为 ，则其平均数为 . 3．把一组数据的最大值与最小值的差称为极差. 4． 一般地，设一组样本数据 ，其平均数为 ，则称 为这个样本的方差，算术平方根 为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差. 二、疑难知识导析 1.平均数，中位数和众数都是总体的数字特征，从不同角度反映了分布的集中趋势，平均数是最常用的指标，也是数据点 的“重心”位置，它易受极端值（特别大或特别小的值）的影响，中位数位于数据序列的中间位置，不受极端值的影响， 在一组数据中，可能没有众数，也可能有多个众数. 2.方差和标准差是总体的数字特征，反映了分布的分散程序（波动大小），标准差也会受极端值（特别大或特别小的值） 的影响. 3.分布的分散程序还可以用极差来描述，但较粗略. 4.样本方差也可以用公式 计算. 三、经典例题导讲 [例 1]（06 年江苏卷）某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 已知这组数据的平均数为 10，方 差为 2，则 的值为（ ） A．1 B.2 C.3 D.4 解 ： 由 平 均 数 公 式 为 10 ， 得 ， 则 ， 又 由 于 方 差 为 2 ， 则 得 所以有 ，故选 D. [例 2]数据 是一名运动员的 次射击的命中环数，则他的平均命中环数的估计是（ ）. A．样本平均数均值 B．样本极差 C．样本方差 D．样本平均差 AD= 错解：C. 错因：后三个选项都表示了样本的波动程度，不能用于总体平均值的估计. 正解：A. [例 3]某房间中 10 个人的平均身高为 1.74 米，身高为 1.85 米的第 11 个人，进入房间后，这 11 个人的平均身高是多少？ 解：原来的 10 个人的身高之和为 17.4 米，所以，这 11 个人的平均身高为 =1.75.即这 11 个人的平均身高 为 1.75 米 [例 4]若有一个企业，70%的人年收入 1 万，25%的人年收入 3 万，5%的人年收入 11 万，求这个企业的年平均收入及年 收入的中位数和众数 解：年平均收入为 1 （万）；中位数和众数均为 1 万 [例 5]下面是某快餐店所有工作人员的收入表： 老板 大厨 二厨 采购员 杂工 服务生 会计 3000 元 450 元 350 元 400 元 320 元 320 元 410 元 （1）计算所有人员的月平均收入； （2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？ （3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？ （4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析 解：（1）平均收入 （3000+450+350+400+320+320+410）=750 元 （2）这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高， 这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员 （3）去掉老板后的月平均收入 （450+350+400+320+320+410）=375 元.这能代表打工人员的月收入水平 （4）由上可见，个别特殊数据可能对平均值产生大的影响，因此在进行统计分析时，对异常值要进行专门讨论，有时应 剔除之 四、典型习题导练 1． 在一次知识竞赛中，抽取 20 名选手，成绩分布如下： 成绩 6 7 8 9 10 人数分布 1 2 4 6 7 则选手的平均成绩是 （ ） A．4 B.4.4 C.8 D.8.8 2．8 名新生儿的身长（cm）分别为 50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一 半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 . 3．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下： 等待时间（分 钟） 人数 4 8 5 2 1 用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值 = ，病人等待时间的标准差的估计值 = 4．样本 的平均数为 5，方差为 7，则 3 的平均数、方差，标准差分别 为 5．下面是一个班级在一次测验时的成绩（已按从小到大的次序排列），分别计算男生和女生的成绩和平均值，中位数以 及众数，试问中位数的含义是什么？对比两个平均值和中位数，你分析一下这个班级的学习情况 男生：55，55，61，65，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94 女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，97 6．