高考数学精讲精练精析专题14_1几何证明选讲试题理含解析

高考数学精讲精练精析专题14_1几何证明选讲试题理含解析

专题 14.1 几何证明选讲 【三年高考】 1. 【2016 高考天津】如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE 的长为 __________. 【答案】 2 3 3 2.【2016 高考新课标 1卷】如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以 O 为圆心, 1 2 OA 为半径作圆. (I)证明：直线 AB 与 O 相切； (II)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明：AB∥CD. 3．【2016高考新课标2】如图，在正方形 ABCD中， ,E G分别在边 ,DA DC上（不与端点重合），且DE DG ， 过D点作DF CE ，垂足为 F ． (Ⅰ) 证明： , , ,B C G F四点共圆； (Ⅱ)若 1AB  ，E为DA的中点，求四边形 BCGF 的面积． 【解析】（I）因为DF EC ,所以 ,DEF CDF   则有 , ,DF DE DGGDF DEF FCB CF CD CB      所 以 ,DGF CBF   由此可得 ,DGF CBF  由此 0180 ,CGF CBF   所以 , , ,B C G F四点共圆. （II）由 , , ,B C G F四点共圆，CG CB 知 FG FB ，连结GB，由G为 Rt DFC 斜边CD的中点，知 GF GC ,故 ,Rt BCG Rt BFG   因此四边形 BCGF 的面积 S是 GCB 面积 GCBS 的 2 倍，即 1 1 12 2 1 . 2 2 2GCBS S      4．【2016 高考新课标 3】如图， O 中AB的中点为 P，弦 PC PD， 分别交 AB于 E F， 两点． （I）若 2PFB PCD   ，求 PCD 的大小； （II）若 EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G ，证明OG CD ． 【解析】（Ⅰ）连结 BCPB, ，则 BCDPCBPCDBPDPBABFD  , .因为 AP BP ，所 以 PCBPBA  ，又 BCDBPD  ，所以 PCDBFD  .又 180 , 2PFD BFD PFB PCD       ，所以3 180PCD  ， 因此 60PCD   . （Ⅱ）因为 BFDPCD  ，所以 180PCD EFD   ，由此知 EFDC ,,, 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过 EFDC ,,, 四点的圆的圆心，所以G在CD的垂 直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，因此 CDOG  ． 5.【2015 高考新课标 2，】如图，O为等腰三角形 ABC内一点，圆O与 ABC 的底边 BC交于M 、 N 两 点与底边上的高 AD交于点G，与 AB、 AC分别相切于 E、F 两点． （Ⅰ）证明： / /EF BC； （Ⅱ） 若 AG等于 O 的半径，且 2 3AE MN  ，求四边形 EBCF的面积． 【解析】（Ⅰ）由于 ABC 是等腰三角形，AD BC ，所以 AD是 CAB 的平分线．又因为 O 分别与 AB、 AC相切于E、 F 两点，所以 AE AF ，故 AD EF ．从而 / /EF BC． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF , AD EF ，故 AD是 EF 的垂直平分线，又 EF 是 O 的弦，所以O在 AD 上．连接OE，OM ，则OE AE ．由 AG等于 O 的半径得 2AO OE ，所以 030OAE  ．所以 ABC 和 AEF 都是等边三角形．因为 2 3AE  ，所以 4AO  ， 2OE  ． 因为 2OM OE  ， 1 3 2 DM MN  ，所以 1OD  ．于是 5AD  ， 10 3 3 AB  ．所以四边形EBCF 的面积 2 21 10 3 3 1 3 16 3( ) (2 3) 2 3 2 2 2 3       ． 6．【2015 高考陕西，】如图，切  于点，直线 D 交  于D，两点， C D  ，垂足为C． （I）证明： C D D   ； （II）若 D 3DC  ， C 2  ，求  的直径． 7.【2015 高考新课标 1】如图，AB 是 O 的直径，AC 是 O 的切线，BC 交 O 于 E. （Ⅰ）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是 O 的切线； （Ⅱ）若 3OA CE ，求∠ACB 的大小. 【解析】（Ⅰ）连结 AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在 Rt△AEC 中，由已知得 DE=DC，∴∠DEC=∠DCE， 连结 OE，∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE 是圆 O 的切线. （Ⅱ）设 CE=1，AE= x ,由已知得 AB= 2 3， 212BE x  ， 由射影定理可得， 2AE CE BE  ， ∴ 2 212x x  ，解得 x = 3，∴∠ACB=60°. 