【数学】2019届一轮复习人教B版第45讲椭圆学案

【数学】2019届一轮复习人教B版第45讲椭圆学案

第45讲　椭　圆 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．‎ ‎2．了解圆锥曲线的简单应用，了解椭圆的实际背景．‎ ‎3．理解数形结合的思想.‎ ‎2017·全国卷Ⅱ，20‎ ‎2016·全国卷Ⅲ，11‎ ‎2016·天津卷，20‎ ‎1.求解与椭圆定义有关的问题；利用椭圆的定义求轨迹方程；求椭圆的标准方程；判断椭圆焦点的位置．‎ ‎2．求解与椭圆的范围、对称性有关的问题；求解椭圆的离心率；求解与椭圆的焦点三角形有关的问题.‎ 分值：5～12分 ‎1．椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做！！！！__椭圆__####.这两个定点叫做椭圆的！！！！__焦点__####，两焦点间的距离叫做椭圆的！！！！__焦距__####.‎ 集合P＝{M|＋＝‎2a}，＝‎2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．‎ ‎(1)若！！！！__a＞c__####，则集合P为椭圆；‎ ‎(2)若！！！！__a＝c__####，则集合P为线段；‎ ‎(3)若！！！！__a＜c__####，则集合P为空集．‎ ‎2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0)‎ ＋＝1(a＞b＞0)‎ 图形 性 质 范围 ‎！！！！__－a__####≤x≤！！！！__a__####，‎ ‎！！！！__－b__####≤y≤！！！！__b__####‎ ‎！！！！__－b__####≤x≤！！！！__b__####，‎ ‎！！！！__－a__####≤y≤！！！！__a__####‎ 对称 对称轴：！！！！__坐标轴__####，‎ 性 对称中心：！！！！__(0,0)__####‎ 顶点 A1！！！！__(－a,0)__####，‎ A2！！！！__(a,0)__####，‎ B1！！！！__(0，－b)__####，‎ B2！！！！__(0，b)__####‎ A1！！！！__(0，－a)__####，‎ A2！！！！__(0，a)__####，‎ B1！！！！__(－b,0)__####，‎ B2！！！！__(b,0)__####‎ 轴 长轴A‎1A2的长为！！！！__‎2a__####，‎ 短轴B1B2的长为！！！！__2b__####‎ 焦距 ＝！！！！__‎2c__####‎ 离心率 e＝！！！！　　####，e∈！！！！__(0,1)__####‎ a，b，c 的关系 c2＝！！！！__a2－b2__####‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．‎ ‎(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　×　)‎ ‎(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF‎1F2的周长为‎2a＋‎2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　√　)‎ ‎(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　×　)‎ ‎(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　√　)‎ 解析　(1)错误．由椭圆的定义知，当该常数大于时，其轨迹才是椭圆，而常数等于时，其轨迹为线段F‎1F2，常数小于时，不存在图形．‎ ‎(2)正确．由椭圆的定义，得＋＝‎2a，又＝‎2c，所以＋＋＝‎2a＋‎2c.‎ ‎(3)错误．因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁．‎ ‎(4)正确．由椭圆的对称性知，其关于原点中心对称也关于两坐标轴对称．‎ ‎2．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则＋＝(　C　)‎ A．4　　 B．‎8　‎　 C．6　　 D．18‎ 解析　由定义知＋＝‎2a＝6.‎ ‎3．若方程＋＝1表示椭圆，则m的范围是(　C　)‎ A．(－3,5)　　 B．(－5,3)‎ C．(－3,1)∪(1,5)　　 D．(－5,1)∪(1,3)‎ 解析　由方程表示椭圆知 解得－3＜m＜5且m≠1.‎ ‎4．(2018·广东惠州二调)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　D　)‎ A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析　如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F‎1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝‎2a－|PF2|＝，＝.故选D．‎ ‎5．已知F1，F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足＝2，∠PF‎1F2＝30°，则椭圆的离心率为！！！！____####.‎ 解析　在△PF‎1F2中，由正弦定理得sin∠PF‎2F1＝1，即∠PF‎2F1＝.设＝1，则＝2，＝，所以离心率e＝＝.‎ 一　椭圆的定义及应用 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求·，通过整体代入可求其面积等．‎ ‎【例1】 (1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　A　)‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线　　 D．圆 ‎(2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF‎1F2的面积为9，则b＝！！！！__3__####.‎ 解析　(1)由折叠过程可知点M与点F关于直线CD对称，故＝，所以＋＝＋＝＝r，‎ 由椭圆的定义可知，点P的轨迹为椭圆．‎ ‎(2)设＝r1，＝r2，则 ‎∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝‎4a2－‎4c2＝4b2.‎ 又∵S△PF‎1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.‎ 二　椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程的方法 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．‎ ‎【例2】 求满足下列条件的椭圆的标准方程．‎ ‎(1)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点；‎ ‎(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；‎ ‎(3)经过两点，(，)．