新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：1-4-2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课件（52张）
4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的
基本性质
必备知识·自主学习
1.正弦函数、余弦函数的基本性质
根据正弦函数v=sin α和余弦函数u=cos α的定义,我们不难从单位圆看出它
们具有以下性质:
(1)定义域是R;
(2)最大值是1,最小值是-1,值域是[-1,1];
(3)它们是周期函数,其周期是2kπ(k∈Z,k≠0),最小正周期为2π;
(4)正弦函数v=sin α在区间
(k∈Z)上是增加的,在区间 (k∈Z)上是减少的.
余弦函数u=cos α在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的,在区间
[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的.
[2k ,2k ]2 2
3[2k ,2k ]2 2
【思考】
当α取何值时,正弦函数v=sin α取到最值?
提示:当α=2kπ+ ,k∈Z时,正弦函数v=sin α取得最大值1;
当α=2kπ- ,k∈Z时,正弦函数v=sin α取得最小值-1.
2
2
2.正弦函数、余弦函数在各象限的符号
[注意] 按正值简记为:正弦一、二象限全为正;余弦偏在一、四中.
象
限
三角函数
第一
象限
第二
象限
第三
象限
第四
象限
sin α + + - -
cos α + - - +
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)正弦函数v=sin α与余弦函数u=cos α的定义域都是R. ( )
(2)函数v=sin α在[0,π]上是单调减函数. ( )
(3)函数u=cos α在[0,π]上的值域是[0,1]. ( )
(4)函数v=sin α的最大值为1,最小值为-1. ( )
提示:(1)√
(2)×.v=sin α在 上是增函数,在 上是减函数.
(3)×.函数u=cos α在[0,π]上的值域是[-1,1].
(4)√
[0, ]2
[ , ]2
2.函数y=πsin x的最大值与最小值的差为 ( )
A.π B.-π C.2π D.-2π
【解析】选C.y=πsin x的最大值为π,最小值为-π,所以差为2π.
3.(教材二次开发:练习改编)余弦函数u=cos α,α∈ 的单调增区间
为______,单调减区间为________.
【解析】在单位圆中,当x由-π到 时,u=cos α由-1增大到1,再由1减小
到 .所以它的单调增区间为[-π,0],单调减区间为
答案: [-π,0]
[ , ]6
6
3
2 (0, ].6
(0, ]6
关键能力·合作学习
类型 正弦函数、余弦函数性质的应用(逻辑推理)
角度1 正弦函数、余弦函数的定义域问题
【典例】求下列函数的定义域:
(1)y=4-cos x;(2)y=
【思路导引】通过单位圆观察角的终边与单位圆交点坐标的变化,解出关于正、
余弦函数的不等式.
2sin x 1.
【解析】(1)由y=4-cos x知定义域为R.
(2)由题意知2sin x+1≥0,即sin x≥- 在一周期 内满足上述条件
的角为x∈ ,由此可以得到函数的定义域为 (k∈Z).
1
2
3[ ]2 2
，
7[ ]6 6
， 7[2k 2k ]6 6
， ＋
【变式探究】
(1)函数y= 的定义域为______.
(2)函数y=ln sin x的定义域为______.
【解析】(1)由2+cos x≠0知cos x≠-2,
又由cos x∈[-1,1],故定义域为R.
答案:R
1
2 cos x＋
(2)由题意知sin x>0.又y=sin x在[0,2π]内sin x>0满足0
sin B.sin 10时,-b≤bsin x≤b.
所以a-b≤a-bsin x≤a+b,所以 解得
所以所求函数为y=-2sin x.
当b<0时b≤bsin x≤-b所以a+b≤a-bsin x≤a-b.
所以 解得
所以所求函数为y=-2sin(-x)=2sin x.
所以y=±2sin x的最大值是2,最小值是-2,周期是2π.
3a b 2
1a b 2
＋ ＝ ，
＝ ，
1a 2
b 1
＝ ，
＝ ，
3a b 2
1a b 2
＝ ，
＋ ＝ ，
1a 2
b 1
＝ ，
＝ ，
【能力进阶一水平二】 (20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.y=2sin 2x在x∈[ ]上的最大值与最小值的和为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x≤ π,当2x=- 时,
ymin=2sin (- )=-1,当2x= 时,ymax=2sin =2,所以和为1.