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔 30min 抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽 查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110. （1）这样的抽样是何种抽样方法？ （2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定. 错解剖析得真知（三十七） 12.4 线性回归方程 一、知识导学 1． 变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；一类是相关关系，变 量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达 2． 能用直线方程 近似表示的相关关系叫做线性相关关系 3． 一般地，设有（x,y）的 n 对观察数据如下： …… …… 当 a,b 使 取得最小值时，就称 为拟合这 n 对数据的线性回归方程，将该方程所表示的直线称为回归直线. 4．线性回归方程 中的系数 满足： 由此二元一次方程组便可依次求出 的值： （*） 5．一般地，用回归直线进行拟合的一般步骤为： （1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近； （2）如果散点在一条直线附近，用公式（*）求出 ，并写出线性回归方程. 二、疑难知识导析 1．现实世界中两个变量的关系中更多的是相关关系而不是确定性关系，许多物理学中公式看起来是确定性关系，实际上 由于公式的使用范围，测量误差等的影响，试验得到的数据之间是相关关系. 2．用最小二乘估计方法计算得到的 使函数 达到最小 3．还有其他寻找较好的回归直线的原则（如使 y 方向的偏差和最小，使各点到回归直线的距离之和最小等） 4． 比较相关关系绝对值的大小可以比较一组变量之间哪两个变量有更强的（线性）相关关系. 5． “最好的”直线方程中“最好”可以有多种解释，也就有不同的求解方法，现在广泛采用的最小二乘法所用的思想 是找到使散点到直线 在垂直方向上的距离的平方和最小的直线 ，用这个方法， 的求解最 简单 三、经典例题导讲 [例 1]有如下一组 y 与 x 的数据 －3 －2 －1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 问 y 与 x 的(样本)相关系数 r 是多少?这是否说明 y 与 x 没有关系? 错解： 所以相关系数 r=0,即 y 与 x 没有关系. 错因：相关系数 r=0 并不是说明 y 与 x 没有关系，而是说明 y 与 x 没有线性相关关系，但有可能有非线性相关关系. 正解： 所以相关系数 r=0,即 y 与 x 没有线性相关关系，但有可能有非线性相关关系. 此题中 y 与 x 之间存在着 的二次相关关系的. [例 2]某工厂在 2004 年的各月中，一产品的月总成本 y（万元）与月产量 x（吨）之间有如下数据： x 4.16 4.24 4.38 4.56 4.72 4.96 5.18 5.36 5.6 5.74 5.96 6.14 y 4.38 4.56 4.6 4.83 4.96 5.13 5.38 5.55 5.71 5.89 6.04 6.25 若 2005 年 1 月份该产品的计划产量是 6 吨，试估计该产品 1 月份的总成本. 分析：可将此问题转化为下面三个问题： （1）画出散点图，根据散点图，大致判断月总成本 y 与月产量之间是否有线性相关关系； （2）求出月总成本 y 与月产量 x 之间的线性回归方程； （4） 若 2005 年 1 月份该产品的计划产量是 6 吨，试估计该产品 1 月份的总成本. 错解：省去第一步，即把判断判断月总成本 y 与月产量之间是否有线性相关关系的过程舍去，想当然其具有线性相关关 系，直接代入公式，求出线性回归方程. 错因：此题的月总成本 y 与月产量 x 之间确实是有线性相关关系，若不具有则会导致错误.因此判断的过程不可少. 正解：（1）散点图见下面，从图中可以看到，各点大致在一条直线附近，说明 x 与 y 有较强的线性相关关系. （2）代入公式（*）得：a=0.9100,b=0.6477，线性回归方程是：y=0.9100x+0.6477. （3）当 x=6.0 时，y=0.9100 （万元），即该产品 1 月份的总成本的估计值为 6.11 万元. [例 3]变量 与 有线性回归方程 ，现在将 的单位由 变为 的单位由 变为 ，则在新的回归 方程 中. . 错解：0.1 错因：由 且 的值变为原来的 ， 的值变为原来的 可得 的值应为原来 的 . 正解：0.01 [例 4]假定一个物体由不同的高度落下，并测量它落下的时间，几个测量结果如下表所示： 高 度 s(cm) 40 60 100 130 150 180 200 220 240 时 间 353 387 505 552 579 648 659 700 725 t(ms) 高度（距离）与时间之间的关系由公式 给出，这里 g 是重力加速度的值. （1）画出 s 关于 t 的散点图，这些点在一条直线附近吗？ （2）设 ，画出 s 关于 x 的散点图，这些点在一条直线附近吗？ （3）求出 s 关于 x 的线性回归方程. 解：（1）高度 s 关于时间 t 的散点图见下面，从图中可以看到这些点似乎在一条直线附近，也好像在一条抛物线附近 （2）高度 s 关于 x 的散点图见下面，从图中可以看到这些散点大致在一条直线附近 （3）可以求得 s 关于 x 的线性回归方程是 s=0.0004901x－18.8458 [例 5]测得某国 10 对父子身高（单位：英寸）如下： 父 亲 身 高 （x） 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 儿 子 身 高 （y） 63.5 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70 （1）画出散点图； （2）求出 y 与 x 之间的线性回归方程； （3）如果父亲的身高为 73 英寸，估计儿子的身高. 解：（1）散点图见下面： （2）从散点图可以看出，这些点都分布在一条直线附近，可求得线性回归方程为 （3）当 时， 所以当父亲的身高为 73 英寸时，估计儿子的身高约为 69.9 英寸. 四、典型习题导练 1．回归直线方程的系数 a,b 的最小二乘估计使函数 最小， 函数指（ ）. A． B. C． D. 2．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时，高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高 向中心回归.根据他的结论在儿子的身高 y 与父亲的身高 x 的线性回归方程 中，b（ ）. A．在（－1，0）内 B.等于 0 C．在（0，1）内 D.在[1，+∞]内 3．在研究硝酸钠的可溶性程度时，对不同的温度观测它在水中的溶解度，得到观测结果如下： 温度 x 0 10 20 50 70 溶解度 y 66.7 76.0 85.0 112.3 128.0 则由此得到的回归直线的斜率是 （保留 4 位有效数字） 4．下面的数据是年龄在 40 至 60 岁的男子中随机抽取的 6 个样本，分别测定了心脏功能水平 y（满分 100），以及每天 画在看电视上的平均时间 x（小时） 看 电 视 平 均时间 x 4.4 4.6 2.7 5.8 0.2 4.6 心 脏 功 能 水平 y 52 53 69 57 89 65 则 x 与 y 的样本相关系数为 . 5．某地区近年来冬季的降雨量 x(cm)与次年夏季空气中碳氢化合物的最高平均浓度 y（ppm），的观测数据如下表： 年 份 n 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 x 28 22 31 23 58 33 21 20 45 31 23 16 14 y 4.5 4.1 4.8 4.2 4.6 3.6 3.1 2.8 3.4 2.6 2.3 2.2 2.0 你认为 y 与 x 是什么关系？y 与 n 是什么关系？ 6．每立方米混凝土的水泥用量 x（单位：kg）与 28 天后混凝土的托压强度（单位：kg/cm ）的关系有如下数据： x 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 Y 56.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3 74.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7 （1）y 与 x 是否具有线性相关关系？ （2）如果 y 与 x 具有线性相关关系，求线性回归方程. 错解剖析得真知（三十八） 第十三章 算法初步 §13.1 流程图 一、 知识导学 1. 流程图：是由一些图框和带箭头的流线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内 容，带箭头的流线表示操作的先后次序. 2．算法的三种基本的逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构. 3．根据对条件的不同处理，循环结构又分为两种： 直到型(until 型)循环：在执行了一次循环体之后，对控制循环条件进行判断，当条件不满足时执行循环体.满足则停 止.如图 13-1-3，先执行 A 框，再判断给定的条件 是否为“假”，若 为“假”，则再执行 A，如此反复，直到 为 “真”为止. 当型（while 型）循环：在每次执行循环体前对控制循环条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止. 如图 13-1-4，当给定的条件 成立（“真”）时，反复执行 A 框操作，直到条件 为“假”时才停止循环. 图 13-1-1 图 13-1-2 二、疑难知识导析 1.