‎ 解析　(1)椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.‎ 由椭圆的定义知，‎ ‎2a‎＝＋，‎ 解得a＝2.‎ 由c2＝a2－b2可得b2＝4.‎ 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由于焦点的位置不确定，∴设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．‎ 由已知条件得解得a＝4，c＝2，∴b2＝12.‎ 故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.‎ ‎(3)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)，‎ 由解得m＝，n＝.‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1.‎ 三　椭圆的几何性质 求椭圆离心率的方法 ‎(1)直接求出a，c，从而求解e，通过已知条件列方程组，解出a，c的值．‎ ‎(2)构造a，c的齐次式，解出e，由已知条件得出a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．‎ ‎(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率．‎ ‎【例3】 (1)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B是C上两点，＝3，∠BAF2＝90°，则椭圆C的离心率为(　D　)‎ A．　　 B． C．　　 D． ‎(2)已知F1(－c,0)，F2 (c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P在椭圆＋＝1上，且满足·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是(　C　)‎ A．　　 B．　　　　 C．　　 D． 解析　(1)由条件＝3，设||＝x，则||＝3x.在△ABF2中，有(4x)2＋(‎2a－3x)2＝(‎2a－x)2，整理得x(3x－a)＝0，即3x＝a，x＝，在Rt△AF‎1F2中，有＝‎2c，(3x)2＋(‎2a－3x)2＝‎4c2.将x＝代入，得a2＋(‎2a－a)2＝‎4c2，解得＝，即e＝.‎ ‎(2)由椭圆的定义得＋＝‎2a，平方得2＋2＋2·＝‎4a2.①‎ 又∵·＝c2，∴·cos∠F1PF2＝c2.②‎ 由余弦定理得2＋2－2··cos∠F1PF2＝2＝‎4c2.③‎ 由①②③，得cos∠F1PF2＝.‎ 又∵0＜cos∠F1PF2≤1，∴e≤.‎ ‎∵·≤2＝a2，‎ ‎∴‎2a2－‎3c2≤a2，a2≤‎3c2，e≥，则此椭圆离心率的取值范围是.故选C．‎ 四　直线与椭圆的综合问题 直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略 ‎(1)求直线方程．可依题设条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程．‎ ‎(2)求面积．先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值．‎ ‎(3)判断图形的形状．可依据平行、垂直的条件判断边角关系，再依据距离公式得出边之间的关系．‎ ‎(4)弦长问题．利用根与系数的关系、弦长公式求解．‎ ‎(5)中点弦或弦的中点．一般利用点差法求解，注意判断直线与椭圆是否相交．‎ ‎【例4】 (2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ .‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ 解析　(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．‎ 由＝ ，得x0＝x，y0＝y.‎ 因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.‎ 因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2)由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则 ＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋‎3m－tn，‎ ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)，‎ 由·＝1，得－‎3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋‎3m－tn＝0.‎ 所以·＝0，即⊥，又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎【例5】 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．‎ ‎(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；‎ ‎(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．‎ 解析　(1)由已知得b＝4，且＝，即＝，‎ ‎∴＝，解得a2＝20，‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1.‎ 将4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，‎ 消去y得9x2－40x＝0，‎ ‎∴x1＝0，x2＝，‎ ‎∴所求弦长|MN|＝|x2－x1|＝.‎ ‎(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，‎ 由三角形重心的性质知B＝‎2F，‎ 又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，‎ 故得x0＝3，y0＝－2，‎ 即Q的坐标为(3，－2)．‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，‎ 且＋＝1，＋＝1，‎ 以上两式相减得＋＝0，‎ ‎∴kMN＝＝－·＝－×＝，‎ 故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，‎ 即6x－5y－28＝0.‎ ‎1．(2017·浙江卷)椭圆＋＝1的离心率是(　B　)‎ A．　　 B．　　　　 C．　　 D． 解析　根据题意知a＝3，b＝2，则c＝＝，∴椭圆的离心率e＝＝.故选B．‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A‎1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　A　)‎ A．　　 B． C．　　 