8.【2015 高考湖南】如图，在圆O中，相交于点 E的两弦 AB，CD的中点分别是 M ，N ，直线MO与 直线CD相交于点 F ，证明： （1） 180MEN NOM   ； （2） FE FN FM FO   【解析】（1）如图 a所示， ∵M ， N 分别是弦 AB，CD的中点，∴OM AB ，ON CD ， 即 90OME  ， 90ENO  ， 180OME ENO   ，又四边形的内角和等于360，故 180MEN NOM    ； （2）由（I）知，O，M ， E， N 四点共圆，故由割线定理即得 FE FN FM FO   9. 【2014 高考辽宁第 22 题】如图，EP 交圆于 E、C 两点，PD 切圆于 D，G为 CE 上一点且 PG PD ，连接 DG 并延长交圆于点 A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为 F. （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径； （Ⅱ）若 AC=BD，求证：AB=ED. 【解析】（Ⅰ）因为 PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于 PD 为切线，故∠PDA=∠DBA, 又由于∠PGD=∠EGA, 故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于 AF 垂直 EP，所以∠PFA=90°，于是 ∠BDA=90°，故 AB 是直径. (Ⅱ)连接 BC，DC.由于 AB 是直径，故∠BDA=∠ACB=90°，在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中，AB=BA,AC=BD， 从而 Rt△BDA≌Rt△ACB，于是 Rt△BDA 与∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故 DC∥AB. 由于 ED 是直径，由（Ⅰ）得 ED=AB. 10. 【2014 高考全国 2第 22 题】如图，P是e O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与e O 相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交e O 于点 E. 证明：（Ⅰ）BE=EC； （Ⅱ）AD  DE=2 2PB 11. 【2014 高考全国 1第 22 题】如图，四边形 ABCD是 O 的内接四边形，AB的延长线与DC的延长 线交于点E，且CB CE . （Ⅰ）证明： D E   ； （Ⅱ）设 AD不是 O 的直径， AD的中点为M ，且MB MC ，证明： ADE 为等边三角形. 【解析】（I）由题设知 , , ,A B C D四点共圆，所以 D CBE  ．由已知得 E CBE  ，故 D E   ． （II）设 BC的中点为 N ，连接MN，则由MB MC 知MN BC ，故O在直线MN上．又 AD不是 O 的直径， AD的中点为M ，故OM AD ，即MN AD ．所以 / /AD BC，故 A CBE  ．又 CBEE  ，故 E A   ．由（1）知， D E   ，所以 ADE 为等边三角形. 【三年高考命题回顾】 纵观前三年各地高考试题, 高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及 角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三 角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理， 弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度． 【2017 年高考复习建议与高考命题预测】 由前三年的高考命题形式可以看出, 高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角 形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判 定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测 2017 年高考还会以圆为几何背景，考查相 交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证 明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容 ,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及 其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说,“几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切. 