【数学】2018届一轮复习人教A版 绝对值不等式 学案
专题62 绝对值不等式
1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
①|a+b|≤|a|+|b|;
②|a-b|≤|a-c|+|c-b|.
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;
|x-a|+|x-b|≥c.
3.会用绝对值不等式、平均值不等式证明一些简单问题；能够利用平均值不等式求一些特定函数的最(极)值.
一、绝对值不等式的解法
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)若c＞0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可．
(2)若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.
2．|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法
可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．
(1)零点分区间法的一般步骤
①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；
②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；
③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；
④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．
(2)利用绝对值的几何意义
由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．
3．|f(x)|＞g(x)，|f(x)|＜g(x)(g(x)＞0)型不等式的解法
(1)|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．
(2)|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)．
二、绝对值不等式的证明
证明绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.主要的三种方法
1．利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．
2．利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．
3．转化为函数问题，数形结合进行证明．
三、绝对值不等式的综合应用
1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．
2．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a.
f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a.
高频考点一 含绝对值不等式的解法
【例1】 解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.
解 法一 如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然，区间[－2，1]不是不等式的解集.把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).
法二 原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔
或
或解得x≥2或x≤－3，
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).
【方法规律】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.
【变式探究】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)在图中画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
解 (1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示.
(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，
故f(x)>1的解集为{x|1
1的解集为.
高频考点二 含参数的绝对值不等式问题
【例2】 (1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值.
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.
解 (1)∵x，y∈R，
∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
∴|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
【方法规律】求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零点分区间法.
【变式探究】 (1)若关于x的不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d有解，求实数d的取值范围.
(2)不等式≥|a－2|＋sin y对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围.
高频考点三 含绝对值的不等式的应用
【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.
【方法规律】(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.
【变式探究】已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得，f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以实数a的取值范围为(2，＋∞).
1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲
已知函数.
（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；
（II）求不等式的解集．
【答案】（I）见解析（II）
【解析】⑴如图所示：
⑵
,当,,解得或,
当,,解得或
或
当,,解得或,或
综上, 或或,,解集为
2.【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲
已知函数，为不等式的解集．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：当时，．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】（I）
当时，由得解得；
当时， ；
当时，由得解得.
所以的解集.
（II）由（I）知，当时，，
从而，
因此
1.【2015高考新课标1，理24】选修4—5：不等式选讲
已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；
（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，不等式f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，
等价于或或，解得，
所以不等式f(x)>1的解集为. ……5分
1．（2014·福建卷） (Ⅲ)选修45：不等式选讲
已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.
(1)求a的值；
(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.
【解析】 (Ⅲ)解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，
所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.
(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又p，q，r是正实数，
所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，
即p2＋q2＋r2≥3.
2．（2014·广东卷）不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．
【答案】(－∞，－3]∪[2，＋∞) 【解析】本题考查绝对值不等式的解法．|x－1|＋|x＋2|≥5的几何意义是数轴上的点到1与－2的距离之和大于等于5的实数，所以不等式的解为x≤－3或x≥2，即不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
3．(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则a＝________．
【答案】－3 【解析】依题意可得－3＜ax－2＜3，即－1＜ax＜5 ，而－＜x＜，即－1＜－3x
＜5，所以a＝－3.
4．[2014·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】(1)C 【解析】易知|x－1|＋|x|≥1，当且仅当0≤x≤1时等号成立；|y－1|＋|y＋1|≥2, 当且仅当－1≤y≤1时等号成立．故|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.
1.设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)＞2；
(2)求函数y＝f(x)的最小值.
解 (1)法一 令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4.
原不等式可化为：
或或
即或或
∴x＜－7或x＞.
∴原不等式的解集为.
法二 f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝
画出f(x)的图象，如图所示.
求得y＝2与f(x)图象的交点为(－7，2)，.
由图象知f(x)＞2的解集为.
(2)由(1)的法二图象知：当x＝－时，
知：f(x)min＝－.
2.设α，β，γ均为实数.
(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|；
(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.
证明 (1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤
|cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|；
|sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋
|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.
(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|，
而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.
3.已知a和b是任意非零实数.
(1)求的最小值；
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围.
解 (1)∵≥＝＝4，∴的最小值为4.
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，
故|2＋x|＋|2－x|≤.
由(1)可知，的最小值为4.
∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集.
解不等式得－2≤x≤2.
故实数x的取值范围为[－2，2].
4.已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－a).
(1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域；
(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求实数a的最大值.
(2)不等式f(x)≥3，
即|x＋1|＋|x－2|≥a＋8，
∵当x∈R时，
恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
又不等式|x＋1|＋|x－2|≥a＋8的解集是R，
∴a＋8≤3，即a≤－5，
∴a的最大值为－5.
5.设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M；
(2)当x∈(M∩N)时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.
(1)解 f(x)＝
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1，
得x≤，故1≤x≤；
当x<1时，
由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集为M＝{x|0≤x≤}.
(2)证明 由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16≤4，解得－≤x≤.因此N＝，
故M∩N＝.
当x∈(M∩N)时，f(x)＝1－x，于是
x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝－≤.
6.已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.
(1)解不等式：|g(x)|＜5；
(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.