“算法“没有一个精确化的定义，教科书只对它作了描述性说明，算法具有如下特点： （1）有限性：一个算法的步骤是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. （2）确定性：算法的每一步骤和次序应当是确定的. （3）有效性：算法的每一步骤都必须是有效的. 2. 画流程图时必须注意以下几方面： （1）使用标准的图形符号. （2）流程图一般按从上到下、从左到右的方向画. （3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点.判断框具有超过一个退出点的唯一符号. （4）判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几 种不同的结果. （5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚. 3. 算法三种逻辑结构的几点说明： （1）顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的.在流程图中的体现就 是用流程线自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤.（2）一个条件结构可以有多个判断框. （3）循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断.在循环结构中都有一个计数变量和累加变量.计数 变量用于记录循环次数，累加变量用语输出结果，计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次. 三、经典例题导讲 [例 1] 已知三个单元存放了变量 ， ， 的值，试给出一个算法，顺次交换 ， ， 的值（即 取 的值， 取 的值， 取 的值），并画出流程图. 错解：第一步 第二步 第三步 流程图为 图 13-1-3 错因：未理解赋值的含义，由上面的算法使得 ， 均取 的值. 举一形象的例子：有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求 将其互换，请你设计算法解决这一问题.对于这种非数值性问题的算法设计问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计 步骤完成算法. 我们不可将两个墨水瓶中的墨水直接交换，因为两个墨水瓶都装有墨水，不可能进行直接交换.正确的解 法应为： S1 取一只空的墨水瓶，设其为白色； S2 将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中； S3 将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中； S4 将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中； S5 交换结束. 正解：第一步 ｛先将 的值赋给变量 ，这时存放 的单元可作它用} 第二步 ｛再将 的值赋给 ，这时存放 的单元可作它用} 第三步 ｛同样将 的值赋给 ，这时存放 的单元可作它用} 第四步 ｛最后将 的值赋给 ，三个变量 ， ， 的值就完成了交换} 流程图为 图 13-1-4 点评：在计算机中，每个变量都分配了一个存储单元，为了达到交换的目的，需要一个单元存放中间变量 . [例 2]已知三个数 ， ， .试给出寻找这三个数中最大的一个算法，画出该算法的流程图. 解：流程图为 图 13-1-5 点评：条件结构可含有多个判断框，判断框内的内容要简明、准确、清晰.此题也可将第一个判断框中的两个条件分别用 两个判断框表示，两两比较也很清晰.若改为求 100 个数中的最大数或最小数的问题则选择此法较繁琐，可采用假设第一 数最大（最小）将第一个数与后面的数依依比较，若后面的数较大（较小），则进行交换，最终第一个数即为最大（最 小）值. 点评：求和时根据过程的类同性可用循环结构来实现，而不用顺序结构. [例 3]画出求 的值的算法流程图. 解：这是一个求和问题，可采用循环结构实现设计算法，但要注意奇数项为正号，偶数项为负号. 思路一：采用-1 的奇偶次方（利用循环变量）来解决正负符号问题； 图 13-1-6 图 13-1-7 思路二：采用选择结构分奇偶项求和； 图 13-1-8 思路三：可先将 化简成 ，转化为一个等差数列求和问 题，易利用循环结构求出结果. [例 4] 设计一算法，求使 成立的最小正整数 的值. 解： 流程图为 图 13-1-9 点评：这道题仍然是考察求和的循环结构的运用问题，需要强调的是求和语句的表示方法.若将题改为求使 成立的最大正整数 的值时，则需注意的是输出的值. [例 5]任意给定一个大于 1 的整数 n，试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数做出判断. 解：算法为： S1 判断 n 是否等于 2，若 n=2，则 n 是质数；若 n>2 ，则执行 S2 S2 依次从 2～n-1 检验是不是的因数，即整除 n 的数，若有这样的数，则 n 不是质数；若没有这样的数，则 n 是 质数. 