试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、 直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问 题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建 议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯 形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀： 相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍， 代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效. 【2017 年高考考点定位】 几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形 射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧ 圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理. 【考点 1】相似三角形的判定与性质 【备考知识梳理】 1．平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 3．相似三角形的判定与性质 (1)判定定理： 内容 判定定理 1 两角对应相等的两个三角形相似 判定定理 2 两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似 判定定理 3 三边对应成比例的两个三角形相似 (2)性质定理： 内容 性质定理 1 相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比 性质定理 2 相似三角形的面积比等于相似比的平方 结论 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似 比的平方 射影定理 直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中 项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项 【规律方法技巧】 1．判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等； (2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例； (3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传 递性”． 2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似； (2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． 3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转 移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的. 4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目 中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等； 也可间接证明线段相等． 5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要 注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法． 6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质： 若 a c b d  ，则① a b c d  ；② ad bc ；③ a b c d b d    ；④ a b c d b d    ；⑤ a b c d a b c d      ；⑥ a a c b b d    . 7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理， 故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平 行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是 常用的作辅助线方法． 【考点针对训练】 1.【2016 届河南省郑州一中高三考前冲刺四】如图所示，已知圆 O 外有一点 P，作圆 O 的切线 PM，M 为切 点，过 PM 的中点 N作割线 NAB，交圆 O 于 A，B 两点，连接 PA 并延长，交圆 O 于点 C，连接 PB 交圆 O 于点 D，若 MC=BC. （1）求证：△APM∽△ABP； （2）求证：四边形 PMCD 是平行四边形. 2.【2016 年山西省右玉一中高考冲刺压轴卷三】如图，已知⊙O和⊙M 相交于 BA、 两点， AD为⊙M 的直径，直线 BD交⊙O于点 C，点G为弧 BD中点，连结 AG分别交⊙O、BD于点 FE、 ，连结CE . （Ⅰ）求证： GDCEEFAG  ； （Ⅱ）求证： 2 2 CE EF AG GF  . 