D． 解析　以线段A‎1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0,0)，半径为a，由题意，圆心到直线bx－ay＋2ab＝0的距离为＝a，即a2＝3b2.又e2＝1－＝，所以e＝.故选A．‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　A　)‎ A．(0,1]∪[9，＋∞)　　 B．(0，]∪[9，＋∞)‎ C．(0,1]∪[4，＋∞)　　 D．(0，]∪[4，＋∞)‎ 解析　依题意得或 所以或解得04－k>0，即4>k>－5时，a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，‎ ‎∴＝，解得k＝.‎ 当9<4－k，即k<－5时，a＝，c2＝－k－5，‎ ‎∴＝，解得k＝－21.故选D．‎ ‎5．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，1·2的最大值、最小值分别为(　B　)‎ A．9,7　　 B．8,‎7　‎　 C．9,8　　 D．17,8‎ 解析　由题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设E(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝x2＋7(－3≤x≤3)，所以当x＝0时，·有最小值7，当x＝±3时，·有最大值8.故选B．‎ ‎6．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为(　D　)‎ A．　　 B．　　 C．　　 D．－1‎ 解析　设F(－c,0)关于直线x＋y＝0的对称点为A(m，n)，则解得m＝，n＝c，代入椭圆方程可得＋＝1化简可得e4－8e2＋4＝0，解得e＝＋1(舍去)或e＝－1.故选D．‎ 二、填空题 ‎7．设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2,0)，离心率为，则此椭圆的方程为 ‎！！！！__＋＝1__####.‎ 解析　椭圆的右焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4，e＝＝，∴m＝2，代入m2－n2＝4，得n2＝4，∴椭圆方程为＋＝1.‎ ‎8．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为！！！！__7__####.‎ 解析　由椭圆方程知a＝5，b＝4，c＝3.两圆的圆心分别为椭圆的左右焦点F1，F2，设两圆半径分别为r1，r2，则r1＝1，r2＝2.所以|PM|min＝|PF1|－r1＝|PF1|－1，|PN|min＝|PF2|－r2＝|PF2|－2，故|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－3＝‎2a－3＝7.‎ ‎9．椭圆＋＝1(a为定值，且a>)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是！！！！____####.‎ 解析　设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝‎2a.‎ 又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝‎4a，‎ 当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．‎ 此时‎4a＝12，则a＝3.‎ 故椭圆方程为＋＝1，所以c＝2，所以e＝＝.‎ 三、解答题 ‎10．如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为A，B，且|AB|＝|BF|.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．‎ 解析　(1)∵|AB|＝|BF|，∴＝a，‎ 即‎4a2＋4b2＝‎5a2，即‎4a2＋4(a2－c2)＝‎5a2，∴e＝＝.‎ ‎(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为y－2＝2(x－0)，‎ 即2x－y＋2＝0.‎ 由消去y，‎ 得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0.‎ Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.‎ x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ ‎∵OP⊥OQ，∴·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，‎ x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0,5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.‎ 从而－＋4＝0，解得b＝1，满足b>.‎ ‎∴椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎11．设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.‎ ‎(1)求椭圆E的离心率e；‎ ‎(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．‎ 解析　(1)由题设条件知，点M的坐标为.‎ 又kOM＝，所以＝，所以a＝b，c＝＝2b，‎ 故e＝＝.‎ ‎(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程＋＝1，‎ 点N的坐标为.‎ 设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，‎ 则线段NS的中点T的坐标为.‎ 又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，‎ 从而有解得 所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎12．如图，已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)．在椭圆M中有一内接三角形ABC，其顶点C的坐标为(，1)，AB所在直线的斜率为.‎ ‎(1)求椭圆M的方程；‎ ‎(2)当△ABC的面积最大时，求直线AB的方程．‎ 解析　(1)由椭圆的定义知‎2a＝＋，所以a2＝6，所以b2＝a2－c2＝2.‎ 所以椭圆M的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意设直线AB的方程为y＝x＋m.‎ 由消去y，得2x2＋2mx＋‎3m2‎－6＝0.‎ 因为直线AB与椭圆M交于不同的两点A，B，且点C不在直线AB上，‎ 所以解得－2

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