点评：要验证是否为质数首先必须对质数的本质含义作深入分析： （1）质数是只能被 1 和自身整除的大于 1 的整数. （2）要判断一个大于 1 的整数 n 是否为质数，只要根据定义，用比这个整数小的数去除 n.如果它只能被 1 和 本身整除，而不能被其它整数整除，则这个数便是质数. 图 13-1-10 [例 6]设计一个求无理数 的近似值的算法. 分析：无理数 的近似值可看作是方程 的正的近似根，因此该算法的实质是设计一个求方程 的近 似根的算法.其基本方法即运用二分法求解方程的近似解. 解：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过 0.005,算法: S1 令 .因为 ,所以设 S2 令 ,判断 是否为 0,若是,则 m 为所求;若否,则继续判断 大于 0 还是小于 0. S3 若 >0,则 ;否则,令 . S4 判断 是否成立，若是，则 之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步. 点评：二分法求方程近似解的算法是一个重要的算法案例，将在第三节中详细阐述. 四、典型习题导练 1．已知两个单元分别存放了变量 和 的值，则可以实现变量 交换的算法是（ ）. A．S1 B．S1 C．S1 D．S1 S2 S2 S2 S2 S3 S3 2.下面流程图中的错误是（ ） 图 13-1-11 A． 没有赋值 B．循环结构有错 C．S 的计算不对 D．判断条件不成立 3.将“打电话”的过程描述成一个算法，这个算法可表示为 ，由此说明算法具有下列特性 . 4. 在表示求直线 （ ， 为常数，且 ， 不同时为 0）的斜率的算法 的流程图中，判断框中应填入的内容是 5. 3 个正实数，设计一个算法，判断分别以这 3 个数为三边边长的三角形是否存在，画 出这个算法的流程图. 6.一队士兵来到一条有鳄鱼的深河的左岸.只有一条小船和两个小孩，这条船只能承载两个小孩或一个士兵.试设计一个算 法，将这队士兵渡到对岸，并将这个算法用流程图表示. 错解剖析得真知（三十九） §13.2 基本算法语句 一、知识导学 1． 赋值语句用符号“←”表示，“ ”表示将 的值赋给 ，其中 是一个变量， 是一个与 同类型的变量或 表达式. 2． 条件语句主要有两种形式：“行 If 语句”和“块 If 语句”. “行 If 语句”的一般形式为： If A Then B [Else C] . 一个行 If 语句必须在一行中写完，其中方括号中的 Else 部分可以缺省. “块 If 语句”的一般格式为: If A Then B Else C End if Then 部分和 Else 部分是可选的，但块 If 语句的出口“End if”不能省. 3． 循环语句主要有两种类型：For 语句和 While 语句. 当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示.“For”语句的一般形式为： For I from“初值” to step“步长”… End for 上面“For”和“End for”之间缩进的步骤称为循环体. 当循环次数不能确定是，可用“While”语句来实现循环.“While”语句的一般形式为： While A … End while 其中 A 表示判断执行循环的条件. 上面“While”和“End While”之间缩进的步骤称为循环体. 二、疑难知识导析 1. 有的条件语句可以不带“Else”分支，即满足条件时执行 B，否则不执行任何操作.条件语句也可以进行嵌套，在进 行条件语句的嵌套时，书写要有层次.例如： If A Then B Else if C Then D Else E End if 2.“For”语句是在执行过程中先操作，后判断.而“While”语句的特点是“前测试”，即先判断，后执行.若初始条件不 成立，则一次也不执行循环体中的内容.任何一种需要重复处理的问题都可以用这种前测试循环来实现. 三、经典例题导讲 [例 1] 下列程序的运行结果是 . If >5 Then If >4 Then If >3 Then Print 错解：8+7=15 错因：误认为在一个程序中只执行一个条件语句，与在一个条件语句中只选择其中一个分支相混淆.If A Then B [Else C] 若 满足条件 A 则执行 B，否则是执行 C，B 和 C 是这个条件语句的分支，而这个程序省略了 Else 部分. 正解：这里是有三个条件语句，各个条件语句是独立的，三个条件均成立，所以按顺序依次执行，结果为 8+7+6+6=27. [例 2] 下面的伪代码的效果是 While <10 End While End 错解：执行 10 次循环 错因：将 For 语句和 While 语句混淆. For 语句中有步长使循环变量不断变化，而 While 语句则无. 正解：无限循环下去，这是因为这里 始终为 0，总能满足条件“ ”，故是一个“死循环”. 