【解析】（Ⅰ）连结 ACAB, ，∵ AD为⊙M 的直径，∴ 90ABD ，∵ AC为⊙O的直径，∴ AGDCEF  ，∵ CFEDFG  ，∴ GDFECF  ，∵G为弧 BD中点，∴ GDFDAG  ， ∵ BAGECB  ，∴ ECFDAG  ，∴ AGDCEF  ~ ，∴ GD AG EF CE  ，∴ GDCEEFAG  . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 GDFDAG  ， GG  ，∴ ADGDFG  ~ ，∴ GFAGDG 2 ，由（Ⅰ） 知 2 2 2 2 AG GD CE EF  ，∴ 2 2 CE EF AG GF  . 【考点 2】圆的有关问题 【备考知识梳理】 1．圆周角定理 (1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角． (2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质： 定理 1：圆内接四边形的对角互补． 定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)判定： 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张 角为直角的点共圆． 3.圆的切线 (1)直线与圆的位置关系 直线与圆交点的个数 直线到圆心的距离 d 与圆的半径 r 的关系 相交 两个 d＜r 相切 一个 d＝r 相离 无 d＞r (2) 圆的切线性质及判定定理 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (3)切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线长相等． 3．弦切角 (1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角． (2)弦切角定理及推论 ①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半． ②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 4．与圆有关的比例线段 定理名称 基本图形 条件 结论 应用 相交弦定理 弦 AB、CD 相交 于圆内点 P (1)PA·PB＝ PC·PD； (2)△ACP∽ △DBP (1)在 PA、PB、PC、 PD 四线段中知三 求一； (2)求弦长及角 切割线定理 PA 切⊙O于 A， PBC 是⊙O 的割 线 (1)PA2 ＝ PB·PC； (2)△PAB∽△ PCA (1)已知 PA、PB、 PC 知二可求一； (2)求解 AB、AC 割线定理 PAB、PCD 是⊙O 的割线 (1)PA·PB＝ PC·PD； (2)△PAC∽△ PDB (1)求线段 PA、PB、 PC、PD 及 AB、CD； (2)应用相似求 AC、BD (1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． (2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹 角． 【规律方法技巧】 1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三 角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． (2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形 知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用． (3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各 弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两 交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分 清两条线段是指哪两条． 2. 弦切角定理及推论的应用 (1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线 段或角的大小． (2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周 角或作弦切角． 3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距 离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补． 4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周 角或作弦切角． 5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和 割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别． 6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及 两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内 实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向． 