12 3
，
12
3
6
2
3 6
6
2
2
2.若sin x=2m+3,且x∈ ,则m的取值范围为( )[ ]6 6
，
1 1 5 1A.[ ] B.[ ]2 2 4 2
7 5 7 1C.[ ] D.[ ]4 4 4 2
， ，
， ，
【解析】选C.因为x∈ ,所以结合单位圆知sin x∈ ,
即- ≤2m+3≤ .所以- ≤m≤- .
[ ]6 6
， 1 1[ ]2 2
，
1
2
1
2
7
4
5
4
3.函数y= 的定义域为 ( )
A.R B.[0,π]
C.[-4,-π] D.[-4,-π]∪[0,π]
【解题指南】先求出每一段的x的取值范围,然后求它们的交集.
216 x sin x ＋
【解析】选D.要使函数式有意义,
需 由①得-4≤x≤4,由②得2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z),
故函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π].
216 x 0
sin x 0
①，
②，
【补偿训练】
在[0,2π]上,满足sin x≥ 的x的取值范围是 ( )1
2
5A.[0 ] B.[ ]6 6 6
2 5C.[ ] D.[ ]6 3 6
， ，
， ，
【解析】选B.如图易知选B.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.函数y= 的函数值可以取的值是 ( )
A.- B.-1 C.1 D.2
【解析】选BCD.令sin α=t,则t∈[-1,0)∪(0,1],所以y= 的值域为
(-∞,-1]∪[1,+∞).
1
sin
1
2
1
t
【光速解题】令y= 等于- ,-1,1,2,然后分别求解α.1
sin
1
2
【补偿训练】
已知函数f(x)= 则下列结论不正确的是 ( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是增函数
C.f(x)是周期函数
D.f(x)的值域为[-1,+∞)
2x 1 x 0
cos x x 0
＋ ， ，
， ，
【解析】选ABC,因为f(π)=π2+1,f(-π)=-1,所以f(-π)≠f(π),
所以函数f(x)不是偶函数,A不正确;
函数f(x)在(-2π,-π)上单调递减,B不正确;
函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)不是周期函数,C不正确;
因为x>0时,f(x)>1,x≤0时,-1≤f(x)≤1,
所以函数f(x)的值域为[-1,+∞),D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.函数f(x)=sin x在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-1,f(b)=1,
则cos =______.
【解析】由条件知,a=- +2kπ,b= +2kπ,
所以cos =cos 2kπ=1.
答案:1
a b
2
＋
a b
2
＋
2
2
6.函数y=cos 2x-4cos x+5的值域为________.
【解析】令t=cos x,由于x∈R,故-1≤t≤1.
y=t2-4t+5=(t-2)2+1,
当t=-1时,即cos x=-1时函数有最大值10;
当t=1,即cos x=1时函数有最小值2.
所以该函数的值域是[2,10].
答案:[2,10]
【误区警示】本题容易忽视求解t的取值范围,而导致求解值域出错.
四、解答题
7.(10分)已知函数y=acos x+b的最大值是0,最小值是-4,求a,b的值.
【解析】当a>0时,
解得 当a<0时,
解得 所以a=2,b=-2或a=b=-2.
a b 0
a b 4
＋ ＝ ，
＋ ＝ ，
a 2
b 2
＝ ，
＝ ，
a b 0
a b 4
＋ ＝ ，
＋ ＝ ，
a 2
b 2.
＝ ，
＝
【补偿训练】
已知函数f(x)=
(1)判定函数f(x)是否为周期函数;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈ 时,求f(x)的值域.
1 .2 sin x
5( ]6 6
，
【解析】(1)由于-1≤sin x≤1,所以f(x)的定义域是R.
又f(x+2π)= =f(x),
故f(x)是周期函数.
(2)由正弦函数的基本性质,可知在区间 (k∈Z)上,函数y=sin x
是增函数,而此时函数h(x)=2-sin x是减函数,从而可知此时函数f(x)是增函
数,故可知函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z).
(3)设t=sin x ,则t∈
所以1≤2-t< ,则 ≤1.故f(x)的值域为
1 1
2 sin(2 x) 2 sin x ＝＋
[2k 2k ]2 2
， ＋
[2k 2k ]2 2
， ＋
5(x ( ])6 6
，
1( 1]2
，，
5
2
2 1
5 2 t＜ 2( 1].5，