点评：“死循环”是设计循环结构的大忌，此题可改变 的初始值或每一次循环 都增加一个值. [例 3]下面的程序运行时输出的结果是（ ） While End while Print S End 错解：第一次循环时，I 被赋予 2，S 被赋予 4；第二次循环时，I 被赋予 3，S 被赋予 4+ =13；第三次循环时，I 被赋 予 4，S 被赋予 13+ =29；第四次循环时，I 被赋予 5，S 被赋予 .由于此时 ，故循环终止，输出 S 为 54. 正解：由于 在循环内，每经过一次循环后 S 都被赋值 0，因此，只要求满足条件的最后一次循环 S 的值，即当 时， . [例 4]用语句描述求使 成立的最大正整数 的算法过程. 解： While End while Print 点评：此题易错的是输出值，根据 While 循环语句的特征当 时跳出循环体，此时 的值是 时的最小的 整数，则使 的最大整数应为 的前一个奇数即 . [例 5]已知当 时， ，当 时， ，当 时， ，设计一算法求 的 值. 解： Read x If then Else if Then Else End if End 点评：嵌套 If 语句可用如上的紧凑形式书写，要注意的是如不是采取紧凑形式，则需注意一个块 If 语句对应一个 End If， 不可省略或缺少. [例 6]设计一个算法，使得输入一个正整数 ，输出 1！+2！+3！+…+ ！的值.写出伪代码. 解：思路一：利用单循环，循环体中必须包括一个求各项阶乘的语句以及一个求和语句. Read n For I from 1 to n End For Print S 思路二：运用内外双重循环，但尤其注意的是每一次外循环 T 的值都要从 1 开始. Read n For I from 1 to n For J from 1 to I End For End For Print S 四 、典型习题导练 1． 下列的循环语句循环的次数为（ ） For I from 1 to 7 For J from 1 to 9 Pint I+J End for End for End A.7 次 B.9 次 C.63 次 D.16 次 2．运行下面的程序后输出的结果是 ，若将程序中的 A 语句与 B 语句的位置互换，再次执行程序后输 出的结果为 . While ′A 语句 ′B 语句 End While Print x,y End 3.伪代码描述的求 T 的代数式是 ,求 的代数式 是 . Read n For I from 1 to n End for Print T,S 4.运行下面程序后输出的结果为 For I from 10 to 1 step -2 Print I End for End 5. 将 100 名学生的一门功课的成绩依次输入并计算输出平均成绩. 错解剖析得真知（四十） § 13．3 算法案例 一、知识导学 1．算法设计思想： （1）“韩信点兵—孙子问题”对正整数 m 从 2 开始逐一检验条件，若三个条件中有任何一个不满足，则 m 递增 1，一 直到 m 同时满足三个条件为止(循环过程用 Goto 语句实现) （2）用辗转相除法找出 的最大公约数的步骤是：计算出 的余数 ，若 ，则 为 的最大公约数；若 ， 则把前面的除数 作为新的被除数，继续运算，直到余数为 0，此时的除数即为正整数 的最大公约数. 2.更相减损术的步骤：（1）任意给出两个正数，判断它们是否都是偶数.若是，用 2 约简；若不是，执行第二步.（2） 以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止， 则这个数（等数）就是所求的最大公约数. （3）二分法求方程 在区间 内的一个近似解 的解题步骤可表示为 S1 取[ ]的中点 ，将区间一分为二； S2 若 ，则 就是方程的根；否则判别根 在 的左侧还是右侧： 若 ， ，以 代替 ； 若 ，则 ，以 代替 ； S3 若 ，计算终止，此时 ，否则转 S1. 二、疑难知识导析 1． 表示不超过 的整数部分，如 ，但当 是负数时极易出错，如 就 是错误的，应为-2. 2． 表示 除以 所得的余数，也可用 表示. 3．辗转相除法与更相减损术求最大公约数的联系与区别： （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算 次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显. （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到. 4．用二分法求方程近似解，必须先判断方程在给定区间[ ]上是否有解,即 连续且满足 .并在二分 搜索过程中需对中点处函数值的符号进行多次循环判定，故需要选择结构、循环结构，即可用 Goto 语句和条件语句实现 算法. 三、经典例题导讲 [例 1] ， ， ， 7= . A．16，-1，4，3 B.15，0，4，3 C.15,-1,3,4 D.15,-1,4,3 错解：根据 表示不超过 的整数部分, 表示 除以 所得的余数,选择 B. 