【考点针对训练】 1.【2016 届湖北七市教研协作体高三 4 月联考】已知 ABC 中， AB AC ，D是 ABC 外接圆劣弧 AC 上的点（不与点 ,A C 重合），延长 BD至 E，延长 AD 至F . （1）求证： ABC EDF  ； （2）若 75ABC   ， ABC 中BC边上的高为 2 3 ，求 ABC 外接圆的面积. 【解析】（1）如图，由 AB AC 得 ABC ACB  ，∵ ACB 与 ADB 都是同弧 AB所对的圆周角， ∴ ACB ADB  且 ADB EDF   ，故 ABC EDF  . （2）设O为外接圆圆心，连接 AO交 BC于H ，则 AH BC ，连接OC，由题意易得 030BAC  ， 015OAC OCA    ，且 075ACB  ，∴ 060OCH  ，设圆半径为 r，则 3 2 3 2 r r   ， 解得 2r  ，故外接圆面积为 4 . 2.【2016 届陕西省高三下学期教学质检二】如图，已知圆 1O 与 2O 相交于 ,A B两点，过点 A作圆 1O 的切线 交圆 2O 于点C，过点B作两圆的割线，分别交圆 1O 、圆 2O 于点D、E，DE与 AC相交于点 P . （Ⅰ）求证： AD EC ； （Ⅱ）若 AD是圆 2O 的切线，且 6, 2, 9PA PC BD   ，求 AD的长. 【解析】（Ⅰ）连接 BA．∵ AC是圆 1O 的切线，∴ BAC D  .又∵ BAC E  ，∴ D E   ，∴ AD EC . （Ⅱ）证明：设 ,BP x PE y  ，∵ 6, 2PA PC  ，∴ 12xy  .又∵ AD EC ，∴ PD AP PE PC  ，∴ 9 6 2 x y   .又∵ 0, 0x y  ，联立上述方程得到 3, 4x y  ，∴ 9 16DE x y    .∵ AD是圆 2O 的切 线，∴ 2 9 16AD DB DE    .∴ 12AD  . 【应试技巧点拨】 1．辅助线作法： 几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主 要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等 长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线 方法． 2．比例的性质的应用 相似关系的证明中，经常要应用比例的性质： 若 a c b d  ，则① a b c d  ；② ad bc ；③ a b c d b d    ；④ a b c d b d    ；⑤ a b c d a b c d      ；⑥ a a c b b d    . 3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件 所指的图形相同，从而证明命题成立． 4.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距 离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补． 5.与圆有关的比例线段 (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、 与圆有关的相似三角形等． (2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形 知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用． 二年模拟 1. 【2016 年山西榆林高三二次模考】如图所示，在 ABC 中，CD是 ACB 的平分线， ACD 的外接圆 交BC于点 E， 2AB AC . （1）求证： 2BE AD ；（2）当 1, 2AC EC  时，求 AD的长. 【解析】（1）连接DE，因为四边形 ACED是圆内接四边形，所以 BDE BCD  ，所以 DBE CBA  ， 即有 BE DE BA CA  ，又 2AB AC ，所以 2BE DE ，又CD是 ACB 的平分线，所以 AD DE ，从而 2BE AD ; （2）由条件 得 2 2AB AC  ，设 AD t ，根据割线定理得：BD BA BE BC  ，即    2 2AB AD BA AD AD CE    ，所以有    2 2 2 2 2t t t    ，解得： 1 2 t  ，所以 1 2 AD  . 2. 【2016 年湖北八校高三四次联考】如图，在锐角三角形 ABC中， AB AC ，以 AB为直径的圆O与边 ,BC AC另外的交点分别为 ,D E，且 DF AC 于 F ． （Ⅰ）求证：DF是 O⊙ 的切线； （Ⅱ）若 3CD  ， 7= 5 EA ，求 AB的长． 3. 【2016 年安徽安庆二模】如图,以 ABC 的边 AB为直径作圆O ,圆O与边 BC的交点D恰为 BC边的 中点,过点D作DE AC 于点 E． （I）求证：DE是圆O的切线； （II）若 30B   ,求 AE DC 的值． 4.【2016 年江西高三九校联考】如图所示， AC为 Oe 的直径，D为  BC的中点， E为 BC的中点． （1）求证： / /DE AB； （2）求证： · 2 ·AC BC AD CD＝ ． 【解析】（Ⅰ）连接OE，因为D为  BC的中点， E为 BC的中点，所以OED三点共线．因为 E为 BC的 中点且O为 AC的中点，所以 / /OE AB，故 / /DE AB . （Ⅱ）因为D为  BC的中点，所以 BAD DAC ＝ ，又 ,BAD DCB DAC DCB   ＝ ＝ ．又因为 ,AD DC DE C DAC ECD   ， ∽ ． · ·AAC AD C DCD A D CE C CE  ＝ ,  2 2AD CD AC CE ＝ ,  2AD CD AC BC ＝ ． 5. 【2016 年安徽淮北一中高三模考】如图， ,A B是圆O上的两点，P为圆O外一点，连结 ,PA PB分别 交圆O于点 ,C D，且 AB AD ，连结BC并延长至 E，使 PEB PAB   ． （1）求证： PE PD ； （2）若 1AB EP  ，且 0120BAD  ，求 AP． 【解析】（1）连结DC，因为 ,PCE ACB ADB PCD ABD        ，又因为 AB AD ，所以 ABD ADB   ，所以 PCE PCD  ，由已知 ,PEB PAB PDC PAB      ，所以 PEC PDC  ，且 PC PC ，所以 PEC PDC   ，所以 PE PD ． （2）因为 ,ACB PBA BAC PAB      ，所以 ABC APB  ，则  2AB AP AC AP AP PC   ， 所以  2 2AP AB AP PC PD PB PD PD BD      ，又因为 , 1PD AB AB  ，所以 2 22 3AP AB AB BD   ，所以 2 2 3AP   ，所以 2 6 2 AP   ． 6. 【2016 年江西南昌高三一模】如图， 圆 M 与圆 N 交于 A， B 两点， 以 A 为切点作两圆的切线分别 交圆 M 和圆 N 于 C、D 两点，延长 DB 交圆 M 于点 E， 延长 CB 交圆 N于点 F．已知 BC=5， DB=10. (I)求 AB 的长； （II）求 CF DE . 【解析】（Ⅰ）根据弦切角定理，知 BAC BDA   ， ACB DAB   ，∴△ ABC∽△DBA ，则 AB BC DB BA  ，故 2 50, 5 2AB BC BD AB    . （Ⅱ）根据切割线定理，知 2CA CB CF  ， 2DA DB DE  ，两式相除，得 2 2 CA CB CF DA DB DE   （*）.由 △ ABC∽△DBA，得 5 2 2 10 2 AC AB DA DB    ， 2 2 1 2 CA DA  ，又 5 1 10 2 CB DB   ，由（*）得 1CF DE  ． 7. 【2016 年河南八市高三三模】已知， ABC 内接于圆，延长 AB到D点，使得 2 ,DC DB DC 交圆于 E点. （1）求证： 2AD DE ； （2）若 AC DC ，求证：DB BE . 【解析】(1）如图，连结 · ·DB DA DE DB CE  ．． DB DE DC DA   ．又 2 2DC DB DA DE   ， ． （2） AC DC D A BED A BED D BD BE            ， ． ， ． ． 8.【2016 届河北省石家庄市高三二模】如图， ABCRT 内接于⊙O， 90C ，弦 BF 交线段 AC于E， E为 AC的中点，在点 A处作圆的切线与线段OE的延长线交于D，连接DF . （I）求证： EBFEEODE  ； （II）若 45CEB ，⊙O的半径 r为 52 ，求切线 AD的长. 9. 【2016 届陕西省高三高考全真模拟四】如下图, ,AB CD是圆O的两条互相垂直的直径, E是圆O上的 点,过 E点作圆O的切线交 AB的延长 线于 F .连结CE交 AB于G点. （1）求证： 2FG FA FB  ； （2）若圆O的半径为 2 3, 3OB OG ,求 EG的长. 【解析】（1）证明：连接 ,OE DE ,由弦切角定理知 , 90 , 90FEG D C D C FEG          ， 又 90 , , 90 ,C CGO CGO FGE C FGE FGE FEG             ,即 FG FE .由切割 线定理得 2FE FA FB  ,所以 2FG FA FB  . （2）由 3 2 3OB OG  知， 2OG  .在Rt OCG 中，由 2 3, 2OC OG  得， 4, 30CG C    . 在Rt CDE 中，由 4 3, 30CD C   得 6CE  ，于是 6 4 2EG CE CG     . 10.【2016 届山西右玉一中高三下学期模拟】已知如图，四边形 ABCD是圆O的内接四边形，对角线 ,AC BD交于点E，直线 AP是圆O的切线，切 点为 A， PAB BAC  . （1）若 5, 2BD BE  ，求 AB的长； （2）在 AD上取一点 F ，若 FED CED  ，求 BAF BEF  的大小. 【解析】（1）∵ AP是圆O的切线，∴ PAB ADB   ，由 PAB BAC  ，∴ ADB BAC  .又 ABD EBA   ，∴ ABD ∽ EBA ，∴ AB BD EB AB  .又 5BD  ， 2BE  ，∴ 2 10AB BD BE   ， ∴ 10AB  . （2）由（1）知， BAD BEA   ，∵ BEA CED FED   ，∴ BAD FED   ，∴ 180BAF BEF BAD BEF FED BEF        . 