错因:对 表示的含义理解不透彻,将不超过-0.05 的整数错认为是 0,将负数的大小比较与正数的大小比较相混淆. 正解：不超过-0.05 的整数是-1,所以答案为 D. [例 2] 所谓同构数是指此数的平方数的最后几位与该数相等.请设计一算法判断一个大于 0 且小于 1000 的整数是否为同 构数. 错解： 算法思想：求出输入数的平方，考虑其个位或最后两位或最后三位与输入数是否相等，若相等，则为同构数. Read x If or or Then Print x End if End 错因：在表示个位或最后两位或最后三位出现错误，“/”仅表示除，y/10,y/100,y/1000 都仅仅表示商. 正解：可用 来表示个位，最后两位以及最后三位. Read x If or or Then Print x End if End [例 3]《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几 何？”可以用下面的算法解决：先在纸上写上 2，每次加 3，加成 5 除余 3 的时候停下来，再在这个数上每次加 15，到得 出 7 除 2 的时候，就是答数. 试用流程图和伪代码表示这一算法. 解：流程图为： 伪代码为： 10 20 30 If Then Goto 20 40 If Then Print Goto 80 50 End if 60 70 Goto 40 80 End 点评：这是孙子思想的体现，主要是依次满足三个整除条件. [例 4]分别用辗转相除法、更相减损法求 192 与 81 的最大公约数. 解：辗转相除法： S1 S2 S3 S4 S5 故 3 是 192 与 81 的最大公约数. 更相减损法： S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 故 3 是 192 与 81 的最大公约数. 点评：辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少.辗转相除法是当 大数被小数整除时停止除法运算，此时的小数就是两者的最大公约数，更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时减 法停止，较小的数就是最大公约数. [例 5]为了设计用区间二分法求方程 在[0，1]上的一个近似解（误差不超过 0.001）的算法,流程图的 各个框图如下所示,请重新排列各框图,并用带箭头的流线和判断符号“Y”、“N”组成正确的算法流程图,并写出其伪代 码.(其中 分别表示区间的左右端点) 图 13-3-2 流程图为 图 13-3-3 伪代码为 10 Read 20 30 40 50 If Then Goto 120 60 If Then 70 100 End if 80 Else 90 100 End if 110 If Then Goto 20 120 Print 130 End 点评：二分法的基本思想在必修一中已渗透，这里运用算法将二分法求方程近似解的步骤更清晰的表述出来. [例 6] 用秦九韶算法计算多项式 在 时的值时， 的值 为 . 解： 根据秦九韶算法，此多项式可变形为 按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当 时的值： 故当 时多项式的值为 . 点评：秦九韶算法的关键是 n 次多项式的变形. 把一个 次多项式 改写成 ，求多项式的值，首先计算最内层括号内一次多项式的值，然后由内 向外逐层计算一次多项式的值，这样把求 次多项式的值问题转化为求 个一次多项式的值的问题，这种方法成为秦九 韶算法.这种算法中有反复执行的步骤，因此，可考虑用循环结构实现. 四、典型习题导练 1．以下短文摘自古代《孙子算经》一书，其引申出的“大衍求一术”称为“中国剩余原理”：“今有物不知其数，三三 数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”答曰（ ）. A．二十一 B.二十二 C.二十三 D.二十四 2．用辗转相除法求 52 与 39 的最大公约数的循环次数为（ ）. A．1 次 B.2 次 C.3 次 D.5 次 3．下面程序功能是统计随机产生的十个两位正整数中偶数和奇数的个数，并求出偶数与奇数各自的总和. For I from 1 to 10 Print x; If Then Else End If End for Print Print “奇数个数=”； ，“偶数个数=”； 4．若一个数的各因子之和正好等于该数本身，则该数成为完数.请补充完整下列找出 1～100 之间的所有完数的伪代码. For from 2 to 100 For b from 2 to If mod(a,b)=0 Then End if End For If Then Print a End if End For End 5．设计求被 9 除余 4，被 11 除余 3 的最小正整数的算法，画出流程图，写出伪代码. 6．利用辗转相除法或更相减损术求 324,243,135 的最大公约数.