11. 【2015 届陕西西安西北工大附中高三下学期 5月模拟】如图， O 和 'O 相交于 A，B 两点，过 A 作 两圆的切线分别交两圆于 ,C D两点，连结DB并延长交 O 于点 E． 证明：（Ⅰ） AC BD AD AB   ； （Ⅱ） =AC AE． 【解析】（1）由 AC与 O 相切于 A，得 =CAB ADB  ，同理 =ACB DAB  ， 所以 ACB DAB  从而 =AC AB AD BD ，即 =AC BD AD AB  （2）由 AD与 O 相切于 A，得 =AED BAD  ，又 =ADE BDA  ，得 EAD ABD  从而 =AE AD AB BD ，即 =AE BD AD AB  ，综合（1）的结论， =AC AE 12.【2015 届陕西省西工大附中高三下学期模拟考试一】如图,⊙O的直径 AB 的延长线与弦CD的延长线 相交于点 P , E为⊙O上一点,AE＝AC ,DE交 AB 于点 F ,且 42  BPAB , （Ⅰ）求 PF 的长度． （Ⅱ）若圆 F 与圆O内切，直线 PT 与圆 F 切于点 T，求线段 PT 的长度 【解析】（Ⅰ）连结 , ,OC ODOE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长 AE等于弧长 AC可得 CDE AOC  ,又 CDE P PFD   , AOC P OCP   ,从而 PFD OCP  ,故 PFD ∽ PCO ,∴ PF PD PC PO  , 由割线定理知 12PC PD PA PB    ,故 12 3 4 PC PDPF PO     ． （Ⅱ）若圆 F 与圆O内切，设圆F 的半径为 r，因为 2 1OF r   即 1r  ，所以OB是圆 F 的直径，且 过P点圆 F 的切线为 PT ，则 2PT 2 4 8PB PO     ，即PT 2 2 . 13.【2015 届吉林省吉林市高三第三次模拟考试】如图，在△ABC 中， 90B   ，以 AB为直径的⊙O 交 AC 于D，过点D作⊙O 的切线交 BC于 E， AE交⊙O 于点 F ． （Ⅰ）证明： E是BC的中点； （Ⅱ）证明： AD AC AE AF   . 14.【2015 届辽宁省师大附中高三模拟考试】如图，圆周角 BAC 的平分线与圆交于点D，过点D的切线 与弦 AC的延长线交于点E， AD交BC于点 F ． （1）求证： DEBC // ; （2）若 FCED ,,, 四点共圆，且弧 AC与弧 BC相等，求 BAC 15.【2015 届陕西省西安市第一中学高三下学期自主命题二】如图，在 ABC 中，CD是 ACB 的角平分 线， ADC 的外接圆交BC于点 E， 2AB AC ． （Ⅰ）求证： 2BE AD ； （Ⅱ）当 3AC  ， 6EC  时，求 AD的长． 【解析】（Ⅰ）连接DE，因为 ACED是圆内接四边形，所以 ,BCABDE  又 ,CBADBE  DBE ∽ CBA ，即有 BE DE BA CA  ，又因为 2AB AC ，可得 2BE DE 因为CD是 ACB 的平分线，所以 AD DE ，从而 ADBE 2 （Ⅱ）由条件知 62  ACAB ，设 tAD  ，则 62,2  tBCtBE ，根据割线定理得 BCBEBABD  ，即 ),62(26)6(  ttt 即 01892 2  tt ，解得 3 2 t  或 6 （舍去），则 3 2 AD  ． 拓展试题以及解析 1. 如图， ABC 内接于⊙O，弦 AE 交 BC 于点 D，已知 2AD BD DC  ， °60ADC  ，OD=1, BCOE  . （Ⅰ）求 ODG ； （Ⅱ）求 ABC 中 BC 边上的高． 【解析】（Ⅰ）由于 2AD BD DC  ，所以 D 为 AE 中点，那么 AEOD  ， ODE 为直角三角形， ∵ BCOE  ，∴ DGE ∽ ODE ，则 DOEEDG  ，又 EDGADC  (对顶角)，∴ ° ° °60 , 90 60 30ADC DOE ODG        . （Ⅱ）作 AF BC 于点 F，连接 OA，由(1)得 3   DOEAOD ，在直角 AOD 与直角 ADF 中， AF=ADsin 3  =OEsin2 3  = 3 2 ，即 BC 边上的高为 3 2 ． 【入选理由】本题主要考查平面几何的相关知识，同时考查考生的逻辑推理能力.高考对平面几何的考查主 要是通过三角形全等或三角形相似进行边角转化，并综合运用圆的切割线定理、相交弦定理等 进行证明计 算．以圆为背景 是基本不变的，因而灵活应用圆的几何性质，找准有关的对应三角形、对应边和对应角是 解题的关键.本题构思巧妙，难度不大，故选此题. 2．如图，过圆O外一点 P作圆的切线 PC，切点为C，割线 PAB、割线 PEF分别交圆O于 A与 B、 E 与F ．已知 PB的垂直平分线DE与圆O相切． （1）求证：DE BF ； （2）若 2 3PC  ， 1DE  ，求 PB的长． 【解析】（1）证明：连结 BE，∵DE与圆O相切，∴ BED BFE   ．又DE为 PB的垂直平分线，∴ BED PED   ，∴ PED BFE   ，∴DE BF ． （2）由（1）知DE BF 且D为 PB的中点，∴ E为 PF 的中点，且 90FBP EDP    ，∴ BE PE EF  ．∵ PC为圆O的切线，∴ 2PC PE PF  ，∴ 2(2 3) 2PE PE  ，∴ 6PE  ，∴ 2 2 2 22 2 2 2 5PB BD BE DE PE DE      ． 【入选理由】本题考查圆的切割线定理，弦切角定理等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题难度不大，故选此题. 3.如图，直线 AB 过圆心 O，交圆 O于 A、B，直线 AF 交圆 O于 F（不与 B重合），直线 l与圆 O 相切于 C，交 AB 于 E，且与 AF 垂直，垂足为 G，连接 AC． 求证：（Ⅰ） CAGBAC  ； （Ⅱ） AFAEAC 2 ． 【证明】（Ⅰ）连接 BC， AB是直径， 90ACB ， 90ACB AGC    ． GC 切圆O于 C， GCA ABC   ． BAC CAG   ． （Ⅱ）连接CF ， EC切圆O于C， AFCACE  ．又 ,CAGBAC   ACF△ ∽ AEC△ ．  AFAEAC AC AF AE AC  2, ． 【入选理由】本题考查圆的弦切角定理、三角形相似等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 本题由弦切角定理入手，得出三角形相似，从而可证，本题难度不大，故选此题. 4.如图， BC是⊙O的直径， ,D E是圆上两点， BE交DC于点 F ，若 3BF FC  ， 2DF FE  ． （Ⅰ）求证： AD AE ； （Ⅱ）求线段 BC的长度． 【入选理由】本题考查平面几何的证明，具体涉及圆的性质，四点共圆，割线定理等基础知识，意在考察 学生推理证明和逻辑思维能力.本题考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题. 5.如图，圆内接四边形 ABCD满足 AB∥CD，P在BA的延长线上，且 PBPAPD 2 . 若 22BD ， 2 CDPD . （Ⅰ）证明： CDBPDA  ； （Ⅱ）求 BC的长. 【解析】（Ⅰ）由 PBPAPD 2 知 PD是圆的切线. ∴由弦切线角定理得 DBAPDA  ， 又 CDAB // ， ∴ DBACDB  ， ∴ CDBPDA  ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 CDBPDA  ， 又 PADBCD  ， ∴ PAD ∽ BCD ， ∴ BD PD CD AD  ， 又 22BD ， 2 CDPD ，∴ 2AD  ，∵ CDAB // ，∴ 2AD BC  . 【入选理由】本题考查圆的切线的性质，圆內接四边形的性质，三角形相似等基础知识，意在考察学生推 理证明和逻辑思维能力.本题考查知识基础，难度不大，故选此题. 6.如图，点 P 是△ABC 的外接圆 O在 C点的切线与直线 AB 的交点． （Ⅰ）若∠ACB＝∠APC，证明：BC⊥PC； （Ⅱ）若 D 是圆 O 上一点，∠BPC=∠DAC，AC= 2 ，AB= 22 ，PC＝4，求 CD 的长． 【入选理由】本题考查三角形相似的判定与性质、弦切角定理、切割线定理等基础知识，意在考查学生推 理证明和逻辑思维能力.本题第一问由弦切角入手，得三角形相似，从而得结论，第二问由切割线定理入手， 结合弦切角定理及同弧所对的圆周角相等，得三角形相似，像这种题型考查知识基础，综合性强，是高考 出题方向，故选此题. 7.如图所示，在四边形 ABCD中， AC交BD于点 E， AE EC BE DE   . （Ⅰ）求证： A、B、C、D四点共圆; （Ⅱ）过D作四边形 ABCD外接圆的切线交 BC的延长线于 F ， BD CF DF BC   ,求证：DC 平分 BDF . 【证明】（Ⅰ）∵BD CF DF BC   ,∴ AE BE DE EC  , AE DE BE EC  ,∵ AEB DEC   , AED BEC   , ∴ AEB DEC  , AED BEC  ,∴ EAB = EDC , EBA = ECD , EAD = EBC , ECB = EDA ,∴ EAD ECD  = EAB + EAD + ECB + ECD = EDC + EDA + EBA + EBC = ABC ADC  = ,∴ A、B、C、D四点共圆； （Ⅱ）由弦切角定理可知：∠CDF =∠CBD，∵ F F   ,∴ FDC ∽ FBD ,∴ BD CD = DF CF ， ∵ BD CF DF BC   ，∴ BD BC = DF CF ,∴ BD CD = BD BC ,∴ BC =CD , ∴ DBC = BDC ,∴ BDC =∠CDF ,∴DC 平分 BDF . 【入选理由】本题考查三角形相似的判定与性质、四点共圆的判定、弦切角定理等基础知识，意在考查学 生推理证明和逻辑思维能力.本题考查知识基础难度不大，是高考出题方向，故选此题. 8.如图，四边形 ABCD外接于圆，AC是圆周角 BAD 的角平分线，过点C的切线与 AD延长线交于点 E， AC交BD于点 F ． （1）求证： BD CE ； （2）若 AB是圆的直径， 4AB  ， 1DE  ，求 AD长 【解析】（1）∵ AC是圆周角 BAD 的角平分线，∴ EAC BAC   ．又∵CE是圆的切线，∴ ECD EAC   ，∴ ECD BAC   ．又∵ BAC BDC   ，∴ ECD BDC   ，∴ BD CE ． 【入选理由】本题考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑思 维能力和推理论证能力.本题是一个常规题，考查知识基础，难度不大，故选此题.